高中数学必修二 第六章单元质量测评

1、第六章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(eq o(AB,sup6()eq o(MB,sup6()(eq o(BO,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(OM,sup6()化简后等于()Aeq o(BC,sup6() Beq o(AB,sup6()Ceq o(AC,sup6() Deq o(AM,sup6()答案C解析原式eq o(AB,sup6()eq o(BO,sup6()eq o(OM,sup

2、6()eq o(MB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6().2设点A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且eq o(AD,sup6()2eq o(AB,sup6()3eq o(BC,sup6()，则点D的坐标为()A(2,16) B(2，16)C(4,16) D(2,0)答案A解析设D(x，y)，由题意可知eq o(AD,sup6()(x1，y2)，eq o(AB,sup6()(3,1)，eq o(BC,sup6()(1，4)，所以2eq o(AB,sup6()3eq o(BC,sup6()2(3,1)3(1，4)(3,14)，所以eq blcrc (avs

3、4alco1(x13，,y214，)所以eq blcrc (avs4alco1(x2，,y16.)3若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，满足条件(8ab)c30，则x()A6 B5 C4 D3答案C解析a(1,1)，b(2,5)，8ab(8,8)(2,5)(6,3)又(8ab)c30，(6,3)(3，x)183x30.x4.4设非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，则向量a，b的夹角为()A150 B120 C60 D30答案B解析设向量a，b的夹角为，则|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos，则coseq f(1,2).又0，180，所以120.5在ABC中

4、，已知b2bc2c20，aeq r(6)，cosAeq f(7,8)，则ABC的面积S为()Aeq f(r(15),2) Beq r(15) Ceq f(8r(15),5) D6eq r(3)答案A解析由b2bc2c20可得(bc)(b2c)0.b2c，在ABC中，a2b2c22bccosA，即64c2c24c2eq f(7,8).c2，从而b4.SABCeq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)42 eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(7,8)2)eq f(r(15),2).6向量eq o(BA,sup6()(4，3)，向量eq o(BC,sup6()(2，4)，则AB

5、C的形状为()A等腰非直角三角形 B等边三角形C直角非等腰三角形 D等腰直角三角形答案C解析eq o(BA,sup6()(4，3)，eq o(BC,sup6()(2，4)，eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BA,sup6()(2，1)，eq o(CA,sup6()eq o(CB,sup6()(2,1)(2,4)0，C90，且|eq o(CA,sup6()|eq r(5)，|eq o(CB,sup6()|2eq r(5)，|eq o(CA,sup6()|eq o(CB,sup6()|.ABC是直角非等腰三角形7在ABC中，若|eq o(AB,sup6()|1，|e

6、q o(AC,sup6()|eq r(3)，|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(BC,sup6()|，则eq f(o(AB,sup6()o(BC,sup6(),|o(BC,sup6()|)()Aeq f(r(3),2) Beq f(1,2) Ceq f(1,2) Deq f(r(3),2)答案B解析由向量的平行四边形法则，知当|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(BC,sup6()|时，A90.又|eq o(AB,sup6()|1，|eq o(AC,sup6()|eq r(3)，故B60，C30，|eq o(BC,sup6()|

7、2，所以eq f(o(AB,sup6()o(BC,sup6(),|o(BC,sup6()|)eq f(|o(AB,sup6()|o(BC,sup6()|cos120,|o(BC,sup6()|)eq f(1,2).8.如图，已知等腰梯形ABCD中，AB2DC4，ADBCeq r(5)，E是DC的中点，点P在线段BC上运动(包含端点)，则eq o(EP,sup6()eq o(BP,sup6()的最小值是()Aeq f(9,5) B0 Ceq f(4,5) D1答案A解析由四边形ABCD是等腰梯形可知cosBeq f(r(5),5).设BPx(0 xeq r(5)，则CPeq r(5)x.所以eq

8、 o(EP,sup6()eq o(BP,sup6()(eq o(EC,sup6()eq o(CP,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(CP,sup6()eq o(BP,sup6()1xeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),5)(eq r(5)x)x(1)x2eq f(6r(5),5)x.因为0 xeq r(5)，所以当xeq f(3r(5),5)时，eq o(EP,sup6()eq o(BP,sup6()取得最小值eq f(9,5).故选A9甲船在湖中B岛的正南A处，AB3 km，甲船以8 km/h的速度向

9、正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是()Aeq r(7) km Beq r(13) kmCeq r(19) km D eq r(103r(3) km答案B解析如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知AM8eq f(15,60)2，BN12eq f(15,60)3，MBABAM321，所以由余弦定理，得MN2MB2BN22MBBNcos12019213eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)13，所以MNeq r(13)(km)10设向量a与b的夹角为，定义a与b的“向量积”：ab是一个向量，它的模|a

10、b|a|b|sin，若a(eq r(3)，1)，b(1，eq r(3)，则|ab|()Aeq r(3) B2 C2eq r(3) D4答案B解析coseq f(ab,|a|b|)eq f(r(3)r(3),22)eq f(r(3),2)，sineq f(1,2)，|ab|22eq f(1,2)2.11设00，点P在线段AB上，且eq o(AP,sup6()teq o(AB,sup6()(0t1)，则eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()的最大值为()Aa B2a C3a Da2答案D解析eq o(AB,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()(0，

11、a)(a,0)(a，a)，eq o(AP,sup6()teq o(AB,sup6()(at，at)又eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(AP,sup6()(a,0)(at，at)(aat，at)，eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()a(aat)0ata2(1t)(0t1)当t0时，eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()取得最大值，为a2.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13设向量a，b满足|a|2eq r(5)，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_答

