第10炼函数零点个数问题

1、第10炼函数零点的个数问题一、知识点解说与解析：1、零点的定义：一般地，对于函数yfxxD，我们把方程fx0的实数根x称为函数yfxxD的零点2、函数零点存在性定理：设函数fx在闭区间a,b上连续，且fafb0，那么在开区间a,b内最少有函数fx的一个零点，即最少有一点x0a,b，使得fx00。1）fx在a,b上连续是使用零点存在性定理判断零点的前提2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假定fx连续）若fafb0，则fx的零点不一定只有一个，能够有多个若fafb0，那么fx在a,b不一定有零点若fx在a,b有零点，则fafb不一定必须异号3、若fx在a,b上是单一函数且连续，则fafb0fx在

2、a,b的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为yfx，则fx的零点即为知足方程fx0的根，若fxgxhx,则方程可转变为gxhx，即方程的根在坐标系中为x,hx交点的横坐标，其范围和个数可从图像中获得。由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转变，在解决相关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转变。（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边结构为一个函数，进而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。比方：对于方程lnxx0，无法直接求出根，结构函

3、数fxlnxx，由f10,f1即可判021定其零点必在,1中22、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：经过代入特殊值精准计算，将零点圈定在一个较小的范围内。缺点：方法单一，只能判断零点存在而无法判断个数，且可否获得结论与代入的特殊值相关（2）方程的根：工具：方程的等价变形作用：当所给函数不易于解析性质和图像时，可将函数转变为方程，进而利用等式的性质可对方程进行变形，结构出便于解析的函数缺点：能够直接求解的方程种类较少，好多转变后的方程无法用传统方法求出根，也无法判断根的个数（3）两函数的交点：工具：数形联合作用：前两个主假如代数运算与变

4、形，而将方程转变为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特点，是数形联合的体现。经过图像可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或许确定参数的取值范围。缺点：数形联合可否解题，一方面受制于利用方程所结构的函数（故当方程含参时，平时进行参变分别，其目的在于若含x的函数可作出图像，那么因为其他一个只含参数的图像为直线，所以便于察看），另一方面取决于作图的精准度，所以会波及到一个结构函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡（作图问题详见：1.7函数的图像）3、在高中阶段主要考察三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理，（2）二次方程根散布问题，（3）数形联合解决根的个数问题或求参数的值。其中第（3

5、）个种类常要用到函数零点，方程，与图像交点的转变，请经过例题意会怎样利用方程结构出函数，进而经过图像解决问题的。三、例题精析：例1：直线ya与函数yx33x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围为()A2,2B2,2C2,D,2思路：考虑数形联合，先做出yx33x的图像，y3x233x1x1，令y0可解得：x1或x1，故yx3x3在,1,1,单一递增，在1,1单一递减，函数的极大值为f12，极小值为f12，做出草图。而ya为一条水平线，经过图像可得，ya介于极大值与极小值之间，则有在三个相异交点。可得：a2,2答案：A小炼有话说：作图时可先作常系数函数图象，对于含有参数的函数，先解析参数所扮演

6、的角色，然后数形联合，即可求出参数范围。例2：设函数fxx22x2lnx1，若对于x的方程fxx2xa在0,2上恰有两个相异实根，则实数a的取值范围是_思路：方程等价于：x22x2lnx1x2xaax2lnx1，即函数ya与gxx2lnx1的图像恰有两个交点，解析gx的单一性并作出草图：gx121x1xx1令gx0解得：x1gx在0,1单一递减，在1,2调递增，单g112ln2,g00,g222ln3，由图像可得，水平线ya位于g1,g2之间时，恰巧与gx有两个不同的交点。12ln2a22ln3答案：12ln2a22ln3小炼有话说：（1）此题中的方程为x22x2lnx1x2xa，在结构函数时

7、，进行了x与a的分别，此法的利处在于一侧函数图像为一条曲线，而含参数的函数图像由于不含x所以为一条水平线，便于上下平移，进行数形联合。由此可得：若对于x的函数易于作出图像，则优先进行参变分别。所以在此题中将方程转变为ax2lnx1，结构函数gxx2lnx1并进行数形联合。（2）在作出函数草图时要注意边界值是否能够取到，数形联合时也要注意a可否取到边界值。例3：已知函数fxkx2,x0，若函数yfxk有三个零点，则实数lnx,xkR0k的取值范围是（）A.k2B.1k0C.2k1D.k2思路：函数yfxk有三个零点，等价于方程fxk有三个不同实数根，进而等价于fx与yk图像有三个不同交点，作出f

