初一春季班7-15等腰三角形

1、等腰三角形知识梳理知识点一：等腰 角形、腰、底边有两边相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的两条边叫腰，第三条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，底边和腰的夹角叫底角，在ABC 中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中 AB、AC 为腰，BC 为底边，A 是顶角，B、C 是底角知识点二：等腰三角形的性质1、性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）2、这两个性质证明如下：在ABC 中，AB=AC，作底边 BC 的高 AD，则有 RtABDRtACD B=C，1=2BD=CD于是性质 1、性质 2 均得证3、

2、说明：（1）等腰三角形的性质 1 用符号表示为：AB=AC，B=C；性质 1 是等腰三角形的一条重要（主要）性质，也是今后一个重要依据（2）性质 2 实质包含三条性质，符号表示为： AB=AC，ADBC，1=2， BD=CD；或 AB=AC，BD=CD，l=2， ADBC性质 2 的用途更为广泛，可以用来证明线段相等，角相等，垂直关系等证明角相等的又三（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上高（顶角平分线或底边中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴知识点 ：等腰三角形的判定定理1、定理内容及证明如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），证明：在ABC

3、 中，B=C，作 ADBC 于D则所以ABDACD（AAS）所以，AB=AC2、 注意：本定理的符号表示为：在ABC 中，B=C，AB=AC本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要知识点：等边 角形1、等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形2、注意：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形也就是说等腰三角形包括等边三角形等边三角形具有等腰三角形的一切性质知识点五：等边三角形的性质1、等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60三四三2、理由如下：如上图所示，

4、由 AB=ACB=CB=C，同样A=C，所以A=而A+B+C=180则有A=B=C=60注意：这条性质只有等边三角形具有知识点六：等边三角形的判定1、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 2、证明如下：(1)如下图所示，若A=B=C，可由A=B 得，AC=BC；由以 AB=AC=BC于是判定（1）成立A=C 得，AB=BC所(2)如上图所示，在ABC 中，AB=AC，若A=60，则有B=C=60，于是A=B=C由判定（1）得ABC 是等边三角形；若B=60，则B=C=60，于是A=60，A=B=C由判定（1）得ABC 是等边三角形。 所以

5、判定（2）成立规律方法指导1等腰（边）三角形是一个特殊的三角形，具有较多的特殊性质，有时几何图形中不存在等腰（边）三角形，可根据已知条件和图形特征，适当添加辅助线，使之角形，然后利用其定义和有关性质，快捷地证出结论。等腰（边）三2常用的辅助线有：（1）作顶角的平分线、底边上的高线、中线。（2）在三角形的中线问题上，精解名题中线延长一倍，这样添辅助线有助于解决有关中线。类型一：探究型题目1如图 1，在直角ABC 中，ACB=90，CAB=30，请你设计三种不同的分法，把ABC 分割成两个三角形，且要求其中有一个是等腰三角形。（在等腰三角形的两个底角处标明度数）举一反三：【变式 1】如图 3，D

6、是ABC 中 BC 边上的一点，E 是 AD 上的一点，EB=EC，1=2，求证：ADBC。请你先阅读下面的证明过程。证明：在AEB 和AEC 中，所以ABEAEC（第一步）， 所以 AB=AC，3=4（第二步），所以 ADBC（等腰三角形的“三线合一”）。上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请关键错在哪一步，写出你认为正确的证明过程。【】第一步错误。因为在ABE 和AEC 中有两边和其中一边的对角对应相等，不能判定它们全等。正确的证明过程是：因为EB=EC，所以EBD=ECD，所以EBD1=ECD2，即：ABC=ACB，所以AB=AC。在AEB 和AEC 中

7、，所以ABEAEC，所以3=4，所以ADBC（等腰三角形的“三线合一”）。【变式 2】已知ABC 为等边三角形，在图 4 中，点 M 是线段 BC 上任意一点，点 N是线段 CA 上任意一点，且，直线 BN 与 AM 相交于 Q 点。（1）请猜一猜：图 4 中BQM 等于多少度？（2）若 M、N 两点分别（1）中的结论是否仍段 BC、CA 的延长线上，其它条件下不变，如图 5 所示，然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由。【】（1）题通常猜想、测量或证明等方法不难发现BQM=60，而且这一结论在图形发生变化后仍然成立。（2）题的证明过程如下：因为ABC 为等边三角形，所以AB=A

