上海中考数学压轴题带来的启示

1、学习必备欢迎下载条条大路通罗马-2009年上海中考数学压轴题带来的启示，今年上海中考数学试卷设计的思路是“注重双基、体现新意、适度区分”尤其最后一题在体现新意方面做了一些有益的尝试。（题目：已知ABC=90，AB=2，BC=3，ADBCP为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足PQADPCAB（如图1所示）（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，联结AP，当AD=32，且点Q在线段AB上时，设B、Q之间的距离为x，SSAPQPBCy，其中SAPQeqoac(,表示)APQ的面积，SPBCeqoac(,表示)PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并

2、写出函数定义域；（3）当ADAB,且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求QPC的大小）ADADAD（Q）CQBP图1CBP图2PBC图3Q一、稳中求变，变中求新，促进探究型教与学虽然，今年中考数学的压轴题仍然是“动态几何+函数”，但与往年的压轴题也有着几处明显的区别。：。首先，体现在函数的定义域上。往年也有求函数定义域的问题，但大都是以最初的动点（主动点）与某定点的线段长度为自变量，主要考查考生对动态图形的观察能力，特别是对特殊位置的观察；今年的函数自变量选择了从动点Q与定点B之间的距离为自变量x，使得求函数定义域的主要手段不再是直观的观察，而是理性的推导和计算，体现了数学的理性思维要

3、求，这一变化击中了我们几何复习教学的“软肋”用直观观察代替理性思考。其次，在判定三角形相似的方法上。我们知道，一般情况下是不能用“SSA”（边边角）来判定两个三角形相似的，但是在特殊情况下它是可以用来判定两个三角形相似的，例如，在两个直角三角形中、在两个钝角三角形中、在两个等腰三角形中。平时教学中，老师们非常重视和强调一般情况下的“不能”，却缺乏引导学生进行反思和研究特殊情况下的“能”其三、在数量关系与位置关系的推理上。往年动态几何题中由位置关系探求数量关系的较多，今年是由数量关系（PQAD），探究PQ与PC的位置关系（虽然问的是QPCPCAB的大小），更看重考生从“数”走向“形”的判断和探究

4、能力。可见，今年的压轴题对初中数学进行探究型的教与学，倡导教与学的反思，有着很好的导向作用。二、新中求通，通中求异，促进合作型教与学与往年一样，压轴题涉及到的知识点和思想方法较多，今年压轴题涉及到的知识和定理学习必备欢迎下载有：平行线的性质、等腰直角三角形、相似三角形的判定和性质运用、勾股定理及其逆定理、三角形的面积表示或三角形面积之间的关系、矩形的性质、锐角三角比等。考查了学生的转化能力、证明能力、计算能力，同时又考查了学生在图形动态情况下的想象能力以及运用一般与特殊、数形结合等思想方法，从而考查考生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力。本题由于涉及的知识点较多，沟通了许多数学知识之

5、间的联系，所以解题的方法也较多。特别是第（3）小题，以运用相似三角形的性质为基础，可从几何论证入手，也可用同一法的思想从构造法入手；以代数式的恒等变形和整体代入为基础，可以用勾股定理的逆定理进行思考，还可利用高中的函数思想和解析法来解决问题。解法一、如图1过点P作PMBC于M，过点P作PNAB于N，则四边形PMBN是矩形，PN/BM,PMBN,MPN900AD图7CPNADAD/BC，PN/AD，BNAB，PNADADPQPNPQPMABABPCPMPC又PMCPNQ900，PCMPQN，CPMQPN，NBQPM图1QPCCPMMPQNPQQPMNPM900.解法二、如图1假设QPC900，过

6、点P作PMBC于M，过点P作PNBC于N，则四边形PMBN是矩形，NPQQPMQPMMPC900,NPQMPC,又PNQPMCNPQMPC，PQPNPQPN，而PMBN，PCPMPCBN，PNADPQAD，又PN/AD，BNABPCAB解法三、如图2，且以上每步可逆。综上，可得QPC900.AD过点P作PMBD交直线BC于M，ADBPBM且DABMPB900，PADPBADBPBM，ABPMADPQPBPQ，ABPCPMPC，BQ2图图8MCPBQ与PMC都是钝角，PBQPMC，BPQMPC，QPCCPMMPQQPBQPMBPM900.解法四、如图3过点P作PK使PKCPBQ，PK与BC交于点

