新沪教版九年级上册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）

1、沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础） 知识讲解 【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质；3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形.要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；要点

2、二、相似多边形【：图形的相似 二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比要点三、比例线段【：图形的相似 预备知识】1 成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段2比例的性质：（1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc；（2）合比性质：如果 如果（3）等比性质：如果（4）比例中项：若a:b=b:c ，则=ac，b称为a、c的比例中

3、项要点诠释：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。要点四、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(APPB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.0.618AB(叫做黄金分割值).要点诠释：线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似图形1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有

4、菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个故选：C【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同；两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、

5、位置不一样，但这并不会影响到它们的相似性.类型二、相似多边形2. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【答案与解析】四边形相似于四边形 ，即 四边形的周长.【总结升华】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.3. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？

6、最大值是多少？【答案与解析】解：矩形MFGN与矩形ABCD相似，当时，S有最大值，为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.类型三、比例线段4.（2016兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（）A2a=3bB3a=2bCD【思路点拨】根据比例的性质，对选项一一分析，选择正确答案【答案】B【解析】A、2a=3ba：b=3：2，故选项错误；B、3a=2ba：b=2：3，故选项正确；C、=b：a=2：3，故选项错误；D、=a：b=3：2，故选项错误故选B【总结升华】考查了比例的性质在比例里，两个外项的乘积等于两个内项的乘积举一反三：【变式】判断

7、下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=【答案】(1) ， ，线段a、b、c、d不是成比例线段(2) ， ，线段a、b、c、d是成比例线段5. 主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点点C处，则下列结论一定正确的是（）AB：AC=AC：BC；AC6.18米；A. B. C. D. 【答案】D.【解析】解：AB的黄金分割点为点C处，若ACBC，则AB：AC=AC：BC，所以不一定正确；AC0.618AB12.36或AC2012.36=7.64，所以错误；若AC为较长线

8、段时，AC=AB=10（1），BC=10（3）；若BC为较长线段时，BC=AB=10（1），AC=10（3），所以不一定正确，正确故选D【总结升华】黄金分割知识的理解和运用要结合生活实践.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似形及比例线段（基础） 巩固练习【巩固练习】一选择题1. 在比例尺为11 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为 （）A.3kmB.30kmC.300kmD.3 000km2. （2016滨江区模拟）由5a=6b（a0），可得比例式（）ABCD3.如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A相似 B平移 C轴对称 D旋转4.

9、某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点()A(-2a，-2b) B(-a，-2b) C(-2b，-2a) D(-2a，-b)5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A19 B17 C24 D21 6. .ABC与A1B1C1相似且相似比为，A1B1C1与A2B2C2相似且相似比为，则ABC与A2B2C2的相似比为 ()ABC或D二. 填空题7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_.8. （2016浦东新区一模）已知，那么= 9判

10、定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_,对应角_时，两个多边形相似.10.已知则11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40，60，则另一个三角形的最大角为_,最小角为_.12. （2015春庆阳校级月考）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .三 综合题13. 已知，求的值.14. （1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3dcm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长15.

11、市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题1【答案】B【解析】图上距离实际距离比例尺2.【答案】D.【解析】A、ab=30，故选项错误；B、ab=30，故选项错误；C、6a=5b，故选项错误；D、5（ab）=b，即5a=6b，故选项正确故选D3【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换故选A4【答案】 A 【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相

12、等6【答案】A 【解析】 相似比ABA1B1=，A1B1A2B2=，计算出ABA2B2.二、填空题7.【答案】.1：30 000 【解析】比例尺=图上距离实际距离.8.【答案】【解析】的两个内项是y、1，两个外项是x、3，根据合比定理，知=4；又上式的两个内项是x和4，两个外项是x+y和1，9.【答案】成比例；相等.10.【答案】【解析】提示：设11.【答案】80，40.12.【答案】 7.5.【解析】设另一个三角形周长是x. 一个三角形的三边长是4,5,6， 这个三角形的周长为：4+5+6=15. 与它相似的另一个三角形最短的一边长是2， ， 解得：x=7.5. 另一个三角形的周长是7.5.

