函数极限的性质

1、函数极限的性质第1页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一2 函数极限的性质 在1中我们引入了下述六种类型的函数极限： 1）()xfx+lim； 2）()xfx-lim；3）()xfxlim；4）()xfxx+0lim；5）()xfxx-0lim； 6）()xfxx0lim 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第6）种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质。至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应的作些修改即可。 第2页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 第3页，共18页，2022年，5月20日，9点30

2、分，星期一定理1(函数极限的唯一性) 如果当xx0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的 证明， x x f B A 时的极限 当 都是 设 0 , , (1) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e d d e - - $ A x f x x 时有 当 则 , (2) ( 0 , 0 2 0 2 e d d - - $ B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时 则当 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d - = . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ( e $ = = . 1 ) ( 1 ) ( + - A x

3、 f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界 在 即 d x U x f o 第5页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一定理3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何正数rA (或 r 0 (或f(x) -r $ - = 使得 则 取 设 . ) ( r A x f = - e 有 . 0 的情形类似可证 对于 r 推论 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0) 而且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0) 第6页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一定理4(函数极限的保不等式性) 证明). (

4、lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0 0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则 内有 极限都存在且在 时 如果 d o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x = = 设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - $ e d d e 时有 当 则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ B x g x x 时有 当 于是有 同时成立 与 不等式 时 则当 令 ， x g x f x x

5、 ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1 - = d d d d d , ) ( ) ( e e + - B x g x f A . , 2 B A B A + 的任意性知 由 从而 e e 第7页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一定理5(函数极限的迫敛性) 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) f(x)h(x)g(x) (2)lim f(x)A limg(x)A 那么limh(x)存在 且lim h(x)A 证明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x ， - - $ e d d e 时有

6、当 按假设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ A x g x x 时有 当 故有 同时成立 时上两不等式与 则当 令 , ) ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x g x h x f x x - = d d d d , ) ( ) ( ) ( e e + - A x g x h x f A . ) ( lim ) ( 0 A x h， A x h x x = - 即 由此得 e 第8页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一此性质又称为夹逼准则.注意:夹逼定理示意图.的极限是容易求的与并且键是构造出利用夹逼准则求极限关fgf(x)g(x

7、)与第9页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一 推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 limcf(x)=climf(x) 推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 limf(x)n=limf(x)n 定理6.极限的四则运算法则 第10页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一 利用函数极限的性质和运算法则，我们可以计算一些较复杂的极限例1求解由第一章第3节习题12，知当时有而故由迫敛性得另一方面，当时有综上，我们得到故由迫敛性又可得第11页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一例2 求解由及第一节例4所得的并按四则运算法则有第

8、12页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一例3求极限解对任意正整数k，当时有故第13页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一例4证明证任给为使（9）即利用对数函数时的严格增性,只要（不妨设于是，令则当时，就有（9）式成立。（当第14页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一 解 例5 解 先用x3去除分子及分母 然后取极限 例6 第15页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一讨论提示先用x3去除分子及分母 然后取极限 解: 例7 第16页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一 解 当x时 分子及分母的极限都不存在 故关于商的极限的运算法则不能应用 我们将在下节讨论. 例7 第17页，共18页，2022年，5月20日，9点30分，星期一