数学 一元二次方程的专项 培优 易错 难题练习题含详细答案

1、一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编(难题易错题)如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm,BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动.若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm?(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?若点P沿着ABTBCTCD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间厶PBQ的面积

2、为12cm2?【答案】(1)PQ=6p2cm；(2)5s或辛s；(3)经过4秒或6秒厶PBQ的面积为12cm2.【解析】试题分析：(1)作PE丄CD于E,表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；设x秒后，点P和点Q的距离是10cm.在RtAPEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程(16-5x)2=64，通过解方程即可求得x的值；分类讨论：当点P在AB上时；当点P在BC边上；当点P在CD边上时.则根据题意，得EQ=16-2x3-2x2=6(cm)，PE=AD=6cm；在RtAPEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，二PQ=6*2cm；经过2s时

3、P、Q两点之间的距离是6迈cm(2)设x秒后，点P和点Q的距离是10cm.(16-2x-3x)2+62=102，即(16-5x)2=64，16-5x=8,x824X=，x=1525；824经过5s或丁sP、Q两点之间的距离是10cm；(3)连接BQ.设经过ys后厶PBQ的面积为12cm2.16当0y时，则PB=16-3y，11.-PBBC=12，即-x(16-3y)x6=12,解得y=4；1622当x丁时，BP=3y-AB=3y-16,QC=2y，则11-BPCQ=-(3y-16)x2y=12，2解得yT=6，y2=-3(舍去)；232x0且aH6;(2)a的值为7、8、9或12.【解析】【分

4、析】1)根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；(2)由(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=2aa根据根与系数的关系可得xi+x2=-az6，xix2=0T6是是负整数，6即可得三是正整数根据a是整数，即可求得a的值2【详解】()原方程有两实数根,A=(2a)J-4pa0a0且aH6(2)vX、x2是关于x的一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根,x,_1=_X+x2-Xx2-箪，(、/、.a.2a6(xi+l)(x2+1)二乂占+乂严:+丄二：-+=-:.v(x1+1)(x2+1)是负整数，-是负整数，即是正整数.a-6Ta是整数，

5、a-6的值为1、2、3或6,a的值为7、8、9或12.【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的关键.计算题x21(1)先化简，再求值：=(1+)，其中x=2017.x-1x2-1(2)已知方程X2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，求m的值.【答案】(1)2018；(2)m=4【解析】分析：(1)根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：1)x21口二1+百x2x2-1+1x-1x2-1x2(x+1)(x-1)x-1x2=x+1，当x=2017

6、时，原式=2017+1=2018(2)解：T方程x2-2x+m-3=0有两个相等的实数根，=(-2)2-4x1x(m-3)=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；(用不等式解答)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降

7、价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程5中，大众点评网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原计划一样：“美团网15上的购买价格比原有价格下降了20m元，购买数量在原计划基础上增加15m%,最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%，求出m的值.答案】(1)120；(2)20解析】试题分析：(1)本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x80W7680，解出即可；解法二：根据单价=总价一数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在

8、大众点评网上的购买实际消费总额：120a(1-25%)(1+2m%)，在“美团网上的购买实际消费总额：a120(1-25%)-20m(1+15m%)根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15m%”列方程解出即可.试题解析：(1)解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x80W7680,x0；(2)m=-1,-3.【解析】分析：(1)先计算判别式得到=(m-3)2-4m(-3)=(m+3)2,利用非负数的性质得到0，然后根据判别式的意义即可得到结论；3(2)利用公式法可求出x1=,x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值.1m2详解：(1)证明：TmHO,方程mx2+(m-3)

