2022年人教A版必修4第三章导学案311两角差的余弦公式

1、人教 A 版必修 4 第三章导学案3.1.1 两角差的余弦公式3.1.1 两角差的余弦公式【学习目标】1.明白两角差的余弦公式的推导过程,懂得用向量法导出公式的主要步骤 难点 . 2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特点,并能利用该公式进行求值、运算 重点 【学问梳理】1.推导方法 1向量法 ：把 cos - 看成是两个向量夹角的余弦,可以考虑利用两个向量的数量积来讨论 .如图 3-1-2,设 、 的终边分别与单位圆交于点 P1cos ,sin 2cos ,sin,由 于余弦函数是周期为 2 的偶函数,所以我们只需考虑 0- 的情形 . 图 3-1-2 设向量 a=OP =cos ,sin,b

2、=OP =cos ,sin,就 ab=|a| |b| cos - =cos - ;另一方面,由向量数量积的坐标表示有ab=cos cos +sin sin ,所以 cos - =cos cos +sin sin .于是对于任意的、 都有上述式子成立. 图 3-1-3 推导方法 2三角函数线法 ：设 、 、- 都是锐角,如图3-1-3,角 的终边与单位圆的交点为 P1,POP1= ,就 POx=-；过点 P 作 PM x 轴于 M ,就 OM 即为 - 的余弦线 .在这里,我们想法用、 的三角函数线来表示OM；过点 P 作 PAOP1 于 A,过点 A 作 AB x轴于点 B,过点 P 作 PC

3、AB 于点 C,就 OA 表示 cos,AP 表示 sin ,并且 PAC=P1Ox= ,于是 OM=OB+BM=OB+CP=OAcos +APsin =cos cos +sin sin ,即 cos - =cos cos +sin sin .2.公式的结构特点1 / 10 人教 A 版必修 4 第三章导学案3.1.1 两角差的余弦公式记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积,连接符号与左边的连接符号相反 . 3.两角差的余弦公式 C-的应用1如所求角能表示成两个特别角的差的形式,就所求角的三角函数值可用两个特别角的三角函数值表示出来 . 2已知角 、 的弦函数值,求 cos - 的值 .

4、 由 cos - 的绽开式可知要求 cos - 的值,只需求得 、 的正弦值与余弦值即可 .其中sin 、cos , sin 、cos 都是同角的三角函数关系 . 3利用两角差的余弦公式证明三角恒等式 . 4利用两角差的余弦公式化简三角函数式 . 学法一得 公式使用时不仅要会正用,仍要能够逆用, 在许多时候, 逆用更能简洁地处理问题.如由 cos50cos20+sin50 sin20 能快速地想到30=1. 2cos50cos20+sin50 sin20 =cos50-20 =cos 误区警示和差角的余弦公式不能按安排律绽开,即cos cos cos .测一测学问点 两角差的余弦公式公式 co

5、scos_cos_sin_sin_简记符号 C使用条件 , 都是任意角【基础试练】1. cos 44 cos 14 sin 44 sin 14 的值为 2 2A1 2B1 2C3D322解析原式 cos44 14cos 30 3 2答案C 2. 已知 是锐角, sin 3,就 cos 3_解析由于 是锐角, sin 2 3,所以 cos 5 3,所以 cos 3 cos 3cos sin 3sin 1 25 32 2 352 36答案52363.如 acos 60 ,sin 60 ,b cos 15 , sin 15 ,就 ab A2B1 22C3D1 22解析abcos 60 cos 15

6、sin 60 sin 15 cos60 15cos 45 2 / 10 人教 A 版必修 4 第三章导学案3.1.1 两角差的余弦公式答案A 24 527 1024.已知 sin 4 5,0, 2,就 cos 4_解析由条件可得cos 3 5,cos 4cos cos 4sin sin 43 5答案7 2 105.运算：1 2sin 603 2 cos 60 _解析原式 sin 30 sin 60 cos 30 cos 60 cos60 30cos 30 3 2答案3 2【例题讲解】题型一两角差的余弦公式的正用和逆用B62【例 1】1cos15的值是 A6222C642D6242cos35co

7、s25sin 35sin25_3cos 7 sin 15sin 8_2 2cos 8 解析1cos15cos30 45cos 30 cos 45 sin 30 sin 45 3 221 26422原式 cos35 25cos3525cos60cos 60 1 23原式cos 158 sin 15sin 8cos 8 cos 15 cos 8 sin 15 sin 8cos 8 sin 15sin 8cos 15 cos 8 cos 15 cos60 45cos 8 624答案1D21 23624规律方法运用两角差的余弦公式求值的留意点1要深刻懂得所用公式的特点、恰当地套用公式,2在利用两角差的

