垂直于弦的直径教案

1、学习必备 欢迎下载教材：人教版九年义务训练九年级数学其次十四章第一节“ 垂直于弦的直径（一）一、 教学目标 ：（1）学问目标使同学懂得圆的轴对称性；把握垂径定理,并学会运用垂径定理,解决有关的证明,运算；把握过圆心作一条与弦垂直的线段的帮助线的作法；（2）、才能目标通过探究、发觉定理,培育同学观看,分析、规律思维才能和归纳才能提高同学的阅读质疑才能,通过挑选最优方法、培育同学思维的敏捷性；（3）、情感目标通过垂径定理的证明,渗透爱国主义训练和美育训练；师生共同探究定理,师生共作,充分发挥同学学习的主体作用,激发同学探究数学问题的爱好；2、教学重点 ：垂径定理的内容、应用及有关帮助线的作法；3、

2、教学难点 ：懂得垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法；4、教学方法 ：启示式,先做后说,师生共作；学习必备 欢迎下载二、教学过程一、 创设情境问题 1：圆具有什么性质呢？请同学们把自己画的圆（课前让同学预备好）对折一下发觉什么？这说明圆是一个什么图形？它有多少条对称轴？（显示： 圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴）；今日我们就利用圆的轴对称来争论“ 垂直于弦的直径” 的问题；（板书课题）问题 2：（老师出示一个擦去圆心的圆心纸片）问：大家能不能用折叠的方法把这个圆的圆心找到？二、分析猜想1、把折线找圆心的方法投影在屏幕上（给出另一种情形,同学未得到,教师直接给出）两种不同的

3、情形在于直径的位置关系不同；老师问,同学观看,猜想；同学回答,老师引导补充：一个是斜交,另一个是垂直；中ACBCCOAOBAOBDDD2、问题：在直径CD 的两侧相邻的两条弧是否相等？同学观看,回答：右图=,=；3、如把 AB 向下平移到任意位置,变成非直径的弦,观看一下,刚才的结论学习必备 欢迎下载仍成立吗？同学观看,归纳出上述结论依旧成立；4、要求同学在圆纸片上画出上图,并沿 CD 折叠；（老师利用投影,增加成效）5、通过折叠、观看,大家仍发觉什么结论？（另外仍有：AE=BE ）三、论证评判1、证明这个结论是同学们通过试验猜想出来的,能否从理论上证明它呢？下面争论它的证明（在上述板书中加上

4、“ 已知”、“ 求证” ）；分析：从刚才的试验中知道： 把圆沿直径 CD 所在直线对折后发觉线段 AE 与BE 重叠,与 重叠,与 重叠,因此它们分别 相等；现在我们中要争论这样折叠为什么会重叠就行了；证明：（1）连接 OA、OB；（2）分加用红色粉笔显示CD 左右两侧的两个半圆（3）用白色粉笔显示点 A、B；（4）用蓝色粉笔显示 AE 、BE；学习必备 欢迎下载COA BD（5）用黄色显示、；图 42 形成定理经过证明这个命题是正确的,我们把它作为一个定理,谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（依据同学回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧） ；强调：定理的题设有两个：直

5、径 垂直于弦结论：平分弦 平分弦所对的两条弧（1）如将上述图形变为：0E AB 于 E,就 AE 与 BE 相等吗？（如图 5）（2）如只满意 CD 是直径（如图 6）或 CD AB （如图 7）,就上述结论仍成吗？（强调：两个条件缺一不行）AOBACBAECBEOOEDD图 5图 7图 6因此定理又可表述为： （显示）CD 是直径学习必备欢迎下载AE=BE （或 CD 过圆心）=CDAB （评述：几何定理中文字语言、符号语言,图形语言的相互联系与转换,可以 加深对定理的懂得,必需引起足够的重视）四、推广应用1、例题分析：（小黑板）如图：已知在3cm,求 O 的半径；O 中,弦 AB 的长为

