信号与线性系统教学第7讲课件

1、信号与线性系统第 7 讲教材位置: 第3章 傅立叶变换的性质 3.8内容概要: 介绍傅立叶变换的性质、傅立叶变换的计算2022/8/21信号与线性系统第7讲2开讲前言前讲回顾常用函数的傅立叶变换指数函数可收敛的阶跃函数、冲击函数、符号函数傅立叶变换积分的技巧变换更换、分项对比周期函数的傅立叶变换指数函数、三角函数的傅立叶变换周期函数的傅立叶变换及其频谱离散性信号能量的频域表示功率谱和能量谱信号的有效带宽、波形的有效脉宽2022/8/21信号与线性系统第7讲3开讲前言本讲导入已有傅立叶变换的知识信号的正交分解周期信号的傅立叶级数与频谱非周期信号频谱的连续与傅立叶变换的引入频谱密度函数周期信号的傅

2、立叶变换常用信号的傅立叶变换傅立叶变换在信号能量频域分析的作用为了更好的利用傅立叶变换进行信号分析需要进行傅立叶变换性质的分析，以从数学的角度提高计算傅立叶变换的能力2022/8/21信号与线性系统第7讲43.8傅立叶变换的性质1、线性性若 f1(t)F1( j ) ,f2(t)F2( j )则 a f1(t)+b f2(t)aF1( j )+b F2( j )其中 a、b 均为常数。2022/8/21信号与线性系统第7讲53.8傅立叶变换的性质2、时延性 f(t - t0)若 f(t)F ( j )则F ( j )F f(t-t0)=证:根据FT的定义，有同理 F f(t+t0)=F ( j

3、 )2022/8/21信号与线性系统第7讲63.8傅立叶变换的性质举例f1(t)t0Af2(t)t0A220( )2 4 6 相位谱8 2例：求矩形脉冲的频谱函数。解：门函数的频谱函数为)2()(wttwSaAjF2=由时延性可得显然|F1(j)|= |F2(j)| 2022/8/21信号与线性系统第7讲73.8傅立叶变换的性质举例课堂练习对图示波形进行傅立叶变换答案2022/8/21信号与线性系统第7讲83.8傅立叶变换的性质3、频移性则 f(t)e F(j- )jctjc证明：根据傅里叶的定义有若 f(t) F(j)jctjc即 f(t)e F(j - )同理可得jctjc f(t)e-

4、F(j + )频谱F(j)搬移jc2022/8/21信号与线性系统第7讲93.8傅立叶变换的性质即 f(t)cos ct F(j+jc)+ F(j-jc) /2同理： F f(t)sinct= F(j jc ) - F(j - jc ) / 2 j2022/8/21信号与线性系统第7讲103.8傅立叶变换的性质求矩形调幅信号G(t)cosct的频谱函数.解: 门函数的频谱为G (t)t0A22A2 4 G(j )06 2 4 2022/8/21信号与线性系统第7讲113.8傅立叶变换的性质矩形调幅信号的频谱 图Atf(t)=G(t)cosct22A2-c2 c+2 c-G(j +j c)+ G

5、(j -j c)02022/8/21信号与线性系统第7讲123.8傅立叶变换的性质4、比例性（尺度变换特性）时域中函数尺度变化f(t)=sint 在 0 t 2 间有一个完整的正弦波。f(t)沿t 轴压缩三倍，新函数应记为f(3t)=sin3t.f(t)沿t 轴扩展两倍，新函数应记为f(t/2)=sin(t/2).0f(t)=sint.1t2012tf(3t)=sin3t.012t结论：代表信号的函数 f (t) 沿时间轴压缩或扩展而成的新函数，当 a 是大于1的正实数时，表示信号压缩了a 倍,当 a 是小于1 的正实数时， 表示信号扩展了1/a 倍2022/8/21信号与线性系统第7讲133

6、.8傅立叶变换的性质傅里叶变换的尺度变化关系表达式证明：傅里叶变换表达式：令 x = at , 则 t = x/a, dt = 1/a da 若 a 0，当 t = ， x = , t = - , x = - 若 a 0 , 当 t = ， x = - , t = - , x = 综合两种情况，便可求证特别对于 a = -1 f (-t) F(-j)结论信号在时域中的时间函数压缩（扩展）a 倍，它在频域中的频谱函数要扩展（压缩）a 倍。对于a=-1的情况， 时域中沿纵轴反褶等效频域中沿纵轴反褶。2022/8/21信号与线性系统第7讲143.8傅立叶变换的性质尺度变化图解f(t/2)t01-f(