8、C，BAC=ACB=60，所以ACM=BAN。在ACM 和BAN 中，所以ACMBAN，所以M=N，所以BQM=NQAN=MCAM=ACB=60。类型二：与度数有关的计算2如图，在ABC 中，D 在 BC 上，且 AB=AC=BD，1=30，求2 的度数。思路点拨: 解该题的关键是要找到2 和1 之间的关系，显然2=1+C，只要再找出C 与2 的关系问题就好解决了，而C=B，所以把问题转化为欲找出2 与B 之间关系，变成ABD 的角之间的关系，问题就容易的多了。：AB=ACB =CAB=BD2=32=1+C 2=1+B2+3+B=180B=180222=1+1802232=1+1801=302

9、=70总结升华：关于角度问题可以通过建立方程进行解决。举一反三：【变式 1】如图，D、E 在ABC 的边 BC 上，且 BE=BA，CD=CA，若BAC=122，求DAE 的度数。【】BE=BA2=BAECD=CA1=CAD1+CAD+C=1801=2+BAE+B=1802=1+2=B+C=180BAC1+2=DAE=180（1+2）DAE=90=9061=29。【变式 2】在ABC 中，AB=AC，D 在 BC 上，E 在 AC 上，且 AD=AE，BAD=30，求EDC 的度数。【】 AB=AC，AD=AEB=C，ADE=AEDADE+EDC=ADC=B+BADAED+EDC=C+BADA

10、ED=C+EDCC+2EDC=C+BADEDC=BAD=15。类型 ：等腰 角形中的分类3当腰长或底边长不能确定时，必须进行分类已知等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 10cm，求周长。等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，求周长。思路点拨: 由等腰三角形的性质可知在解此题前，必须明确所给的边的定义，在这里哪条边是“腰”，哪条边是“底”不明确，而且还要考虑到三条线段能够三角形的前提，因此必须进行分类。：（1）因为 8+810，10+108，则在这两种情况下都能当腰长为 8 时，周长为 8+8+10=26；当腰长为 10 时，周长为 10+10+8=28；故这个三角形的周长为 26cm

11、 或 28cm。三角形；（2）当腰长为 3 时，因为 3+37，所以此时不能三角形；当腰长为 7 时，因为 7+73，所以此时能为：7+7+3=17；故这个三角形的周长为 17cm。三角形，因此三角形的周长总结升华：对于此类题目在进行分类三角形举一反三：【变式 1】当顶角或底角不能确定时，必须进行分类等腰三角形的一个角是另一个角的 4 倍，求它的各个内角的度时，必须运用三角形的三边关系来验证是否能数三三【】（1）当底角是顶角的 4 倍时，设顶角为x，则底角为 4x， 4x+4x+x=180， x=20， 4x=80，于是三角形的各个内角的度数为：20，80，80。（2）当顶角是底角的 4 倍时

12、，设底角为 x，则顶角为 4x， x+x+4x=180， x=30， 4x=120，于是三角形的各个内角的度数为：30，30，120。 故三角形各个内角的度数为 20，80，80或 30，30，120。【变式 2】当高的位置关系不确定时，必须分类等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25，求这个三角形的各个内角的度数。【】设AB=AC，BDAC；（1）高与底边的夹角为 25时，高一定在ABC 的，如右图，DBC=25，C=90-DBC=90-25=65， ABC=C=65，A=180-265=50。图 1（2）当高与另一腰的夹角为 250 时，如图 2，高在ABC时，当ABD=25时，A=90

13、-ABD=65， C=ABC=（180-A）2=57.5；如图 3 ，高在 ABC 外部时， ABD=25 ， 图 2 BAD=90-ABD=90-25=65， BAC=180-65=115，ABC=C=（180-115）2=32.5故三角形各内角为：65，65，50或65，57.5，57.5或 115，32.5，32.5。图 3【变式 3】由腰的垂直平分线所引起的分类在三角形 ABC 中，AB=AC，AB 边上的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 40，求底角 B 的度数。分析：题目中AB 边上的垂直平分线与直线AC相交有两种情形；解：（1）如图，AB 边的垂直平分线与 AC 边