13、三、解答题13.【解析】设=k则=14.【解析】解：（1）a、b、c、d是成比例线段，a：b=c：d，a=3cm，b=2cm，c=6cm，d=4cm；(2)线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm. c2=ab=36， 解得：c=6， 又线段是正数，c=6cm.15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得，即纸张的长与宽之比为.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线 知识讲解 【学习目标】1、掌握三角形一边的平行线性质定理及推论；判定定理及推论；以及平行线分线

14、段成比例定理的推导与应用；2、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题；3、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学思考的策略.【要点梳理】要点一、三角形一边的平行线性质定理及推论1.性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.要点诠释：(1)主要的基本图形：分A型和X型； A型 X型（2）常用的比例式：3.三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.要点诠释：(1)重心的性质：三角形的重心

15、到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.（2）重心的画法：两条中线的交点.要点二、三角形一边的平行线判定定理及推论1.判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.2.推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.要点诠释：判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).要点三、平行线分线段成比例定理1.性质定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的

16、直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.要点诠释：（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；（2）平行线分线段成比例没有逆定理； (3) 由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.【典型例题】类型一、三角形一边的平行线性质定理1. 如图已知直线截ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.求证：EF：FD=CA：CB.【答案与解析】过D作DKAB交EC于K点. 则，即 又AD=BE， .【总结升华】运用三角形一边的平行线性质定理，即只要有平行线就可推出对应线段成

17、比例.举一反三【变式】如图,在ABC, DGEC, EGBC,求证:【答案】DGEC, EGBC, ,即.2.已知，ABC中，G是三角形的重心， AGGC，AG=3，GC=4，求BG的长. 【答案与解析】延长BG交AC于点D,G是三角形的重心，点D是线段AC的中点，又AGGC，AG=3，GC=4，AC=5，即DG=2.5， BG:GD=2:1.BG=5.【总结升华】三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍.类型二、三角形一边的平行线判定定理3. 如图，AM是ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.求证：DEBC.【答案与解析】

18、延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH BM=MC 四边形BPCH是平行四边形 BHCD，CHBE 在ABH和ACH中， 有，DEBC【总结升华】平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.举一反三【变式】如图，在ABC（ABAC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC 的延长线交于点P,求证：.【答案】过点C作CFAB交DP于点F,CFAB，ADE=EFCAD=AE,ADE=AED=FEC EFC=FECCF=CECFAB,即.类型三、平行线分线段成比例定理4. （2016兰州）如图，在ABC中，DEBC，若=，则=（）ABCD

19、【思路点拨】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可【答案】C【解析】解：DEBC，=，故选C【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大举一反三【变式】（2015舟山）如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则的值为（） B. 2 C. D. 【答案】D提示：AG=2，GB=1，AB=AG+BG=3，直线l1l2l3，=，沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习三角形一边的平行线 【

20、巩固练习】一选择题1.（2016杭州）如图，已知直线abc，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（）ABCD12. 如图，在ABC中，DEBC，则下列比例式成立的是( )AB CD3. 在ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且DEBC，则等于( )ABC D4. 如图，ABC中，DEAC交AB、BC于D、E，如果AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，则DE=( )AB CD5. 如图，在ABC中，如果DEBC，DFAC，则下列比例式中不正确的是( )ABC D 6. 如图，ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，则E

21、C：DE的值为( ) A2 B3 CD二. 填空题7. （2016无锡一模）如图，直线ADBECF，BC=AC，DE=4，那么EF的值是8. 如图，DEBC,BF:EF=4:3，则AC:AE=_.9已知点G是ABC的重心，AD是BC边上的中线，如果GD=2cm，那么AD=_.10. 如图，PMN,点A,B分别在MP,NP的延长线上，,则_.11. 如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点P,若AP=8，CP=12，BC=15.则AD=_.12.（2015香坊区三模）如图，ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DEFGBC，且AD：DF：FB=3：2：1，若AG=15，则EC的长为 .