8、余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知特 殊角 如 30,45,60,90,120 ,150, 之间和与差的关系问题,然后利用公式化简 求值【训练 1】求以下三角函数式的值： 12；2cos 15 cos 105 sin 15 sin 105 1sin解 1原式 cos 2 12cos 12 cos 4 6 3 / 10 人教 A 版必修 4 第三章导学案cos 4cos 6sin 4sin 66243.1.1 两角差的余弦公式2原式 cos15 105cos90 cos 90 02,求 cos题型二给值求值【例 2】设 cos 2 1 9,sin 2 2,其中 2, ,

9、 0,解由于 2, , 0, 2所以 2 4, , 2 4, 2由于 cos 2 1 9,sin 2 2 3,所以 sin 21cos 2 211 814 5 9,cos 2 1 sin 2 2 14 95 3所以 cos 2cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1 934 5 9 2 37 5 27规律方法给值求值问题的解题策略1从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要留意观看已知角与所求表达式中角的关系,依据需要敏捷地进行拆角或凑角的变换2常见角的变换： ； 2 2； 2； 2 【训练 2】已知 sin 2 3, 2, ,cos

10、 3 4, ,32,求 cos的值解 2, ,sin 2 3,cos 1sin 235又 ,3 2,cos 3 4,sin 1 cos 247coscos cossin sin 53 42 37 2,求 的值3435 2 712典例迁移题型三给值求角【例 3】已知 cos 1 7, cos 11 14,且 , 0,解, 0,2且 cos 1 7,cos 11 14,4 / 10 人教 A 版必修 4 第三章导学案0, , sin 1cos 24 3 7,sin1cos 2 5 314又 ,3.1.1 两角差的余弦公式cos coscoscos sinsin 11 14 15 3144 3712

11、又 0,2, 3【迁移 1】如例 3 条件中的“cos11 14” 改为“sin5 14” ,就 的值是什 3么？解,0, 2, 0, ,cos 1 7,sin5 14,3sin 4 3 7,cos 11 14,当 cos11 14时, cos coscoscos sinsin 11 14 1 75 14 4 71 2,0, 2, 3；当 cos 11 14时, cos coscoscos sinsin 11 14 1 75 14 34 771 98,即 cos ,所以 ,就 4答案45. 已知 acos ,sin ,bcos , sin ,0 2,且 ab1 2,求 解0,20 2又 abc

12、os cos sin sin cos 1 2, 36. 已知 cos cos 1 2,sin sin 1 3,求 cos解 由 cos cos 1 2两边平方得cos cos 2 cos 2cos 22cos cos 14.由 sin sin 1 3两边平方得sin sin 2sin 2sin 22sin sin 1 9.得1322cos cos sin sin 36cos cos sin sin 59 72,cos59 728 / 10 人教 A 版必修 4 第三章导学案3.1.1 两角差的余弦公式7. 如 cos5,cos 2510,并且 , 均为锐角,且 10 ,就 的值为 A6 B43

13、 5C4 D6解析 由条件得 sin25 5,sin 23 10,就 coscos2cos 102cossin 2sin 1010 53 10 2 5 52,又由于 0, ,2所以 3 4答案 C 8 cos 165 等于 1 3A2 B262 62C4 D4解析 cos 165 cos180 15 cos 15 cos45 30 cos 45 cos 30 sin45 sin 30 624答案 C 9. 已知 sin sin sin 0,cos cos cos 0,就 cos 的值是 _sin sin sin 解析 由cos cos cos 2 2. 22sin sin cos cos 1

14、. cos1 2答案1210. 化简2cos 10 sin 20cos 20 _ 解析 原式2cos 3020 sin 20cos 20 3cos 20 sin 20sin 20cos 20 3答案 3 11.已知向量 acos ,sin , bcos ,sin ,0, 且 a b,求 的值解 由于 ab,所以 abcos cos sin sin cos0.由于 ,所以 2或 29 / 10 人教 A 版必修 4 第三章导学案3.1.1 两角差的余弦公式12.已知向量 asin , 2与 b1,cos 相互垂直,其中 0, 21求 sin 和 cos 的值；2如 5cos35cos ,0 2,求 cos 的值解1由于 ab,所以 ab sin 2cos 0,即 sin 2cos 又由于 sin 2cos 21,所以 4cos2cos 21,即 cos 21 5,所以 sin 24 5,又 0,2,所以 sin 2 5,cos 5552由于 5cos 5cos cos sin sin 5cos 2 5sin 3 5cos ,所