7、t)t012222 02 2F(2j)(a) a=0. 5(b) a=1f(2t)t01444 02 F(j)2 4 (c) a=24 01/2F(j/2)4 22022/8/21信号与线性系统第7讲153.8傅立叶变换的性质等效脉宽和等效频宽对任意形状的f（t）和F(j)，有傅里叶变换若令 、Bs 分别为f（t）和F( j)等效宽度， 根据等效脉冲宽度和等效频带宽度的定义，可以推导等效脉冲宽度和等效频带宽度之积为常数0f（0）f（t）t0F（0）F（j） Bs2022/8/21信号与线性系统第7讲163.8傅立叶变换的性质5、奇偶性e-jt=cos t-jsin t 频谱函数的实部与模量是频

8、率 的偶函数，虚部与相位是频率 的奇函数。如果 f(t) 是 t 的偶函数，则频谱函数只有实部，如果 f(t) 是 t 的奇函数，则频谱函数只有虚部，2022/8/21信号与线性系统第7讲173.8傅立叶变换的性质举例课堂练习已知利用奇偶性质计算 傅立叶变换【解答】函数x(t)实的偶函数2022/8/21信号与线性系统第7讲183.8傅立叶变换的性质6、微分性时域微分证明：若 f(t) F(j)傅里叶反变换的原函数2022/8/21信号与线性系统第7讲193.8傅立叶变换的性质频域微分若 f(t) F(j)则2022/8/21信号与线性系统第7讲203.8傅立叶变换的性质7、积分性时域积分特性

9、证明：若 f(t) F(j)如果F(o)= 0 ，或将 = 0 点除去不计2022/8/21信号与线性系统第7讲213.8傅立叶变换的性质频域积分特性若 f(t) F(j)则2022/8/21信号与线性系统第7讲223.8傅立叶变换的性质举例课堂练习已知冲击函数的傅立叶变换，利用积分性质求阶跃函数的傅立叶变换？已知阶跃函数的傅立叶变换，利用微分性质求冲击函数的傅立叶变换？2022/8/21信号与线性系统第7讲233.8傅立叶变换的性质举例利用微分、积分性质，求图示波形的傅立叶变换【解答】实函数奇函数纯虚函数奇函数3.8傅立叶变换的性质举例利用积分性质的注意事项函数求导后丢失的直流分量2022/

10、8/21信号与线性系统第7讲253.8傅立叶变换的性质8、卷积性时域卷积证明若令 a = t - ，da = dt2022/8/21信号与线性系统第7讲263.8傅立叶变换的性质频域卷积若 f(t) F(j)g(t)G(j)，则 f(t)g(t)2022/8/21信号与线性系统第7讲273.8傅立叶变换的性质9、对称性 f(t) F(j 则 F(jt) 2 f(- )证明上式右边，将变量用 一个虚设变量x代替，可得：相应用替代 t 有将变量 x 用 t 代替，则得2022/8/21信号与线性系统第7讲283.8傅立叶变换的性质如果 f (t) 是 t 的偶函数,其频谱函数只有实部R （ ），且

11、为偶函数，此时 2 f(- )= 2 f( )= F F(jt)= F R(t)由此可知: 偶函数f(t) 有频谱函数R( ，则与R( 形式相同的时间函数R(t的频谱函数为2 f( )。f(t)= (t)（1）t0(a)f()= 2 ()（2 ）0(c)R()=11t0(b)正变换R(t)=11 t0(d)反变换偶函数时域和频域的对称性2022/8/21信号与线性系统第7讲293.8傅立叶变换的性质f(t)t0122(a) 2 0t2 R(t)4 (c) 4 04 2R()2(b)0222f()(d)解：f(t)=1 | t | 22其傅里叶变换2w tt)(SaF(j)=则根据偶函数的对称性，它的傅里叶变换为F F(jt)=2f () =20| | 2022/8/21信号