《高等代数》课程教学大纲

1、高等代数课程教学大纲课程编码：171100060 171100080课程性质：学科专业必修课适用专业： 数学与应用数学专业学时学分： 160学时 9.5学分所需先修课高中数学编写单位： 数学与信息科学系一、课程说明1、课程简介高等代数是高等师范院校数学与应用数学专业的极为重要的基础课程，它的任务是使学生获得一元多项式以及线性代数等方面的系统知识，是进一步学习近世代数、微分方程、微分几何、实变函数论、泛函分析、拓扑学、物理学等后继课程的阶梯，为后继课程学习奠基，也是提高人才的数学素质的必备知识，是培养面向21世纪的合格的中等学校的数学教师的最重要一门专业基础的主干课程，是报考理工与经济类的硕士研

2、究生的重要课程2、教学目的要求 高等代数是四年制高等师范院校数学专业必修的骨干基础课程通过教学应使学生掌握多项式、线性代数的基本知识及基本理论，使学生掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辨证关系，提高抽象思维能力，逻辑推理能力及计算能力3、教学重点难点本课程的教学重点部分和难点部分为多项式、矩阵、向量空间、线性变换4、考核方式 本课程为考试课，考试的形式闭卷，总分为100分,成绩的合成平时占20分,期末占80分5、学时分配表 本课程安排两个学期讲完,其中第一学期安排96学时，包括基本概念、多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型的全部内容；第二学期安排64学时,

3、包括向量空间、线性变换、欧氏空间的全部内容表1 课程学时分配表章次教学内容讲授课学时数试验(实践)课学时数一多项式206二行列式144三线性方程组164四矩阵144五二次型104六向量空间166七线性变换204九欧几里得空间144总计 =SUM(ABOVE) 124 =SUM(ABOVE) 36二、各部分教学纲要第一章 多项式（26学时）教学目标掌握数域上的一元多项式的概念、运算及多项式的次数定理掌握多项式的整除的概念和性质，理解和掌握带余除法熟练掌握最大公因式的概念、性质及求法，掌握互素的概念和性质理解不可约多项式的概念及唯一分解定理理解掌握多项式的导数及重因式的概念，熟练掌握多项式有无重因

4、式的判别法掌握多项式函数及多项式的根的概念及根的个数定理掌握复数域和实数域上的因式分解定理、代数基本定理等熟练掌握有理系数多项式的有理根的求法本章重点多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、多项式的根、复数域和实数域及有理数域上的多项式本章难点多项式的整除、多项式的最大公因式、多项式的分解、有理数域上的多项式教学内容第一节 数域（2学时）数域的定义及判别第二节 一元多项式（2学时）一元多项式的定义及运算二、多项式的次数定理第三节 整除的概念（2学时）带余除法二、多项式的整除概念及性质第四节 最大公因式（4学时）最大公因式的概念、性质二、辗转相除法三、互素的概念及性质第五节 因式分解定

5、理（3学时）不可约多项式的概念及性质二、唯一分解定理三、标准分解式第六节 重因式（3学时）k重因式的概念、性质二、多项式有重因式的充要条件第七节 多项式函数（4学时）多项式函数及多项式的根的概念二、余式定理、综合除法三、根的个数定理第八节 复系数和实系数多项式的因式分解（2学时）一、复系数多项式的因式分解二、实系数多项式的因式分解第九节 有理系数多项式（4学时）一、本原多项式、高斯引理二、爱森斯坦因判别法三、有理根的求法第二章 行列式（18学时）教学目标熟练准确计算二、三阶行列式；了解排列、反序的概念，会求一个排列的反序数；熟练掌握阶行列式的概念，会利用阶行列式的概念计算特殊类型的阶行列式；会