14、交于点 D，ADE=40，则A=900-ADE=50，AB=AC， B=（180-50）2=65。（2）如图，AB 边的垂直平分线与直线AC 的反向延长线交于点D，ADE=40，则DAE=50BAC=130，AB=AC，B=（180-130）2=25，故B 的大小为 65或 25。【变式 4】由腰上的中线引起的分类等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm，求腰长。【】如图， BD 为 AC 边上的中线，AD=CD，当（AB+AD）-（BC+CD）=3 时，则 AB-BC=3，BC=5 AB=BC+3=8；当（BC+CD）-（AB+AD）=3 时，则 BC-AB=

15、3，BC=5 AB=BC-3=2；但是当 AB=2 时，三边长为 2，2，5；而 2+25，不合题意，舍去；故腰长为 8。类型 ：证明题4已知：如图，ABC，ACB 的平分线交于 F，过 F 作 DEBC，交 AB 于D，交 AC 于 E。求证：BDECDE。思路点拨: 因为 DEDFFE，即结论为 BDECDFFE，分别证明 BDDF，CEFE 即可，于是运用“在同一三角形中，等角对等边”易证结论成立。：DEBC，32（两直线平行，内错角相等）又BF 平分ABC1213DBDF（等角对等边）同理：EFCE，BDECDFEF即 BDECDE。总结升华：在三角形中，利用“等角对等边”证明线段相等

16、，是一种常用的方法。举一反三：【变式 1】如图，C 是线段 AB 上的一点，ACD 和BCE 是等边三角形，AE 交 CD于 M，BD 交 CE 于 N，交 AE 于 O。求证：（1）AOB120；四CMCN；MNAB。【】（1）ACEACDDCEBCDBCEDCE且ACDBCE60ACEBCD在ACE 和BCD 中ACEDCB（SAS）321360，1260AOB1ADC26060120（2）ACDBCE60MCN60在CMA 和CND 中CMACND（ASA）CMCN（3）CMCN 且MCN60CMN 是等边三角形NMC60又DCA60NMCDCAMNAB【变式 2】已知，在ABC 中，A

17、CB90，CD，CE 三等分ACB，CDAB（如图所示）。求证：（1）AB2BC；（2）CEAEEB。【】（1）CE、CD 三等分ACB12330又CDAB，B60，A30在 RtABC 中，A30，AB2BC（2）A130CEEA又BBCE60BCE 是等边三角形，ECEBCEEAEB学习成果基础达标：一、填空：1、等腰三角形的的两边长为 2cm 和 5cm，则该等腰三角形的周长为cm。2、等腰三角形的的两边长为 3cm 和 5cm，则该等腰三角形的周长为cm。3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40，则顶角为。4、在ABC 中，ACBC，且BC，则ABC 是三角形。5、若直角三角形斜

18、边上的中线垂直于斜边，则它的两个锐角的度数是。6、等腰三角形的一个角是 80，则其他两个角的度数是。二、选择题1. 若一个三角形的三个外角度数比为 2：3：3，则这个三角形是（ ）A. 等腰三角形C. 直角三角形B. 等边三角形D. 等腰直角三角形2. 将两个全等的有一个角为 30的直角三角形拼成如图 1 所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）图 1D. 1 个A. 4 个B. 3 个C. 2 个3. 在以30，120；25，75；38，52；55，70；42，96；28，62；56，68；45，45；60，60为两内角可以有等腰三角形（ ）的三角形中，A. 3

19、个B. 4 个C. 5 个D. 6 个具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ）顶角、一腰对应相等底边、一腰对应相等两腰对应相等一底角、底边对应相等三、解答题1、等腰三角形的周长为 12，且其各边长均为整数，求各边长。2、（1）等腰三角形的一个角为 50，求另外两个角的度数。（2）等腰三角形的一个外角为 100，求该等腰三角形的顶角。3、等腰三角形一腰上的中线将等腰三角形的周长分成 8cm 和 10cm 的两部分，求该等腰三角形的各边长。4、 如图 2 所示，ABC 和BDE 都是等边三角形。图 2求证：AECD。5、 如图 3 所示，D 是ABC 的 BC 边上的中点，DEAC

20、，DFAB，垂足分别是点E、F，且 BFCE。判断ABC 的形状并证明。图 36、“有两边相等的两个直角三角形全等”这个命题对与否，甲、乙、丙三位同学给出了如下论断：甲：正确。因为若两边都是直角边，则用（SAS）全等识别法就可以证它们全等。乙：正确。因为若其中一边是直角边，另一边是斜边，则可用（HL）定理证全等。丙：不正确。若一个三角形较长的直角边与另一三角形斜边相等，较短的直角边与另一三角形较长的直角边相等，则显而易见两个三角形不全等。请你就这三个同学的见解自己的意见。7、，是城市部分街道示意图，ABBCAC，CDCEDE，A、B、C、D、E、F、G 为“公共汽车”停靠点，“甲公共汽车”从