22、三.综合题13. 如图，已知，ABCDEF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.14.已知：如图，在ABC中，AB=AC，且，EGCD证明：AE=AF15. 如图，ABC中，AD是中线，点F在AD上，且AF：FD=1：2，BF的延长线交AC于E，求AE：EC=？【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】abc，=故选B2【答案】 D.3【答案】 C.【解析】DEBC，,又，,即=.4【答案】D.【解析】DEAC，又AB=7cm，AC=5cm，AD=3cm，BD=4，即DE=.5【答案】C.【解析】提示： DEBC，DFAC，DE=CF, DF=CE.6.【答案】

23、B. 【解析】作GMCD交AB于点M,E是AG中点，MG=2DE,又G是BC中点，CD=2MG=4DE EC=3DG,即EC:DE=3:1.二、填空题7.【答案】2【解析】BC=AC，=，ADBECF，=，DE=4，=2，EF=28.【答案】4:3.【解析】DEBC, BF:EF=4:3，9.【答案】6cm.【解析】点G是重心，AG:GD=2:1，又GD=2，AG=4，即AD=6cm.10.【答案】3:2.【解析】，.11.【答案】10.12.【答案】9.【解析】DEFGBC，=，而AD：DF：FB=3：2：1，=，=，EC=9三、解答题13. 【解析】 ABCDEF，,又OA=14，AC=1

24、6，BD=12，OB=. 同理,CE=8，DF=6.14.【解析】证明：EGCD，=，且，=，=，即=，AB=AC，AE=AF15.【解析】作DGBE,AD是中线，EG=GC,又AF：FD=1：2，EG=2AE,即EC=4AE, AE:EC=1:4.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定-知识讲解（基础） 【学习目标】1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作.k就是它们的相似比，“”读作“相

25、似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点A的对应点是A，点B的对应点是B，点C的对应点是C；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理【高清课程名称： 相似三角形的判定（1） 高清：394497：相似三角形的判定】1判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3判定方法（

26、三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【典型例题】类型一、相似三角形1. 下列能够相似的一组三角形为( ).A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三

27、角形C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形【答案】C【解析】A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90、45、45角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.举一反三：【变式】给出下列几何图形：两个圆；两个正方形；两个矩形；两个正六边形；两个等边三角形；两个直角三角形；两个菱形其中，一定相似的有 （填序号）【答案】.类型二、相似三角形的判定2. 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，

28、AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.【答案与解析】 四边形ABCD是平行四边形， ABCD，ADBC， BEFCDF，BEFAED. BEFCDFAED. 当BEFCDF时，相似比；当BEFAED时，相似比； 当CDFAED时，相似比.【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.举一反三：【高清课程名称： 相似三角形的判定（2） 高清：394499：例4及变式应用】 【变式】如图，AD、

29、CE是ABC的高，AD和CE相交于点F，求证：AFFD=CFFE【答案】 AD、CE是ABC的高, AEF=CDF=90, 又AFE=CFE, AEFCDF. , 即AFFD=CFFE3. （2016福州）如图，在ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD（1）通过计算，判断AD2与ACCD的大小关系；（2）求ABD的度数【思路点拨】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与ACCD的值，从而可得到AD2与ACCD的关系；（2）由（1）可得到BD2=ACCD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明BCDABC，依据相似三角形的性质可知DBC=A，DB=

30、CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得ABD的度数【答案与解析】解：（1）AD=BC=1，BC=，AD=，DC=1=AD2=，ACCD=1=AD2=ACCD（2）AD=BC，AD2=ACCD，BC2=ACCD，即又C=C，BCDACB，DBC=ADB=CB=ADA=ABD，C=BDC设A=x，则ABD=x，DBC=x，C=2xA+ABC+C=180，x+2x+2x=180解得：x=36ABD=36【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得BCDABC是解题的关键4. 已知：如图，ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上

31、一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：BP2PEPF 【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2PEPF，可以判定所给的线段不能组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.【答案与解析】连接，是的中垂线，又，【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径.举一反三：【变式】如图，F是ABC的AC边上一点，D为CB延长线一点，且AF=BD,连接DF,交AB于E. 求证：.【答案】过点F作FGBC,交AB于G.则DBEFGEAGFABC , 又AF=BD,AGFABC,即.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的判定-巩固练习（

