《初等数论》教学大纲

1、初等数论Elementary Number Theory一、课程基本情况课程类别：专业方向课课程学分：3学分课程总学时：48学时，其中讲课：48学时（含习题课），实验（含上机）：0学时，课外0学时课程性质：必修开课学期：第4学期先修课程： 无适用专业：数学与应用数学教 材： HYPERLINK /book/search_pub.php?category=01&key2=%E3%C9%CB%C3%BA%D7&order=sort_xtime_desc t _blank 闵嗣鹤， HYPERLINK /book/search_pub.php?category=01&key2=%D1%CF%CA%B

2、F%BD%A1&order=sort_xtime_desc t _blank 严士健，初等数论，高等教育出版社，2003年，第三版开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务初等数论是数学与应用数学专业的一门专业选修课，该课程是综合应用近现代数学的工具来处理与整数相关的问题，在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面有着广泛的应用。主要内容有：整数整除性理论、不定方程、同余、同余式、平方剩余与二次同余式等，其中整除性理论、同余式理论是初等数论课程的基本内容，解不定方程、解同余式是这些理论的最基本的应用。通过对初等数论的学习，使学生了解数论中的一些著名问题，比如哥德巴赫猜

3、想、费尔马大定理等；了解数论在计算方法、代数编码、组合论、信息安全与密码学等方面的广泛应用；熟练掌握初等数论的基本内容、基本思想与基本方法；加深对整数的理解，更深入地理解某些相邻学科；培养学生的数学思维，从而提高分析问题解决问题的能力。三、教学内容和要求第1章整数的可除性（学时：10）1.1整除的概念带余除法（学时：2）（1）理解整数的整除、带余除法等概念； （2）掌握整除的性质；重点：整除性质、带余除法在证明中的应用1.2最大公因数与辗转相除法（学时：2）（1）理解最大公因数的概念与性质； （2）掌握应用辗转相除法求解最大公因数；重点：求解最大公因数难点：辗转相除法1.3整除的进一步性质及最

4、小公倍数（学时：2）（1）理解整除的进一步相关性质； （2）掌握最小公倍数的定义以及求法；重点：求解最小公倍数难点：最小公倍数与最大公约数的联系1.4质数算术基本定理（学时：2）（1）理解质数、合数的定义以及性质； （2）掌握算数基本定理；重点：算数基本定理在证明中的应用难点：质数、合数性质的异同1.5函数x,x及其在数论中的一个应用（学时：2）（1）了解x,x的定义； （2）理解x,x的运算性质； （3）掌握x,x在证明中的应用；重点：x在n!分解式中的应用难点：x,x性质的异同第2章不定方程（学时：7）2.1二元一次不定方程（学时：2）（1）理解二元一次不定方程概念以及判定条件； （2）掌

5、握二元一次不定方程的求解；重点：求解二元一次不定方程难点：二元一次不定方程的实际应用2.2多元一次不定方程（学时：2）（1）理解多元一次不定方程概念以及判定条件； （2）掌握多元一次不定方程的求解；重点：求解多元一次不定方程难点：多元一次不定方程的实际应用2.3勾股数（学时：2）（1）理解勾股数概念； （2）掌握勾股数相关性质；重点：勾股方程解的结构难点：应用解决勾股方程相关问题2.4费马问题的介绍（学时：1）（1）了解费马问题及相关结果；第3章同余（学时：9）3.1同余的概念及其基本性质（学时：2）（1）了解同余的概念； （2）掌握同余的基本性质；重点：同余相关性质难点：同余在实际问题中的应

6、用3.2剩余类及完全剩余系（学时：2）（1）了解剩余系和完全剩余系的概念； （2）掌握完全剩余系的相关性质；重点：完全剩余系的构造难点：完全剩余系在实际问题中的应用3.3简化剩余系与欧拉函数（学时：2）（1）了解简化剩余系的概念； （2）掌握简化剩余系的相关性质及欧拉函数的定义、性质；重点：欧拉函数性质及其在证明中的应用难点：完全剩余系、简化剩余系的联系3.4欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用（学时：2）（1）理解欧拉定理，费马定理； （2）掌握欧拉定理，费马定理对循环小数的应用；重点：应用欧拉定理和费马定理解决同余问题难点：欧拉定理，费马定理在证明中的应用3.5三角和的概念（学时：1）（1

7、）了解三角和相关概念； 第4章同余式（学时：7）4.1基本概念及一次同余式（学时：2）（1）理解一次同余方程及方程组有解的判定条件； （3）掌握求解一次同余方程及方程组；重点：求解一次同余方程难点：求解一次同余方程组4.2孙子定理（学时：2）（1）了解孙子定理的证明； （2）掌握孙子定理及其应用；重点：应用孙子定理解决相关数论问题4.3高次同余式的解数及解法（学时：2）（1）理解关于高次同余式的解数及解法的相关内容； （2）掌握求解高次同余式；难点：求解高次同余式4.4质数模的同余式（学时：1）（1）了解质数模的同余式相关概念； 第5章二次同余式与平方剩余（学时：11）5.1一般二次同余式（学

8、时：2）（1）理解二次同余式的概念； 5.2单质数的平方剩余与平方非剩余（学时：2）（1）了解单质数的平方剩余与平方非剩余的概念； （2）掌握Euler判别法；重点：平方剩余、平方非剩余的判定5.3勒让得符号（学时：2）（1）了解勒让得符号的概念； （2）理解勒让得符号的相关性质；（3）掌握二次互反律；重点：平方剩余、平方非剩余的判定难点：二次互反律在证明和计算中的应用5.4前节定理的证明（学时：2）（1）理解二次互反律的证明； 5.5雅可比符号（学时：2）（1）了解雅可比符号的概念； （2）理解雅可比符号的相关性质；（3）掌握雅可比符号在计算中的应用；重点：雅可比符号的应用难点：勒让得符号与

9、雅可比符号的联系5.6合数模的情形（学时：1）（1）了解模为合数的同余方程；第6章原根与指标（学时：4）6.1指数及其基本性质（学时：2）（1）了解指数的概念；（2）理解指数的相关性质；6.2原根存在的条件（学时：2）（1）理解原根的定义及存在条件；难点：应用原根解决相关数论问题*6.3指标及n次剩余 (选学内容，不占总学时)（1）了解指标及n次剩余的概念；难点：了解指标在解高次同余式上的应用*6.4模2a及合数模的指标组 (选学内容，不占总学时)（1）了解模2a及合数模的指标组的概念；*6.5特征函数 (选学内容，不占总学时)（1）了解特征函数的概念；难点：掌握特征函数在数论问题上的应用四、

10、课程考核（1）作业每两学时布置一次，约16 次；（2）考核方式：闭卷考试；（3）总评成绩计算方式：总评成绩=平时成绩20%+期末考试成绩80%五、参考书目孙智伟, 基础数论入门,哈尔滨工业大学出版社，2014年，第一版潘承洞，潘承彪，初等数论，北京大学出版社， 2003年，第二版华罗庚, 数论导引, 科学出版社， 1979年. HYPERLINK /book/search_pub.php?category=01&key2=G.H.Hardy&order=sort_xtime_desc t _blank G.H.Hardy， HYPERLINK /book/search_pub.php?category=01&key2=E.M.Wright&order=sort_xtime_desc t _blank E.M.Wright, An Introduction to the Th