巧用对称妙解数学题

1、巧用对称妙解数学题对称变换是初中数学中最常用的一种方法，近年来各地的考试中也频频出现，较好的贯彻了新课程标准中所提到你的多维评价和过场评价的理念，本文就此类问题选取几个例子，剖析解法，供读者参考。巧用轴对称解决函数问题yxABOAP一、（2011年四川省数学联赛初赛）在平面直角坐标系中有两点A（2,0）、B（3,0），P是直线y=x上的点，当PA+PB最小时，试求P点的坐标。y=x简解：如图，作A点关于直线y=x的对称点A，则A在y轴上（因为直线y=x是一、三象限夹角的角平分线）A的坐标为（0,2），连接AB，则AB与直线y=x的交点即为P点的位置。由A，B两点坐标可以求得直线AB的解析式为y

2、=， 联立两个解析式得方程组解得，故当PA+PB最小时，P点的坐标为P（1.2,1.2）评析：此题是利用初二上册46页轴对称的应用知识，求路程最短的问题。已知：直线a外两点A、B，试在a上求一点P，使得PA+PB最短。aBAAPP此题只需作出点A或B关于直线a的对称点，连接另外一点和这个对称点，交点及时所求的点的位置。二、如图，已知牧马营地在P处，牧童每天要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的放牧路线。 营房草地 （分析1）把河流和草地抽象为锐角AOB的两条边，营房抽象为AOB内部的一点，建立几何模型，把实际问题转化为数学问题：“在锐角的两边上分别找一点，使它们与角

3、内部的一点所组成的三角形周长最小”。（如图）（分析2）过P点分别作PMOA、PNOB，垂足分别为M、N，此时PMN的周长是否最小？（如图）ABOPP2P1MNABOP图ABOP图MN图（分析3）分别作出P点关于OA、OB的对称点P1、P2，（如图）连结P1M、 P2N，由轴对称的性质可得：PMP1M，PNP2N，那么PMN的周长P1MMNP2N，M、N在何处时P1M P2NMN最小呢？由学生上讲台拖动M、N，发现当P1、M、N 、P2四点共线时P1M P2NMN最小。从而探索得出作法：（如图）（1）分别作出P点关于OA、OB的对称点P1、P2；（2）连结P1P2分别交OA 、OB于M、N两点。

4、M、N两点即为所求。ABOP图P2P1NMABOP图P2P1NMMN如何证明？（分析4）类似于问题1的方法，分别在OA、OB上另取一点M、N. （如图） 要证PMN的周长最小，而PMP1M，PNP2N，PMP1M，PNP2N，只要证P1P2P1MP2NMN由公理两点之间线段最短，问题得证。利用闪烁的彩色小球向学生展示这两条线路，证明过程由学生课后完成。为了方便记忆，同时可以和问题1进行区别比较，把这个问题称之为“牧童放马”问题。三、.旋转变换 例题：等腰直角三角形ABC中, AB=AC,A=90, M, N为斜边BC上两点， 并且MAN=45,求证:BM+CN=MN解：要证BM+CN=MN,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一个三角形上,所以,我们就设法将BM,CN,MN移到同一三角形上。考虑到ABC是等腰三角形，且是直角三角形，将ABM绕点A逆时针旋转90.使AB与AC重合.得到ACD ，则NCD为直角三角形 只需证明MN=ND即可 因为MAN=45,所以BAM+NAC=45 ，即NAD=45又因为AM=AD所以ANDAMN 所以MN=ND，在直角NDC中，有ND=NC+DC，所以