12、案(4，2)解析设a(x，y)，x0，y0，则x2y0且x2y220，解得x4，y2.即a(4，2)14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()1，那么c_.答案eq r(2)解析由题知，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()2，即eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()(eq o(AC,sup6()

13、eq o(CB,sup6()eq o(AB,sup6()22c|eq o(AB,sup6()|eq r(2).15如图，在正方形ABCD中，已知|eq o(AB,sup6()|2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则eq o(AB,sup6()eq o(AN,sup6()的最大值是_答案4解析eq o(AB,sup6()eq o(AN,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AN,sup6()|cosBAN，|eq o(AN,sup6()|cosBAN表示eq o(AN,sup6()在eq o(AB,sup6()方向上的投影，又|eq o(AB,sup6()|2，eq o(AB,

14、sup6()eq o(AN,sup6()的最大值是4.16若等边三角形ABC的边长为2eq r(3)，平面内一点M满足eq o(CM,sup6()eq f(1,6)eq o(CB,sup6()eq f(2,3)eq o(CA,sup6()，则eq o(MA,sup6()eq o(MB,sup6()_.答案2解析以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(eq r(3)，0)，(eq r(3)，0)，(0,3)设M点的坐标为(x，y)，则eq o(CM,sup6()(x，y3)，eq o(CB,sup6()(eq r(3)，3)，e

15、q o(CA,sup6()(eq r(3)，3)，又eq o(CM,sup6()eq f(1,6)eq o(CB,sup6()eq f(2,3)eq o(CA,sup6()，即(x，y3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(5,2)，可得Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，所以eq o(MA,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，eq o(MB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3r(3),2)，f(1,2)，所以eq o(MA,sup6()eq o

16、(MB,sup6()2.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且bsinBasinA(ca)sinC(1)求B；(2)若3sinC2sinA，且ABC的面积为6eq r(3)，求b.解(1)由bsinBasinA(ca)sinC及正弦定理，得b2a2(ca)c，即a2c2b2ac.由余弦定理，得cosBeq f(a2c2b2,2ac)eq f(ac,2ac)eq f(1,2).因为B(0，)，所以Beq f(,3).(2)由(1)得Beq f(,3)，所以ABC的面积为eq f(1,2

17、)acsinBeq f(r(3),4)ac6eq r(3)，得ac24.由3sinC2sinA及正弦定理，得3c2a，所以a6，c4.由余弦定理，得b2a2c22accosB36162428，所以b2eq r(7).18(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BFeq f(1,3)BC(1)以a，b为基底表示向量eq o(AM,sup6()与eq o(HF,sup6()；(2)若|a|3，|b|4，a与b的夹角为120，求eq o(AM,sup6()eq o(HF,sup6(

18、).解(1)由已知，得eq o(AM,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DM,sup6()eq f(1,2)ab.连接AF，eq o(AF,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()aeq f(1,3)b，eq o(HF,sup6()eq o(HA,sup6()eq o(AF,sup6()eq f(1,2)beq blc(rc)(avs4alco1(af(1,3)b)aeq f(1,6)b.(2)由已知，得ab|a|b|cos12034eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)6，从而eq o(AM,sup6()eq o(HF,sup6()

19、eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)ab)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,6)b)eq f(1,2)|a|2eq f(11,12)abeq f(1,6)|b|2eq f(1,2)32eq f(11,12)(6)eq f(1,6)42eq f(11,3).19(本小题满分12分)如图，在OAB中，P为线段AB上一点，且eq o(OP,sup6()xeq o(OA,sup6()yeq o(OB,sup6().(1)若eq o(AP,sup6()eq o(PB,sup6()，求x，y的值；(2)若eq o(AP,sup6()3eq o(PB,sup6()，|eq

20、 o(OA,sup6()|4，|eq o(OB,sup6()|2，且eq o(OA,sup6()与eq o(OB,sup6()的夹角为60，求eq o(OP,sup6()eq o(AB,sup6()的值解(1)若eq o(AP,sup6()eq o(PB,sup6()，则eq o(OP,sup6()eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq f(1,2)eq o(OB,sup6()，故xyeq f(1,2).(2)若eq o(AP,sup6()3eq o(PB,sup6()，则eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(3,4)eq o(AB,sup6()eq o

21、(OA,sup6()eq f(3,4)(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()eq f(3,4)eq o(OB,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)o(OA,sup6()f(3,4)o(OB,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq f(1,4)eq o(OA,sup6()2eq f(1,2)eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq f(3,4)eq o(OB,sup6()2eq f(1,4

22、)42eq f(1,2)42cos60eq f(3,4)223.20(本小题满分12分)已知向量meq blc(rc)(avs4alco1(r(3)sinf(x,4)，1)，neq blc(rc)(avs4alco1(cosf(x,4)，cos2f(x,4)，函数f(x)mn.(1)若f(x)1，求coseq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)x)的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosCeq f(1,2)cb，求f(B)的取值范围解由题意，得f(x)eq r(3)sineq f(x,4)coseq f(x,4)cos2eq f(x,4)eq f

23、(r(3),2)sineq f(x,2)eq f(1,2)coseq f(x,2)eq f(1,2)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,6)eq f(1,2).(1)由f(x)1，得sineq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,6)eq f(1,2)，则coseq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)x)2cos2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)f(x,2)12sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)f(,6)1eq f(1,2).(2)已知acosCeq f(1,2)cb，由余弦定理，得aeq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2)cb，即b