9、x-3=O(mHO)是关于x的一元二次方程，=(m-3)2-4mx(-3)=(m+3)2，(m+3)20,即厶0,.方程总有两个实数根；-(3-m)(m+3)(2)解：Tx=2m3X1=-，x_=1,1m2Tm为正整数，且方程的两个根均为整数，.m=-1或-3.点睛:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)的根的判别式=b2-4ac：当厶0,方程有两个不相等的实数根；当=0,方程有两个相等的实数根；当厶40,即厶0.关于x的方程x2(m+2)x+(2m1)=0恒有两个不相等的实数根.(2)T此方程的一个根是1，.121x(m+2)+(2m1)=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m

10、+21=2+1=3.当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为J10，该直角三角形的周长为1+3+J10=4+0.当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2迈；则该直角三角形的周长为1+3+2迈=4+2迈.8阅读材料:若m2一2mn+2n2一8n+16=0，求m、n的值.解：m2一2mn+2n2一8n+16=0,(m2一2mn+n2)+(n2一8n+16)=0(m一n)2+(n一4)2=0,m一n=0,n一4=0,n=4,m=4.根据你的观察，探究下面的问题:己知x2+2xy+2y2+2y+1二0，求x一y的值.已知ABC的三边长a、

11、b、c都是正整数，且满足a2+b2-6a-8b+25=0，求边c的最大值.若己知a一b=4,ab+c2一6c+13=0,求a一b+c的值.【答案】(1)2(2)6(3)7【解析】【分析】将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值；将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；由a-b=4,得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0,两非负数分别为0求

12、出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a-b+c的值【详解】(1)vx2+2xy+2y2+2y+1=0二(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0(x+y)2+(y+1)2=0 x+y=0y+1=0解得：x=1,y=-1.x-y=2；(2)va2+b2-6a-8b+25=0.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0.(a-3)2+(b-4)2=0.a-3=0，b-4=0解得：a=3,b=4t三角形两边之和第三边Aca+b,cV3+4,二cV7.又:c是正整数，：ABC的最大边c的值为4,5,6,二c的最大值为6；(3)ta-b=4,即a=b+4，代入得：(b+4)b+c2-6c+13=

13、0，整理得：(b2+4b+4)+(C2-6c+9)=(b+2)2+(c-3)2=0,ab+2=0,且c-3=0,即b=-2,c=3,a=2，则a-b+c=2-(-2)+3=7.故答案为7.【点睛】本题考查了因式分解的应用,以及非负数的性质,熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.将进货单价为40元的商品按50元售出,能售出500件,如果该商品涨价1元,其销售量就要减少10件,为了赚取8000元的利润,售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润,售价应定为60元或80元.售价定为60元时,应进货400件；售价定为80元时,应进货200件.【解析】【分析】设每件商品涨价x元，

14、能赚得8000元的利润；销售单价为(50+x)元，销售量为(500-10 x)件；每件的利润为根据为(50+X-40)元，根据总利润=销售量x每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x元，则销售单价为(50+x)元，销售量为(500-10 x)件.根据题意，得(500-10X)(50+x)-40=8000.解得x二10,x=30.12经检验，x1=10，x2=30都符合题意当x=10时，50+x=60,500一10 x=400；当x=30时，50+x=80,500一10 x=200.所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元.售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元

15、时，应进货200件【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点(1)一次函数y=x-1与x轴的交点坐标为；一次函数y=ax+2与一次函数y=x-1为一对“x牵手函数，则a=；(2)已知一对“x牵手函数”：y=ax+1与y=x-1，其中a,b为一元二次方程X2-kx+k-4=0的两根，求它们的“x牵手点”.11【答案】(1)(1,0),a=-2；(2)“x牵手点为(一2，0)或(2，0)-【解析】【分析】根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；根据“X牵手函数的定义得到a+b=0,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程X2-4=0，解得X=2,x2=-2,再分两种情况：若a=2,b=-2,若a=-2,b=2，进行讨论可求它们的“X牵手点【详解】解：(1)当y=0时，即x-1=0,所以x=1,即一次函数y=x-1与x轴的交点坐标为(1,0),由于一次函数y=ax+2与一次函数y=x-1为一对“x牵手函数，所以