高中数学必修二 6.4 平面向量的应用

1、平面向量的应用一.复习:1.平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算律.3.重要性质:(1)(2)(3)设a 、b都是非零向量,则 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|=|a |=向量的长度(模)向量的夹角设a、b为两个向量,且a(x1，y1),b(x2，y2)向量数量积的坐标表示向量平行和垂直的坐标表示设a、b为两个向量,且a(x1，y1),b(x2，y2)随堂练习1.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的长是否确定？ABCD3.AB=2，AD=1，BD=2，用向量语言怎样表述？5.根据上述思路，你能推断平行四边形两条对角线的长

2、度与两条邻边的长度之间具有什么关系吗？探究（一）：推断线段长度关系 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。练习:用向量方法求证：直径所对的圆周角为直角。已知:如图，AC为O的一条直径，ABC是圆周角求证： ABC=90利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题理论迁移1.三角形的三条高线具有什么位置关系？ 交于一点ABCDEFPabc3.对于PABC,PBAC,用向量观点可分别转化为什么结论?4.如

3、何利用向量观点证明PCBA?探究（二）：推断直线位置关系 练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？1,建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；2,通过向量运算，研究几何元素之间的关系；3,把运算结果翻译成几何关系.一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知| |=2| |,且| |0且关于x的方程x2+| |x- =0有两相等实根，则向量 与 的夹角是（ ）（A）- （B）- （C） （D）【解析】选D.由已知可得=| |2+4 =0，即4| |2+4|2 |

4、|cos=0,cos=- ,= .2.如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是 （ ）【解析】选A.利用数量积的几何意义，向量 、 、 、 中， 在向量 方向上的投影最大，故 最大.3.已知P是ABC所在平面内的一点,若 = + ,其中R,则点P一定在（ ）（A）AC边所在的直线上 （B）BC边所在的直线上（C）AB边所在的直线上 （D）ABC的内部【解析】选A.C、P、A三点共线,P在AC边所在的直线上. 4.（2010广州模拟）已知非零向量 , 和 满足 则ABC为（ ）（A）等边三角形 （B）等腰非直角三角形（C）非等腰三角形 （D）等腰直角三角形【解析】选

5、A. 表示的是BAC的平分线上的一个向量，又与 的数量积等于0，故BC与A的平分线垂直，ABC是等腰三角形.又 ,即cosBCA= ,BCA= ,ABC是等边三角形.5.若O为ABC所在平面内一点，且满足( - )( + -2 )=0,则ABC的形状为_.【解析】由已知ABC为等腰三角形.答案:等腰三角形 向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向量研究物理问题的相关知识！1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中，力、速度、加速度、位移等都是向量！2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的加减法，运动的叠加也用

6、到向量的合成！3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积探究（三）：向量与物理的关系 例题例1：同一平面内，互成 的三个大小相等的共点力的合力为零。BO120abcD CA证：如图，用a，b，c表示这3个共点力，且a，b，c互成120，模相等按照向量的加法运算法则，有： a +b +c = a +（b +c）=a +OD又由三角形的知识知：三角形OBD为等边三角形，故 a与OD共线且模相等例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下

7、： F2F1FG用向量F1，F2，表示两个提力，它们的合向量为F，物体的重力用向量G来表示， F1，F2的夹角为，如右图所示，只要分清F，G和三者的关系，就得到了问题得数学解释！F1FG F2 F1解：不妨设 = ，由向量的 平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道： = （*） 通过上面的式子，有：当由0到180逐渐变大时， 由0到90逐渐变大， 的值由大逐渐变小，因此 ： 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1F2F1FG F2探究：（1）为何值时， 最小，最小值是多少？ F1（2） 能等于 吗？为什么？

8、 F1 G答：在（*）式中，当 =0时， 最大， 最小且等于cos2 F1 G2答：在（*）中，当 = 即=120时， = cos212 F1 GF2小结： （1）为了能用数学描述这个问题，我们要先把这一物理问题转化成数学问题。如上题目，只考虑绳子和物体的受力平衡，画出相关图形！（2）由物理中的矢量问题化成数学中的向量问题，用向量的有关法则解决问题！（3）用数学的结果解决物理问题，回答相关的物理现象。 分析：（1）因为两平行线之间的最短距离是它们的公垂线段。所以只有当小船的实际运动方向（即合运动方向）是垂直于河岸的方向时，小船的航程最小。500mA （2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂

9、直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。例3：如图，一条河流的两岸平行，河的宽度d = 500m，一艘船从A处出发到河对岸。已知船的速度 =10km/h，水流的速度 = 2km/h。（1）行驶航程最短时，所用的时间是多少？（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？把物理问题转化为数学模型为：解（1） = = 所以 t = = 60 答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。 v-

10、v12 v2296d v0.5963.1（min） （2） t = = 60 = 3 （min）答：行驶的时间最短时，所用的时间是3mind v10.510（1）ABv1v2v（2）v2v1vkm/h变式训练(2010年 高一统考) 河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向8 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )v1v2vABDA10 m/s B6 m/s C215 m/s D217 m/s 2、人骑自行车的速度为V1，风速为V2，则逆风行驶的速度大小为（ ）C1、ABC中，已知 则ABC的形状是（ ）A、等腰三角形 B、正三角形C、直角三角形 D、等腰直角三角形拓展训练：B3.平行四边形ABCD中，若 则下列判断正确的是( )A四边形ABCD是矩形B四边形ABCD是正方形C四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形D四边形ABCD是邻边不垂直的菱形A4、已知作用于原点的两个力F1=（3,4），F2=（2，-5），现增加一个力F，使这三个力F1，F2，F的合力为0，则F=（ ）A（1,1） B（5，-1）