6、确定行列式的某一项的符号；掌握行列式的基本性质，会利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式；5掌握克拉默法则本章重点1熟练正确的计算二、三阶行列式；2用定义计算一些特殊形式的阶行列式， 如上（下）三角行列式，零元素较多的行列式；3利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式本章难点对阶行列式的概念的理解，阶行列式的计算方法和技巧教学内容第一节 引言（1学时）二、三阶行列式第二节 排列（2学时）逆序数、奇偶排列二、排列的性质第三节 阶行列式（3学时）阶行列式的定义二、多项式的性质第四节 阶行列式的性质（3学时）一、阶行列式的7条性质第五节 行列式的计算（3学时）矩阵的定义及初等变换第六节

7、 行列式按一行（列）展开（3学时）余子式、代数余子式二、行列式按一行（列）展开定理第七节 克莱姆法则（3学时）一、克莱姆法则线性方程组（20学时）教学目标1.熟练运用初等变换解线性方程组；2. 理解和掌握向量空间的定义及性质,理解和熟练掌握向量的线性组合、线性相关和线性无关的概念； 熟练掌握有关向量线性相关性的几个重要结论3理解和掌握矩阵的秩的概念，能熟练地用矩阵地初等变换求矩阵的秩；4熟练掌握线性方程组有解的判别定理及应用；5掌握线性方程组解的结构；6掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件本章重点1. 变换解线性方程组；2. 线性相关性的判断与应用；3矩阵的秩的概念、应用初等变换求矩阵的秩的方

8、法；4线性方程组有解的判别定理及应用；5线性方程组的公式解，解的结构；6齐次线性方程组有非零解的充要条件 本章难点1.线性相关性的判断与应用；2.运用初等变换解线性方程组教学内容第一节 消元法（3学时）消元法解线性方程组二、一般解第二节 n维向量空间（1学时）n维向量的定义n维向量的运算第三节 线性相关性（6学时）线性组合、等价、线性相关、线性无关的定义替换定理及推论极大线性无关组、向量组的秩第四节 矩阵的秩（4学时）矩阵的秩的定义及应用k级子式第五节 线性方程组有解判定定理（2学时）线性方程组有解判定定理第六节 线性方程组解的结构（4学时）一、齐次线性方程组解的结构二、非齐次线性方程组解的结

9、构第四章 矩阵（18学时）教学目标掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律掌握逆矩阵的概念、矩阵可逆的判别法掌握矩阵乘积的行列式及秩的定理掌握初等矩阵的概念初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的理论和方法理解分块矩阵的定义及运算本章重点1矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算律；2逆矩阵的概念、矩阵可逆的判别法、及可逆矩阵的逆矩阵的求法；3矩阵乘积的行列式及秩的定理；4初等矩阵的概念及初等矩阵与初等变换的关系本章难点1. 矩阵乘法其运算律；2. 矩阵可逆的判别法、及可逆矩阵的逆矩阵的求法教学内容第一节 矩阵概念的一些背景（1学时）矩阵概念的一些背景第二节 矩阵的运算（3学时）矩阵的

10、加法、数乘、乘法、转置运算各种运算的运算律第三节矩阵乘积的行列式与秩（2学时）矩阵乘积的行列式矩阵乘积的秩第四节 矩阵的逆（2学时）可逆矩阵的定义及判别伴随矩阵第五节 矩阵的分块（2学时）分块矩阵的定义及运算第六节 初等矩阵（4学时）一、初等矩阵的定义及性质二、初等变换法求逆矩阵第七节 分块乘法的初等变换及应用举例（4学时）一、分块乘法的初等变换及应用举例第五章二次型（14学时）（一）目的和要求掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵的一一对应关系掌握矩阵合同的概念及性质掌握化二次型为标准形的方法理解复数域上和实数域上典范形的唯一性掌握正定二次型的判别方法理解主轴问题本章重点化二次型为标准形、实数域