6、8cm,圆心 0 到 AB 的距离为（1）分析：“ 圆心 0 至 AB 的距离为 3 cm” 指的是哪一条线段？要求半径必需 连结 OA；（分别显示 OE AB 于 E、OA）AEBO（2）添出帮助线后启示同学摸索解法,然后师生同时给出解答；2、变式训练AraEBACODB2d O练习：如上图, OE AB 于 E,口答：学习必备 欢迎下载如 OE=1,OA=2 ,就 AB=_；如 AB=1 , AOE=30o,就 OE=_；如 OE=6cm,AB=16cm ,就 O 的直径为 _cm；小结： 帮助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的帮助线；如圆的半径为 r,圆心到弦的距离为 么？d,弦

7、长为 a,就 r、a、d 间有什么关系？依据什五、小结（尽可能由同学自己归纳）1、圆的两条重要性质；（1）圆是轴对称图形；（2）垂径定理2、垂径定理的应用：（1）解决有关弦、弧、半径等问题的运算、证明（和作图）；（2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）；3、常用的帮助线：（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段；垂径定理与勾股定理相结合,得出学习必备欢迎下载）2a r2=d 2+（ 2强化学问综合运用意识5、布置作业（1）：第 84 页, 11、12 题（ 2）选做题：第85 页, 2 题；（评述： 最终的小结, 既点出了垂径定理的重要性,又帮忙同学把握不同学问结构在整体中的相互联系,从而使之纳

8、入整个教材所建立起来的学问系统中去；这样做有利于同学对学问的懂得与巩固,同时,也使整节课连贯,紧凑,重点突出；）相等；现在我们中要争论这样折叠为什么会重叠就行了；证明： 老师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分 ：COA BD（1）连接 OA 、OB；图 4（2）分加用亮条显示 CD 左右两侧的两个半圆,然后在右侧着色；（3）用亮光显示点 A 、B；（4）用亮条显示 AE、BE；（5）用亮条显示、学习必备；欢迎下载、（评述： 在同学动手操作折纸和电脑动画的基础上,利用圆的轴对称性, 采用叠合法证明垂径定理是同学简洁接受的,由于这种证明的文字表述不是同学常 用的,因此本节

9、课不要求同学严格地用轴对称性写出证明过程,而是采纳与老师 演示的同步,在屏幕上逐一显示文字和图形,目的是既使同学重视证明表述,又 加深对它的懂得； ）2 形成定理经过证明这个命题是正确的,我们把它作为一个定理,谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（依据同学回答板书；垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分 弦所对的两条弧） ；（评述： 同学的表达可能是粗糙的,言的精确和精炼； ）强调：定理的题设有两个：直径 垂直于弦不精确的, 课堂争论可以引导同学留意语结论：平分弦 平分弦所对的两条弧（1）如将上述图形变为：0E AB 于 E,就 AE 与 BE 相等吗？（如图 5）投影显示：（2）如只满意CD 是

10、直径（如图6）或 CD AB （如图 7）,就上述结论仍学习必备 欢迎下载成吗？（强调：两个条件缺一不行）AOBACBAECBEOOEDD图 5图 6图 7因此定理又可表述为： （显示）CD 是直径 AE=BE （或 CD 过圆心）= CDAB =（评述：几何定理中文字语言、符号语言,图形语言的相互联系与转换,可以 加深对定理的懂得,必需引起足够的重视）四、推广应用1、例题分析：（投影）如图：已知在 O 中,弦 AB 的长为 8cm,圆心 0 到 AB 的距离为 3cm,求 O 的半径；（1）分析：“ 圆心 0 至 AB 的距离为 3 cm” 指的是哪一条线段？要求半径必需 连结 OA；（分别

11、显示 OE AB 于 E、OA）学习必备欢迎下载AEBO（2）添出帮助线后启示同学摸索解法,然后师生同时给出解答；（评述：例题的教学突出了两个方面： （1）作圆心到弦的垂线段,是应用垂径定理常常用的添加帮助线方法； （2）转化的教学思想,为同学练习起到了示范作用；）2、变式训练AraEBACODB2d O练习：如上图, OE AB 于 E,口答：如 OE=1,OA=2 ,就 AB=_；如 AB=1 , AOE=30o,就 OE=_；如 OE=6cm,AB=16cm ,就 O 的直径为 _cm；小结： 帮助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的帮助线；如圆的半径为 r,圆心到弦的距离为 么？