32、基础）【巩固练习】一、选择题1. 下列判断中正确的是( ).A.全等三角形不一定是相似三角形 B.不全等的三角形一定不是相似三角形C.不相似的三角形一定不全等 D.相似三角形一定不是全等三角形2已知ABC的三边长分别为、 2, ABC的两边长分别是1和, 如果ABC与ABC 相似, 那么ABC 的第三边长应该是 ( ).A. B. C.D.3（2015大庆校级模拟）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（）ABCD4. （2016盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与AEF相似的三角形有（）

33、A0个B1个C2个D3个5在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若AEF90，则一定有（ ）. AADEAEFBECFAEFCADEECFDAEFABF6. 如图所示在平行四边形ABCD中，EFAB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为( ). A.B.8 C.10 D.16二、填空题7. （2016娄底）如图，已知A=D，要使ABCDEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个条件，不添加辅助线和字母）8如图所示，C=E=90，AD=10，DE=8，AB=5，则AC=_.9.如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2)，如果点C在x轴上(C与A不重合)，当

34、点C的坐标为_或_时，使得由点B、O、C组成的三角形与AOB相似(至少找出两个满足条件的点的坐标).10.如图，已知ABBD，EDBD，C是线段BD的中点，且ACCE，ED=1，BD=4，那么AB=_.11.如图，CDAB，AC、BD相交于点O,点E、F分别在AC、BD上，且EFAB,则图中与OEF相似的三角形为_.12如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE交CD于点F,则图中相似三角形共有_对.三解答题13. 如图，在ABC中，DEBC，AD3，AE2，BD4，求的值及AC、EC的长度14. 如图在梯形ABCD中，ADBC，A90，且，求证：BDCD15.如图，在ABC

35、中，已知BAC=90，ADBC于D，E是AB上一点，AFCE于F，AD交CE于G点，（1）求证：AC2=CECF；（2）若B=38，求CFD的度数【答案与解析】一选择题1.【答案】C.2.【答案】A.【解析】根据三边对应成比例，可以确定，所以第三边是3.【答案】B.【解析】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、只有选项B的各边为1、与它的各边对应成比例故选B4.【答案】C【解析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABDC，AEFCBF，AEFDEC，与AEF相似的三角形有2个5.【答案】C.【解析】AEF90, 1+2=90，又D=C=90，3+2=90， 即1=3，ADEEC

36、F.6.【答案】C.【解析】 EFAB， CD=10，故选C.二. 填空题7.【答案】ABDE【解析】A=D，当B=DEF时，ABCDEF，ABDE时，B=DEF，添加ABDE时，使ABCDEF8.【答案】3 .【解析】 C=E，CAB=EAD， ACBAED，BC=4，在RtABC中，.9【答案】；.10.【答案】4.【解析】ABBD，EDBD，B=D=90，又ACCE，BCA+DCE=90，BCA=E,ABCCDE.C是线段BD的中点，ED=1，BD=4BC=CD=2,即AB=4.11.【答案】OAB,OCD.12.【答案】3.【解析】平行四边形ABCD，ADBE.ABCDEFCEAB;

37、EFCAFD; AFDEAB.三 综合题13.【解析】DEBC，ADEABC， ，AC，ECACAE14.【解析】ADBC，ADBDBC， 又，ABDDCB， ABDC，A90，BDC90，BDCD15.【解析】解：（1）ADBC，CFA=90，BAC=90，CFA=BAC，ACF=FCA，CAFCEA，=，CA2=CECF；（2）CAB=CDA，ACD=BCA，CADCBA，=，CA2=CBCD，同理可得：CA2=CFCE，CDBC=CFCE，=，DCF=ECB，CDFCEB，CFD=B，B=38，CFD=38沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的性质及应用-

38、知识讲解（基础） 【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清： 394500：相似形的性质】1相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比，则由比例性质可得： 4. 相似三角形面积的

39、比等于相似比的平方，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.【高清课程名称：相似三角形的性质及应用 高清：394500：应用举例及总结】要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2如乙图所示，可先测AC、DC及DE的

40、长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释：1比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.（2015上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE（1）求证：DEBE；（2）如果OECD，求证：BDCE=CDDE【答案与解析】证明：（1）四边形ABCD是平