8、x的图像，则k的正负会致使fx图像不同，且会影响yk的地点，所以按k0,k0进行分类议论，然后经过图像求出k的范围为k2。答案：D小炼有话说：（1）此题体现了三类问题之间的联系：即函数的零点方程的根函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进而结构函数进行数形联合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原则。（2）此题所求k在图像中扮演两个角色，一方面决定fx左侧图像直线的倾斜角，另一方面决定水平线的地点与x轴的关系，所以在作图时要兼顾这两方面，进行数形联合。例4：已知函数fx知足fxf3x，当x1,3,fxlnx，若在区间1,9内，函数gxfxax有三个不同零点，则

9、实数a的取值范围是（）ln31B.ln31ln31ln3ln3A,C9,D,3e93e2e93思路：fxf3xfxfx，当x3,9，fxfxlnx，所333lnx,1x3以fxlnx,3x，而gxfxax有三个不同零点yfx与yax93有三个不同交点，如所示，可得直yax在中两条虚之，所以可解得：ln31a3e9答案：B小有：本有以下两个亮点。（1）怎样利用fxfx，已知x1,3,fx的解析式求x3,9,fx的解析3式。（2）参数a的作用直yax的斜率，故数形合求出三个交点a的范例5：已知函数f(x)是定在,00,上的偶函数，当x0，2|x1|1,0 x2f(x)1fx2,x2，函数g(x)4

10、f(x)1的零点个数（）2A4B6C8D10思路：由fx偶函数可得：只需作出正半的像，再利用称性作另一半像即可，当x0,2，能够利用y2x利用像作出像，x2，fx1fx2，即自量差2个位，函2数折半，而可作出2,4，4,6，的像，gx的零点个数即fx1根的个数，即f1的x与y44交点个数，察看图像在x0时，有5个交点，根据对称性可得x0时，也有5个交点。合计10个交点答案：D小炼有话说：（1）fx12近似函数的周期性，但有一个倍数关系。依旧能够考虑利用周期fx2性的思想，在作图时，以一个“周期”图像为基础，其余各部分按照倍数调整图像即可2）周期性函数作图时，若函数图像不连续，则要注意每个周期的

11、边界值是属于哪一段周期，在图像中要正确标出，便于数形联合。3）巧妙利用fx的奇偶性，能够简化解题步骤。比方此题中求交点个数时，只需解析正半轴的情况，而负半轴可用对称性解决例6：对于函数fxfxfx，称fx为“局部，若在定义域内存在实数x，知足奇函数”，若fx4xm2x1m23为定义域R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（）A.13m13B.13m22C.22m22D.22m13思路：由“局部奇函数”可得：4x2m2xm234x2m2xm230，整理可得：4x4x2m2x2x2m260，考虑到4x4可将2x2x视为整体，方程转变为：2x2x22m2x2x2x2x22，进而x2m280，利用

12、换元设t2x2x（t2），则问题转变为只需让方程t22mt2m280存在大于等于2的解即可，故分一个解和两个解来进行分类议论。设gtt22mt2m280。（1）若方程有一个解，则有相切（切点xm大于等于2）或相交（其中交点在x2两侧），即00，解得：m22或13m13或g2m2022m22（2）若方程有两解，则g20，解得：m13,m1313m22，m2m2综上所述：13m22答案：A小炼有话说：此题借用“局部奇函数”观点，实质为方程的根的问题，在化简时将2x2x视为整体，进而将原方程进行转变，转变为对于2x2x的二次方程，将问题转变为二次方程根散布问题，进行求解。例7：已知函数yfx的图像为

13、R上的一条连续不断的曲线，当x0时，fxfx0，则对于x的函数gxfx1的零点的个数为（）xxA0B1C2D0或2思路：ffxxfxfxxfxx00，联合gx0的零点个数xxx即为方程fx10，联合条件中的不等式，可将方程化为xfx10，可设xhxxfx1，即只需求出hx的零点个数，当x0时，hx0，即hx在0,上单一递增；同理可得：hx在,0上单一递减，hxminh01，故hxh010，所以不存在零点。答案：A小炼有话说：1）此题由于fx解析式未知，故无法利用图像解决，所以根据条件考虑结构函数，利用单一性与零点存在性定理进行解决。（2）所给不等式fxfx0体现出fx轮番求导的特点，猜想可能是