12、d,弦长为 a,就 r、a、d 间有什么关系？依据什（由同学归纳出r2=da 2+（ 2）2,并用投影显示）因此已知 r、d、a 中的两个量就可求出第三个量；学习必备 欢迎下载变式 1：如以 O 为圆心,再画一个圆交弦 存在什么关系？（老师口述,电脑显示）图 6AB 于 C、D,就 AC 与 BD 间可能ACEDBACDBACEDBOOO方法 1方法 2方法 3（由同学作出判定后摸索证法）注：估量同学会提出方法1、2,此时老师可有意识引导同学进行计论,方法3只有当同学提出时才作简洁分析；最终通过比较择优, 进一步突出 “ 过圆心作弦的垂线段”这条帮助线的重要性 和应用垂径定理的优越性；变式 2

13、：（电脑演示）如将 AB 弦往下平移, AC 和 BD 仍相等吗？当移到过圆心时, AB 是大圆直径, CD 是小圆直径, AC=BD ,属特别情形；当 AB 移到与小圆只有一个交点时（如图）,AC 与 BC 相等吗？这个问题我们今后将会学到,有爱好的同学课外先去预习一下；老师小结：解决此类问题的关键,是利用垂径定理,由圆心引弦 AB 的垂线；（评述：课本中的两个例题属于运算、证明两种题型,方法都是添“ 过圆心作学习必备 欢迎下载弦的垂线段” 这条帮助线, 应用垂径定理来解 （证）；因此把例 2 作为例 1 的延长,改编成一组变式训练, 将它们组合在一起, 比较自然； 充分运用电脑的动画成效,

14、用运动的观点,将例题逐步变式,从一个圆到两个圆,从弦到割线,又从割线到 切线,层层深化拓展了同学的思维空间,让同学在变式中体会到“变”与“不变 ”的 辩证关系；常常做这类细心支配好的练习,可使同学对题型和图形结构有较全面 的懂得,学会举一反三；此外,在变式训练中,老师通过课堂巡察,交谈、提问、分析等手段,可随时搜集与评判同学的学习情形,给同学以准时的勉励与鞭策,加强教学的针对性,启发同学的探究灵感；课外摸索题是将上述问题的进一步延 伸,给同学留下思维发散的时间和空间；）A C D BOAOBC3、反馈练习（打印后发给同学）（1）如图,已知 AB 是 O 的直径,MN 是弦,AB MN 于 P,

15、就 MP=_,M=_,=_；ANPOB（2）如图, O 的半径为 50mm,弦 AB=503 mm,就点 O 到 AB 的距离为ACBO_, AOB=_ 度；AB学习必备 欢迎下载（3）第 78 页第 2 题；（4）提高题（见前面引入的实际问题）提示：添出如下列图帮助线,就OC=0.9m,OA=1.5m,在 Rt AOC 中,可求得 AC=1.2m , AB=2.4m2.5m ,这说明该集装箱卡车不能通过此门楼；提出问题：如要使卡车通过这个门楼,门楼应如何改建？（作课外摸索题）（评述：数学来源于实践,又应用于实践；在反馈练习中,老师把新课引入的实际问题,在终止前引导同学运用所学学问加以解决,留

16、意培育同学解决实际问题的才能；首尾呼应,形成一个课堂教学的整体；）4、小结（尽可能由同学自己归纳）1、圆的两条重要性质；（1）圆是轴对称图形；（2）垂径定理（在复述内容基础上突出二个条件,三个结论,及三种语言的相互转换）2、垂径定理的应用：（1）解决有关弦、弧、半径等问题的运算、证明（和作图）；（2）解决某些实际问题（如引例、拱桥等）；强化应用意识；学习必备 欢迎下载3、常用的帮助线：（1）作半径；（2）过圆心作弦的垂线段；垂径定理与勾股定理相结合,得出a r 2=d 2+（ 2）2强化学问综合运用意识5、布置作业（1）必做题：第 84 页, 11、12 题（2）选做题：第 85 页, 2 题