41、行四边形，BO=BD，OE=OB，OE=BD，BED=90，DEBE；（2）OECDCEO+DCE=CDE+DCE=90，CEO=CDE，OB=OE，DBE=CDE，BED=BED，BDEDCE，BDCE=CDDE【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键举一反三【变式】（2015铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则DEF的面积与BAF的面积之比为（）A3：4B9：16C9：1D3：1【答案】B提示：四边形ABCD为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC=3：1，

42、DE：DC=1=3：4，DE：AB=3：4，SDFE：SBFA=9：16 故选：B2. （2016本溪）如图，ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且ACD=ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当DCE和ABC相似时，线段CE的长为 【思路点拨】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决【答案】3或【解析】解：DCEABC，ACD=ABC，AC=6，AB=4，CD=2，A=DCE，或即或解得，CE=3或CE=故答案为：3或【总结升华】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答举一反三：【变式】

43、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1200和1500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为ABC，地块在甲图上为A1B1C1，在乙图上为A2B2C2. ABCA1B1C1A2B2C2且，.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上那么A、B之间的距离是多少？ ABBC，CDBCABO=DCO=90又 AOB=DOCA

44、OBDOC.BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m 即河宽为85m【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比 相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m(1)图中ABC与ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)ABCADE BCAE，DEAE，

45、ACB=AED=90 A=A，ABCADE (2)由(1)得ABCADE AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m， DE=16m 即古塔的高度为16m。【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.举一反三【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQAC,根据物理学原理知BPQ=QPD,则APB=CPD，BAP=DCP=90， ABPCDP,即,DC=6.3米

46、.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习相似三角形的性质及应用-巩固练习（基础） 【巩固练习】一、选择题1（2015酒泉）如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，DEAC，若SBDE：SCDE=1：3，则SDOE：SAOC的值为（）ABCD2. （2016临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A1：16B1：4C1：6D1：23某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为94，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（ ）A24米 B54米 C24米或54米 D36米或54米4. 图为ABC与DEC重叠

47、的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB/ DE.若ABC与DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )A3 B7 C12 D155如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A6米 B8米 C18米 D24米6. 要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空题7. （2016徐州）如图，ABC

48、中，D、E分别为AB、AC的中点，则ADE与ABC的面积比为 8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为_.9（2015吉林）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m10. 梯形ABCD中，ADBC,AC，BD交于点,若=4， =9， =_.11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则_.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的_倍.三、解答题13. 一位同学想利用树影测量树高，

49、他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？14.（2015蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点

50、.(1)找出与相似的三角形.(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？ 【答案与解析】一选择题1【答案】D【解析】SBDE：SCDE=1：3，BE：EC=1：3；BE：BC=1：4；DEAC，DOEAOC，=，SDOE：SAOC=，故选D2.【答案】D【解析】两个相似三角形的面积比是1：4，两个相似三角形的相似比是1：2，两个相似三角形的周长比是1：2. 3【答案】C.4【答案】B.5【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以ABPCDP6【答案】C【解析】提示：面积比等于相似比的平方二填空题7.【答案】1：4【解析】D、E分别为AB、AC的中点，DE=BC，DEBC，

51、ADEABC，=（）2=. 8【答案】45cm2.9【答案】1210【答案】25.【解析】 ADBC， AODCOB， ， AO:CO2:3，又，又 ，11.【答案】4:10:25【解析】 平行四边形ABCD，DEFBAF,DE:EC=2:3,DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，DEF与BEF是同高的三角形，12【答案】.三.综合题13【解析】作CEDA交AB于E，设树高是xm， 长为1m的竹竿影长0.9m 即 x4.2m14【解析】解：如图，根据反射定律知：FEB=FED，BEA=DECBAE=DCE=90BAEDCE；CE=2.5米，DC=1.6米，； AB=12.8答：大楼AB的高

52、为12.8米15【解析】(1)与BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况： PDEBCP，PCEBCP，BPEBCP (2)如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E， 则 PDEBCP PDE与BCP的周长比是1:2 BCP的周长是2a如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，则， PCEBCP PCE与BCP的周长比是1:2 BCP的周长是2a如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时， BPEBCP BPE与BCP的周长比是:2， BCP的周长是沪教版初三数学上册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习实

