初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 实数认识无理数教案

1、认识无理数（第一课时）一、教学目标叙写学生通过预习教材21页,并思考情景引入中的问题1学生通过合作探究部分，初步感知数不够用了, 让学生充分感受“新数”（无理数）的存在.学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力学生能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解二、教学重难点重点：让学生经历无理数的发现过程.难点：会判断一个数是否为无理数三、教学过程（一）、情景引入师同学们,我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?生在小学我们学过自然数、小数、分数.生在初一我们还学过负数.师对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，

2、引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题.1、思考：一个整数的平方一定是整数吗？一个分数的平方一定是分数吗？2、已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长的平方 ，并提出问题：是整数（或分数）吗？（二）、自主探究1.问题的提出师请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？生好.(学生非常高兴地投入活动中).师经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请同学们把自己拼的图展示一下.同学们

3、非常踊跃地呈现自己的作品给老师.师现在我们一齐把大家的做法总结一下：下面再请大家共同思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？生甲a是正方形的边长，所以a肯定是正数.生乙因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.生丙由a2=2可判断a应是1点几.师大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？a是分数吗？请大家分组讨论后回答.生甲我们组的结论是：因为12=1，22=4，32=9，整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.生乙因为，两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.师经过大家的讨

4、论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.活动内容：【议一议】【释一释】【忆一忆】【找一找】将两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形.设这个大的正方形的边长为a,a满足什么条件？【议一议】： 已知，请问：可能是整数吗？可能是分数吗？【释一释】：释1满足的为什么不是整数？ 释2满足的为什么不是分数？【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然不是整数也不是分数，那么一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠定了基础（四）、整理反思1通过本课学习，感受有理数又不够

5、用了， 请问你有什么收获与体会？2客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？3除了本课所认识的非有理数的数以外，你还能找到吗？认识无理数（第二课时）一、教学目标叙写1、学生通过预习教材22-23页,初步感知无理数的估算过程2、学生通过合作探究“活动1”部分，让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=，b=，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想，通过学生的活动2并探究得出无理数的概念.3、学生通过交流知识点、易错点和思想方法，培养学生归纳能力和有条理的表达能力4、学生通过完成“五、当堂评价”，能正确地对给出的数进行分类，加深对有理数和无理数的理解二、教

6、学重难点重点：了解无理数与有理数的区别并能正确判断.难点：无理数概念的建立及估算，会判断一个数是无理数还是有理数三、教学过程（一）、复习引入1. 有理数是如何分类的？ 整数（如，0，2，3，)有理数 分数(如， )2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率，上节课又了解到一些数，如，中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.（二）、自主探究1.探索无理数的小数表示请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.(归纳总结:a是介于1和2

7、之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数).生因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.师大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？生因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.师很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1a2.那么a究竟是1点几呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如=，=，=，=，=，而a2=2，故a应比大且比小，可以写成a，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.生因为=，=，所以a应比大且

8、比小，所以百分位上数字为1.生因为=，=，=，=，=，所以a应比大而比小，即千分位上的数字为4.生因为=，=，所以a应比大且比小，即万分位上的数字为2.师大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.生我的探索过程如下.边长a面积S1a21S4aSaSaSaS师还可以继续下去吗？生可以.师请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？生a=，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.师请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？请大家分组合作后回答.(约4分钟)生b=，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.生边长b

9、不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.师好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.2.探索有理数的小数表示，明确无理数的概念思考：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.3，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.生3=，=

10、，=，生3，是有限小数，是无限循环小数.师上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.像上面研究过的a2=2,b2=5中的a，b是无限不循环小数.无限不循环小数叫无理数(irrational number).除上面的a，b外，圆周率=也是一个无限不循环小数，(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.3.有理数与无理数的主要区别(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.（三）、合学应用例1：填空：，18. ， 6， ，1234567891011(由相继的正整数组成). 有理数集合无理数集合例2 ：判断下列说法是否正确：(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限数. （ ）（四）、整理反思1无理数的定义.2你是怎样判断一个数是无理数还是有理数的？3请把已学过的数怎样分类？易错点： .（五）、当堂评价1、以下各正方形的边长是无理数的是（ ）(A)面积为25的正方形； (B)面积为 的正方形；(C)面积为8的正方形； (D)面积为的正方形. 2.已知：在下数中 ， ，（1）写出所有有理数；（2）写出所有无理