17、；（评述： 最终的小结, 既点出了垂径定理的重要性,又帮忙同学把握不同学问结构在整体中的相互联系,从而使之纳入整个教材所建立起来的学问系统中去；这样做有利于同学对学问的懂得与巩固,同时,也使整节课连贯,紧凑,重点突出；）对应着垂直于弦的直径（一）般过程：的课例分析,可以得出定理公式课教学的一（1）第一阶段,创设情境：要求老师依据教材的特点,找准学问的生长点,细心设计问题；依据不同的教学内容,设计的问题可以是实际问题也可以是数学 问题,或模型演示,通过具有启示性、探干脆和开放性的问题的引起同学的认知 冲突,激发探究爱好；同时,课堂教学的始终,老师都要创设有利于同学自主活 动,进行数学摸索的良好氛

18、围,创设公平、合作的教学情境,良好的教学情境,有利于同学积极主动地参加探究活动；学习必备 欢迎下载（2）其次阶段,分析猜想：公式定理课的教学,不能只满意于结论的证明与 应用,而应勉励同学以探究者的姿势显现,去猜想,去探究它们的发觉过程；这 一环节要充分发挥同学的主动性,引导同学通过试验、观看,运用类比、联想、归纳、综合等方法去探究、 去争论, 在同学的主动参加中,使问题逐步得到解决,在问题解决的过程中,引导同学不断猜想,不断发觉新问题,获得新学问、新方法；老师可以依据不同的教学内容,引导同学去猜想结论,猜想规律, 猜想策略；猜想的一般方法有： （1）观看试验猜想,（2）类比联想猜想,（3）分析

19、归纳猜想；在实际教学中,同学的猜想难免会有错误,老师 的任务是引导同学大胆尝试,最终得到有价值的猜想；（3）第三阶段,论证评判：在这一环节中,老师要引导同学对自己的猜想进 行评判,去验证自己结论的合理性,并给出严格的规律证明；应勉励同学尽可能 用自己的方式和方法完成证明,而不是完全仿照他人的证法；在同学经过探究,找到思路之后,不要急于证明和应用,要给同学供应一个展现思维过程的机会,讲出自己的思路,并反思自己的思路是怎样想到的,使更多的同学受到启示,相 互借鉴,并争论能不能用别的方法来证明促使同学思路发散；完成证明之后,仍要引导同学进行理性归纳,分析它和以前学过的某些定理、公式有何本质的联系,把

20、新定理、公式纳入学问体系中；（4）第四阶段,推广应用：定理、公式的运用是必不行少的一环；前面三个 环节是从实际问题动身,经过分析探究、逐步形成理论；而这一环节就是运用理 论来指导实践,让同学学会用数学学问解决实际问题；这正表达了“ 实践理 论实践” 的哲学思想；在这一环节中,老师的作用是引导同学分析定理公式学习必备 欢迎下载的特点,适用于解决哪些类型的问题,应用时有哪些留意事项；完成基础学问和 基本方法的运用；变式推广,就要依据教材特点和同学的实际情形,适当加强或 减弱定理或公式的条件,看看能得到什么有益的结论；通过这一环节,引导同学 进行反思小结,对学问进行整理,规律进行总结,思想方法进行提

21、炼,最终形成 自己的观点；在“ 探究主体参加型” 课堂教学模式中,定理、公式课的教学加强了创新思维才能的培育,在整体结构上突出了“ 猜想” 与“ 证明” 两大环节,而这正是 数学发觉中的基本策略和途径；这两个环节与其他环节有机结合,共同承担了对 同学形象思维、直觉思维、规律思维的训练与培育,对同学创新思维和才能的培 养具有非常突出的作用；学习必备 欢迎下载（老师利用投影,增加成效）5、通过折叠、观看,大家仍发觉什么结论？（另外仍有：AE=BE ）（评述：以两条相互垂直的直径,用运动的观点很自然地渡到垂直于弦的直径, 遵循了从特别到一般的规律,引导同学通过 观看、试验、分析、猜想,主动地探究垂径