14、吻合导数的xxfx乘法法例，变形后可得0，而gx的零点问题可利用方程进行变形，进而与条x件中的xfx相联系，进而结构出hx例8：定义域为R的偶函数fx知足对xR，有fx2fxf1，且当x2,3时，fx2x212x18，若函数yfxlogax1在0,上最少有三个零点，则a的取值范围是（）A.2B.3C.0,5D.0,60,0,5623思路：fx2fxf1体现的是间隔2个单位的自变量，其函数值差f1，联想到周期性，考虑先求出f1的值，由fx为偶函数，可令x1，得f1f1f1f10fx2fx，fx为周期是2的周期函数。已知条件中函数yfxlogax1有三个零点，可将零点问题转变为方程fxlogax1

15、0即fxlogax1最少有三个根，所以fx与ylogax1有三个交点。先利用fx在x2,3的函数解析式及周期性对称性作图，经过图像可得：a1时，不会有3个交点，考虑0a1的图像。设gxlogax，则yloagx1gx，利用1图像变换作图，通过察看可得：只需当x2时，ylogax1的图像在fx上方即可，即loga21f22loga32logaa2133所以a20a3答案：B小炼有话说：此题有以下几个亮点：（1）fx的周期性的判断：fx2fxf1可猜想与fx周期性相关，可带入特殊值，解出f1，进而判断周期，配合对称性作图（2）在选择出交点的函数时，若要数形联合，则要选择能够做出图像的函数，比方在此

16、题中，fx的图像可做，且ylogax1可经过图像变换做出例9：已知定义在R上的函数fx知足fx2fx，当x1,3时，fx1x2,x1,10，若方程3fxx恰有三个不同的实数根，t1x2,x，其中t1,3则实数t的取值范围是（）A.4B.2C.4,3D.20,23,333思路：由fx2fx可得fx4fx2fx，即fx的周期为4，所yfx与gxx解方程可视为的交点，而t的作用为3影响yt1x2图像直线的斜率，也绝对此段的最值（ymaxt），先做出yx的图像，再根据三个交点的条3件作出fx的图像（如图），可发现只需在x2处，fx的图像高于gx图像且在x6处fx的图像低于gx图像即可。所以有f6g6f

17、(6)f(t2)222，即t2f2g2f(2t)33答案：B例10：（2014甘肃天水一中五月考）已知函数fxsinx1,x02的图像logaxa0,a1,x0上对于y轴对称的点最少有3对，则实数a的取值范围是（）A.0,55C.3D.3B.,1,10,5533思路：考虑设对称点为x0,x0，其中x00，则问题转变为方程fx0fx0最少有三个解。即sinx1logax有三个根，所以问题转变为2gxsinx1与hxlogax有三个交点，先做出ysinx1的图像，22经过察看可知若ylogax与其有三个交点，则0a1，进一步察看图像可得：只需g5h5，则知足题意，所以51loga52loga511

18、5，所以a5sinlogaloga52a2a25答案：A三、近年模拟题题目精选：1、已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x0,1时，f(x)x，那么在区间(1,3)内，对于x的方程f(x)kxk(kR)有4个根，则k的取值范围是()A013k或k46C013k或k46B01k4D01k42、（2014吉林九校联考二模，16）若直角坐标平面内A,B两点知足条件：点A,B都在函数fx的图像上；点A,B对于原点对称，则称A,B是函数fx的一个“姊妹点对”x22x,x0（A,B与B,A可看作同一点对），已知fx2x,x0，则fx的“姊妹点e对”有_个2x,x2,函数gxbf2x3、（2015，天津）已

19、知函数fx2,x2,，其中x2bR，若函数yfxgx恰有4个零点，则b的取值范围是（）A.7,B.,7C.0,7D.7,244444、（2015，湖南）已知fxx3,xaxfxb有两x2,x，若存在实数b，使函数ga个零点，则a的取值范围是_5、（2014，新课标全国卷I）已知函数fxax33x21，若fx存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A.2,B.1,C.,2D.,16、（2014，山东）已知函数fxx21,gxkx，若方程fxgx有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A.0,1B.1,1C.1,2D.2,22、（，天津）已知函数fxx23x,xR，若方程fxax10

20、恰有472014个互异的实数根，则实数a的取值范围是_8、（2015，江苏）已知函数fxlnx,gx0,0 x1，则方程x242,x1fxgx1实根的个数为_9、已知函数fxax33x21，若fx存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是（）A.2,B.1,C.,2D.,110、对于函数fx,gx，设mx|fx0,nx|gx0，若存在m,n使得mn1，则称fx与gx互为“零点关系函数”，若函数fxlog2x1e1x与gxx2axa3互为“零点关系函数”，则实数a的取值范围是（）A.77C.2,3D.2,42,B.,33311、已知偶函数f(x)知足对随意xR，均有f(1x)f(3x)且f(