7、K，则ABPPKB，ADAD/BC，ADBPBK，PBADPQBPKDABBPK900,PKABPC又PKCPBQ,且它们都是钝角PKCPBQ，BPQKPC，QPCCPKKPQQPBQPKBPK900.BQP图9K图3C学习必备欢迎下载解法五、如图4过点P作PQPC交直线AB于Q，连QC,则QPC900，又QBC900，P、B、Q、C四点共圆，BQPBCP，BPQBCQ，BQP，PCQPCBBCQ而ABDBPQABDPCQ，ADPBC又BADQPC900，ABDPCQ，PQADPQ，PQPQ，PCABPCQQ图10图4又点Q与点Q都在线段AB的延长线上，点Q与点Q重合，QPCQPC900解法六

8、、如图5过点P作PCPQ交直线BC于点C，则QPC900A过点P作PMBC于M，过点P作PNAB于N，则QPC900,DPM/AQ，BQPQPM，QPMPCM，BQPPCM，NPPNPQPMPCMCC，而，又AD/PN，B又PNQPMC900，PNQPMC，QPNADADPQPQADPQPQBNABABPCPCABPCPC5图11，PCPC，又点C与点C都在点B的右侧，点C与点C重合，QPCQPC900.解法七、如图6ADBMADPQADNBMPQPMBMPMPNBC图76图即，而PNBM，过点P作PMBC于M，过点P作PNAB于N，AB/PM，PBABPM，又BADPMB900，P，又BAD

9、PMB，PMABPCABMPMPCPCPQPCPQQ即sinPQNsinPCM，PQN、PCM都是锐角，PQNPCM，即PQBPCB，P、B、Q、C四点共圆，QPCQBC900.解法八、如图7过点P作PMBC于M，过点P作PNBC于N，则PN/AD,MPBN，设AD=a，PNc，ADPQ2c2（x）2，在RtPMC中，PMBNAB2c由PN/AD，得，MPBN，PNADa2c在RtQPN中，PNc，QNQBBNx，a2c2caa2MCBCBMBCPN3c，PC2（3c）（2caNBQ2），PM图7C连QC，在RtQBC中，BQx，BC3，QC2x29，PQADaPQ2a2，又，整理得a2c3a

10、22ax4c02PCAB2PC4）2+（3c）2（）2=x29（a2c3a22ax4c）PQ2PC2=c2（x学习必备欢迎下载2c2c2caaa2由得，PQ2PC2=x29，即PQ2PC2=QC2，QPC900P（c，），PQ2c2（x）2，PC2（3c）2（）2，解法九、如图8AD2建立如图所示直角坐标系，则（0，2），Q（0，-x），设（a，），点P的横坐标为c，点P在直线OD上，2c2c2caaayADPPQADaPQ2a2，PCAB2PC242由c3，可整理得4c2axa（3c）O（B）图12图8Cxcc32c2c4c2ax又kPQ2c2cxa,ka，kPCPQkPCaa，Qxcc3a2(c3)4c2ax由得，kPQkPC2c2cxaacc3a2(c3)1，PQPC，QPC900.c，点P在直线OD上，P（c，），PQ2c2（x），PC2（3c）2（）2，解法十：如图8AD2建立如图所示直角坐标系，则（0，2），Q（0，-x），设（a，），点P的横坐标为2c2c2c2aaaPQADa，PCAB2PQ2a2PC242，由c3，可整理得4c2axa（3c）2c2c2c2c又PQ(c,x),PC(3c,)，PQPCc(c3)(x)aaaa=ca2(4c2ax)a2(3c)，由可得，PQPC0，PQPC，QPC900.从以上多种解法(除