22、定理的学问；在这个 过程中, 同学动眼、 动手、动口、动脑,主动参加到教学活动中,这样做有利于发挥同学的主动性,进展他们的制造性, 转变以往那种被动地、单纯听讲的学习方法；）三、论证评判1、证明这个结论是同学们通过试验猜想出来的,能否从理论上证明它呢？下面争论它的证明 （在上述板书中加上 “ 已知” 、“ 求证” ）；分析：从刚才的试验中知道：把圆沿直径CD 所在直线对折后发觉线段AE 与 BE 重叠,与重叠,与重叠,因此它们分别相等；现在我们中要争论这样折叠为什么会重叠就行了；证明： 老师用实物边演示边用电脑在屏幕上逐句显示文字表达及图中有关的部分 ：学习必备 欢迎下载COA BD（5）用亮

23、条显示、；图 4（评述：在同学动手操作折纸和电脑动画的基础上,利用圆的轴对称性, 采纳叠合法证明垂径定理是同学简洁接受的,由于这种证明的文字表述不是同学常用的,因此本节课不要求同学严格地用轴对称性写出证明过程,而是采纳与老师演示的同步,在屏幕上逐一显示文字和图形,目的是既使同学重视证明表述,又加深对它的懂得； ）2 形成定理经过证明这个命题是正确的,我们把它作为一个定理,谁能将这个定理用一句话把它表达出来？（依据同学回答板书； 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧）；（评述：同学的表达可能是粗糙的,不精确的,课堂争论可以引导同学留意语言的精确和精炼；）强调：定理的题设有两个：直径

24、垂直于弦学习必备 欢迎下载结论：平分弦平分弦所对的两条弧（1）如将上述图形变为： 0E AB 于 E,就 AE 与 BE 相等吗？（如图 5）投影显示：（2）如只满意 CD 是直径（如图 6）或 CD AB（如图 7）,就上述结论仍成吗？（强调：两个条件缺一不行）AOBACBAECBEOOEDD图 5图 6图 7因此定理又可表述为： （显示）CD 是直径 AE=BE （或 CD 过圆心）=CDAB =（评述：几何定理中文字语言、符号语言,图形语言的相互联系与转换,可以加深对定理的懂得,必需引起足够的重视）四、推广应用1、例题分析：（投影）如图：已知在O 中,弦 AB 的长为 8cm,圆心 0学

25、习必备 欢迎下载到 AB 的距离为 3cm,求 O 的半径；（1）分析：“ 圆心 0 至 AB 的距离为 3 cm” 指的是哪一条线段？要求半径必需连结OA；（分别显示 OE AB 于 E、OA）（2）添出帮助线后启示同学摸索解法,然后师生同时给出解AEBO 答；（评述：例题的教学突出了两个方面：（1）作圆心到弦的垂线段,是应用垂径定理常常用的添加帮助线方法；（2）转化的教 学思想,为同学练习起到了示范作用；）2、变式训练AraEBACODB2d O练习：如上图,OE AB 于 E,口答：如 OE=1,OA=2 ,就 AB=_ ；如 AB=1 , AOE=30o,就 OE=_；如 OE=6cm,AB=16cm ,就 O 的直径为 _cm；小结：帮助线：添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的帮助线；如圆的半径为r,圆心到弦的距离为d,弦长为 a,学习必备 欢迎下载就 r、a、d 间有什么关系？依据什么？（由同学归纳出r2=da 2+（ 2）2,并用投影显示）因此已知 r、d、a 中的两个量就可求出第三个量；变式 1：如以 O 为圆心,再画一个圆交弦AB 于 C、D,就AC 与 BD 间可能存在什么关系？（老师口述,电脑显示）图 6ACEDBACDBACEDBOOO方法 1方法 2方法 3（由同学作出判