21、A 站出发，按照 A、H、G、D、E、C、F的顺序到达 F 站，“乙公共汽车”从 B 站出发，沿 B、F、H、E、D、C、G 的顺序到达 G站。如果甲、乙分别同时从 A、B 站出发，在各站耽误的时间相同，两车速度也一样，试问哪一辆公共汽车先到达指定站？为什么？与：一、 填空题1。12 （2cm 不能为腰长，只能为底边长（2+25），所以周长为 2+5+5=12（cm）。）2。13 或 11 （3cm 既能为腰长，又能为底边长(5+53、3+35)，周长为 3+5+5=13（cm）或 3+3+5=11（cm）。）3。50或 130（等腰三角形一腰上的高可能是在三角形内，也可能在三角形外，因此要分

22、类。）4。等边5。45；45点拨：等腰三角形三线合一。6。80，20或 50，50点拨：80是锐角，即可以是顶角，也可以是底角。二、选择题1. D点拨：三个外角度数分别为360 90，360 135，135，三角形为等腰直角三角形。BD点拨：根据三角形内角和定理及等腰三角形性质定理，排除。C点拨：本题综合考查三角形全等识别法和等腰三角形性质定理。A（SAS），B（SSS），D（ASA）。三、解答题1、设其腰长为 x，则底边长为（122x），由题意得：解得 3x6x 为整数x=4 或 5该等腰三角形的三边长分别为：4、4、4 或 5、5、2。2、(1)分两种情况：若已知的角为顶角，则另外两个角均

23、为底角，设其度数为 x,则 2x+50=180,解得：x=65；若已知的角为底角，可设顶角为 y，则 502+y=180, 解得：y=80综上所述：另两个角分别为 65、65或 50、80。注意该题的变式：题中有可能把问题变成要求顶角的度数，也要注意分类(2)分两种情况：。若已知的角为顶角的外角，则顶角=180100=80；若已知的角为底角的外角，则底角=180100=80，所以顶角=180802=20。综上所述：该等腰三角形的顶角=80或 20。3、解：设腰长为 xcm，底边长为 ycm,则：或解得或，以上两解均合乎题意。该等腰三角形的各边长分别为cm、cm、cm或cm、cm、cm。证明：A

24、BC 是等边三角形ABBC，ABC60BDE 是等边三角形BEBD，DBC60由（SAS）全等识别法可知ABECBD，AECD（全等三角形对应边相等）解：ABC 是等腰三角形证明：DFAB，DEACBFDCED90D 是 BC 边上的中点，BDCD又BFCE，由（HL）全等识别法可知BFDCED。BC，即ABC 是等腰三角形。6. 解：甲、乙两同学的回答都是片面的。他们都想当然地理解成两边是对应的。恰恰原命题中丢掉了“对应”二字，丙同学的论断是正确的。所以要重视全等三角形中的“对应”二字。点拨：本题恰又是一个易错题，甲、乙两同学的错误常出现在日常学习中，需引起注意。7. 答：同时到达。理由如下

25、：ABBCAC，CDCEDEABC 和ECD 都是正三角形ACBECD60ACE60BCEACD120 BCE ACD（SAS）BEAD。CBECAD在BCF 与ACG 中，CBFCAG BCAC，BCAACE60BCFACG（ASA）CFCG又甲公共汽车的路程和为 ADDEECCF乙公共汽车的路程和为 BEEDDCCG，两车同时到达指定站。能力：1.已知 C、D 两点的度数。段 AB 的中垂线上，且ACB=50，ADB=80，求CAD2. 如图，已知ABC 中，BCABAC，ACB=40，如果 D、E 是直线AB 上的两点，且 AD=AC，BE=BC，求DCE 的度数。3. 已知等边ABC 和点 P，设点 P 到ABC 三边 AB，AC，BC 的距离分别为，ABC 的高为 h。 “若点 P 在一边 BC 上（如图（1），此时，结论：”。（1）请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 在ABC 内（如图（2）、点 P 在ABC 外（如图（3）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，与 h 之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明。（2）若不用上述信息，你能用