53、数与向量相乘及向量的线性运算（基础） 知识讲解 【学习目标】1理解实数与向量相乘的定义及向量数乘的运算律；2. 对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量；3认识两个平行向量的代数表达形式；4. 在向量的线性运算和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系.【要点梳理】要点一、实数与向量相乘1. 实数与向量相乘的意义：一般地，设为正整数，为向量，我们用表示个相加；用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量.要点诠释：设P为一个正数，P就是将的长度进行放缩，而方向保持不变；-P也就是将的长度进行放缩，但方向相反.2向量数乘的定义一般地，实数与向量的相乘所得的积

54、是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（1）如果时，则：的长度：；的方向：当时，与同方向；当时，与反方向；（2）如果时，则：，的方向任意.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（4）表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（5）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3. 实数与向量的相乘的运算律：设为实数，则：（1）（结合律）； （2）（向量的数乘对于实数加法的分配律）； （3） （向量的数乘对于向量加法的分配律）要点二、平行向量定理

55、1.单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量与它同方向的单位向量的关系：，.2.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使.要点诠释：（1）定理中，的符号由与同向还是反向来确定.（2）定理中的“”不能去掉，因为若，必有，此时可以取任意实数，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量平行.（4）向量平行的性质定理：若向量与非零向量平行，则存在一个实数，使. （5）A、B、C三点的共线若存在实数，使. 要点三、向量的线性运算1向量的线性运算定义：向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.

56、 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行2向量的分解：平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使得.要点诠释： （1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量 (2) 一个平面向量用一组基底表示为形式，叫做向量的分解，当相互垂直时，就称为向量的正分解. (3) 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合，基

57、底不同，表示也不同3用向量方法解决平面几何问题：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量来表示另外一些向量，除利用向量的加、减、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解（2）用向量方法研究平面几何的问题的“三步曲”：建立平面几何与向量的联系，将平面几何问题转化为向量问题.通过向量运算，研究几何元素的关系.把运算结果“翻译”成几何关系.【典型例题】类型一、实数与向量相乘1. 已知非零向量，求作并指出它们的长度和方向.【答案与解析】解：如下

58、图， (1)在平面内任取一点O，作；(2)在射线OA上，取，则；的长度是且与同向.(3)在射线OA的反向延长线上，取，则；长度是且与反向.【总结升华】向量既有大小又有方向，作实数与向量相乘的积向量时两方面都要考虑. 举一反三：【变式】已知单位向量，若向量与的方向相同，且长度为4，则向量= （用表示）.【答案】2. （2016上海）已知在ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=， =，那么向量用向量、表示为（）A +BC+D【思路点拨】由ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法则，求得答案【答案】A【解析】解：如图所示：在ABC

59、中，AB=AC，AD是角平分线，BD=DC，=，=，=，=+=+故选：A【总结升华】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法则的应用是解题关键类型二、向量的线性运算3（1）3(-)-2(+2)； （2）2(2+6-3)-3(-3+4-2)【答案与解析】解：（1）原式（3-3)+（2）+（2）2 3-324 -7（2）原式2(2)+2（6）-2（3）+（-3）(-3)+（-3）)（4）+（-3）(-2)（4+12-6)+9-12+6（4+9）+（12-12）+（-6+6）13【总结升华】向量的线性运算与多项式的运算相类似.举一反三：【变式】计算：（1）； （2）； 【答案】解：（1）原式=；

60、（2）原式=4已知向量和向量，求作向量-2.【答案与解析】解：如图，在平面内任取一点O，作，则即即为所求.【总结升华】解题的关键是向量加法，减法及数乘运算法则，掌握数形结合思想的应用.举一反三：【变式】已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则向量a+b表（）.A向东南航行km B向东南航行2km C向东北航行2km D向东北航行2km【答案】A 5（2015普陀区一模）如图，已知ABCD，AD与BC相交于点O，且=（1）求的值（2）如果，请用表示【答案与解析】解：（1）ABCD，AOBDOC，=，=；（2）由（1）知，AD=AO，=【总结升华】此题考查了平面向量的知识