21、x)m(1x2),x0,1，若方程3f(x)x恰有5个实数解，则实数m的取值范围x1,x(1,2是.122016fxcos2xasinx在区间0,nnN、（，河南中原第一次联考）已知函数内恰有9个零点，则实数a的值为_13、（2014，四川）已知函数fxexax2bx1,a,bR,e2.71828为自然对数的底数（1）设gx是函数fx的导函数，求函数gx在区间0,1上的最小值（2）若f10，函数fx在区间0,1内有零点，求a的取值范围习题答案：1、答案：B解析：根据周期性和对称性可作出fx的图像，直线f(x)kxk(kR)过定点1,0联合图像可得：若(1,3)内有四个根，可知k0,1。若直线与

22、fx在2,3相切，联4立方程：yx2ky2y3k0，令0可得：k3，当k3时，解得ykxk66x52,3，综上所述：k0,142、答案：2y2解析：对于原点对称的两个点为x,y和x,y，不妨设x0，则有ex，yx22x22x222x2进而xx，所以“姊妹点对”的个数为方程xx的个数，即曲线eey22x与y2的交点个数，作出图像即可得有两个交点xex3、答案：D2x,x2,得f(2x)22x,x0解析：由fx22x2,x2,，x,x02xx2,x0所以yf(x)f(2x)4x2x,0 x2，22x(x2)2,x28642x2x2,x0即yf(x)f(2x)2,0 x2x25x8,x2151055

23、10152468yf(x)g(x)f(x)f(2x)b,所以yfxgx恰有4个零点等价于方程f(x)f(2x)b0有4个不同的解，即函数yb与函数yf(x)f(2x)的图象的4个公共点，由图象可知72.b44、答案：a,01,解析：gxfxb由两个零点，即方程fxb有两个根，进而yfx与yb有两个交点。可在同一直角坐标系下作出yx3,yx2，察看图像可得：a0时，水平线与yx2有两个交点，故吻合题意；当0a1时，fx为增函数，所以最多只有一个零点，不符题意；当a1时，存在水平线与yx3,yx2分别有一个交点，共两个吻合题意。综上所述：a,01,5、答案：C解析：ax33x210a31，令1t，

24、依题意可知ya与y3tt3应在xx3x有唯一交点且位于t0的地区。设gt3tt3，所以gt33t231t1t，则gt在1,0,0,1单增，在,1,1,单减，g12,g12，作出图像可知只有当a2时，ya与y3tt3有唯一交点，且在t0的地区。6、答案：B解析：方法一：方程fxgx有两个不等实根可转变为函数yfx与ygx的图像有两个不同交点，其中k为直线的斜率。经过数形联合即可获得k1,12方法二：此题还能够先对方程进行变形，再进行数形联合，x21kx中x0显然不x21x211,x2是方程的解，当x01x，则问题时，k，设hx3xx1,x2x转变为yk与yhx交点为2个。作出图像后即可察看到k的

25、范围7、答案：0,19,解析：方程为：x23xax1，x1显然不是方程的解，所以x1时，ax23x，即ax145，令tx1，则ya与yt45有4个x1x1t交点即可，作出图像数形联合即可获得a0,19,8、答案：4解析：方程等价于fxgx1，即fxgx1或fxgx1共多少1,0 x1个根，y1gxx21,1x2，数形联合可得：fx与y1gx有两个交7x2,x21,0 x1点；y1gxx23,1x2，同理可得fx与y1gx有两个交点，所5x2,x2以合计4个9、答案：C133，令t1解析：ax33x210a，依题意可知at33t只有一个xxx零点t0且t00，即ya与gtt33t只有一个在横轴正

26、半轴的交点。gt3t23可知gt在,1,1,减，在1,1增，g12作出图像可得只有a2时，ya与gtt33t只有一个在横轴正半轴的交点。10、答案：C解析：先从fxlog2x1e1x下手，可知fx为单增函数，且f10，所以fx有唯一零点x1，即m1；所以1n10n2，即gxx2axa3在0,2有零点。考虑方程x2axa30ax23x1412，即ya与x1xyx142在0,2有公共点即可，数形联合可得：a2,3x111、答案：(837,415)(415,837)6666解析：当m0时，方程恰有5个解方程3m1(x2x有两个解且方程4)3m1(x8)2x无解，考虑这两个方程的鉴别式可得154m837；由对称66性，当m0时，方程恰有5个解的范围是837m154；所以m的取值范66围是(837415415837)6,6)(6,612、答案：a1解析：由f(x)0，得cosx2asxin，即22asxin1设=0sixng(x