11、上的二次型、正定二次型、主轴问题。本章难点实数域上的二次型、正定二次型。教学内容第一节 二次型及其矩阵表示（3学时）二次型的定义、二次型的矩阵、变量的线性替换二、二次型的秩、矩阵的合同第二节 标准型（4学时）一、化二次型为标准形的两种方法第三节 唯一性（3学时）复数域上的二次型的规范型实数域上的二次型的规范型及惯性定理第四节 正定二次型（4学时）正定二次型的定义及其充要条件其它二次型线性空间（22学时）教学目标掌握向量空间的概念及其简单性质，初步了解公理化的思想方法理解和掌握子空间的概念及判别方法，掌握子空间的和与交的概念理解和掌握向量组的线性相关性的概念及性质掌握有限维向量空间的基和维数的概

12、念及求法，理解直和的概念，理解基在向量空间中所起的作用掌握向量坐标的概念及意义、基变换及坐标变换公式、过渡矩阵的概念及性质理解向量空间同构的概念，掌握两个向量空间同构的判别方法本章重点线性空间的定义、向量组的线性相关性、基和维数、坐标。本章难点线性空间的定义、向量组的线性相关性、基和维数、坐标。教学内容第一节 集合映射（2学时）集合、映射的概念二、单射、满射、双射第二节 线性空间的定义与简单性质（3学时）线性空间的定义与简单性质常用的线性空间第三节 维数、基与坐标（3学时）线性空间中向量的线性相关性维数、基与坐标第四节 基变换与坐标变换（2学时）过渡矩阵基变换与坐标变换第五节 线性子空间（3学

13、时）线性子空间的定义及判别生成子空间的定义及性质第六节 子空间的交与和（3学时）一、子空间的交与和的定义及结论二、维数公式第七节 子空间的直和（3学时）一、子空间的直和的定义及判别条件第八节 线性空间的同构（3学时）一、线性空间的同构的定义及性质线性变换（24学时）教学目标理解线性变换的概念、掌握其运算及简单性质掌握线性变换和矩阵的关系掌握不变子空间的定义、掌握及的定义理解矩阵的相似、特征根、特征向量等基本概念，掌握特征根特征向量的求法理解矩阵可对角化的定义及判别法本章重点线性变换的矩阵及线性变换与矩阵的关系、特征根和特征向量的定义及求法、可对角化矩阵的判别法。本章难点线性变换的矩阵及线性变换

14、与矩阵的关系、可对角化矩阵的判别法。教学内容第一节 线性变换的定义（2学时）一、线性变换的定义及性质第二节 线性变换的运算（3学时）线性变换的加法、数乘、乘法运算及逆变换各种运算的运算律第三节 线性变换的矩阵（5学时）一、线性变换下的矩阵的定义二、线性变换与矩阵的关系三、相似的定义及性质第四节 特征值与特征向量（4学时）一、特征值与特征向量的定义二、特征值与特征向量的求法三、矩阵的迹和积四、哈密顿-凯莱定理第五节 对角矩阵（3学时）线性变换可对角化的判别如何对角化第六节 线性变换的值域与核（3学时）一、值域与核的定义二、值域的求法及与核的关系第七节 不变子空间（4学时）不变子空间的定义不变子空

15、间与矩阵化简的关系第八节 若尔当标准型介绍（1学时）一、若尔当矩阵的定义及性质第九章 欧几里得空间（18学时）教学目标1理解内积、欧氏空间、向量的长度、两向量的夹角、距离等概念2掌握标准正交基的概念及其求法，理解标准正交基的作用3理解欧氏空间同构的概念4理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念, 掌握正交变换的等价条件5理解和掌握对称变换的概念及其等价条件, 掌握实对称矩阵可对角化的性质本章重点欧氏空间的定义及其基本性质、向量的长度、夹角、正交等概念、标准正交基、正交变换、对称变换、实对称矩阵可对角化的性质。本章难点标准正交基、正交变换、对称变换、实对称矩阵可对角化的性质。教学内容 第一节 定义与基本性质（3学时）欧几里得空间的定义及性质长度、夹角、正交度量矩阵第二节 标准正交基（3学时）一、正交基、标准正交基的定义及性质二、施密特正交化方法三、正交矩阵第三节 同构（1学时）一、同构映射的定义及性质二、同构的判别方法第四节 正交变换（4学时）一、正交变换的定义二、正交变换的等价条件