高中数学选择性必修一 第三章 圆锥曲线的方程章末检测B（含答案）

1、2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典第三章 圆锥曲线的方程 章末检测B 解析版学校:_姓名：_班级：_考号：_注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。一、单选题1已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为，则椭圆的标准方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用焦点三角形的周长求出，再根据离心率求出，由即可求解.【详解】的周长为，则,所以，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为：.故选：A【点睛】本题考查了焦点三角形周长、利用离心率求椭圆的标准方程，属于基础题.2如图所示，直线与双曲线的两条渐近线分别交

2、于，两点，若且的面积为，则的离心率为（ ）ABC2D【答案】C【解析】【分析】根据题意，设，由题中条件求出，再由双曲线的渐近线方程得到，从而可求出离心率.【详解】由题意，设，因为且的面积为，所以，所以，即，可得，又双曲线的渐近线方程为，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，属于基础题型.3已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为（ ）A3B4CD【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义，将的最小值转化为焦点到直线的距离即可求得【详解】解：抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以过焦点作直线的垂线，则该点到直线的距离为最小值，如图所示；由，直线，所以，故

3、选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质和点到直线距离公式的应用问题，是基础题4离心率为2的双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】由双曲线的离心率，可求出，又双曲线的渐近线方程为，可求出答案.【详解】由题意，双曲线的离心率为，则，即，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的渐近线、离心率，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）A8B9C10D11【答案】B【解析】【分析】先根据题意得双曲线的方程为，再结合双曲线的定义得，故，连接，

4、交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，再计算即可得答案.【详解】由题意可得，即，渐近线方程为，即有，即，可得双曲线方程为，焦点为，由双曲线的定义可得，由圆可得，半径，连接，交双曲线于，交圆于，此时取得最小值，且为，则的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线方程的求解，双曲线上的点到定点的距离最值问题，考查数形结合思想，是中档题.6若实数满足，则曲线与曲线的（ ）A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等【答案】D【解析】【分析】【详解】，则，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为，离心率为，因此，两双曲线的焦距相等，故选D.7已知点P

5、（1，0），设不垂直于x轴的直线l与抛物线y22x交于不同的两点A、B，若x轴是APB的角平分线，则直线l一定过点A（，0）B（1，0）C（2，0）D（-2，0）【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的对称性，分析得出直线过的顶点应该在x轴上，再设出直线的方程，与抛物线方程联立，设出两交点的坐标，根据角分线的特征，得到所以AP、BP的斜率互为相反数，利用斜率坐标公式，结合韦达定理得到参数所满足的条件，最后求得结果.【详解】根据题意，直线的斜率不等于零，并且直线过的定点应该在x轴上，设直线的方程为，与抛物线方程联立，消元得，设，因为x轴是APB的角平分线，所以AP、BP的斜率互为相反数，所以，结合

6、根与系数之间的关系，整理得出，即，解得，所以过定点，故选B.【点睛】该题考查的是有关直线过定点问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的位置关系，韦达定理，角平分线的性质，两点斜率坐标公式，思路清晰是正确解题的关键.8已知圆，圆，椭圆，若圆，都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，圆，都在椭圆内，可得圆上的点，都在椭圆内，由此列关于，的不等式组得答案【详解】由圆，得，得圆的圆心为，半径为，由圆，得，得圆的圆心为，半径为，要使圆，都在椭圆内，则，解得椭圆离心率的范围是故选：【点评】本题考查圆与椭圆的综合，考查数学转化思想方法，考查运算求

7、解能力，是中档题二、多选题9在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中常数为正数满足，一个动圆与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是（ ）A两个椭圆B两个双曲线C一个双曲线和一条直线D一个椭圆和一个双曲线【答案】BC【解析】【分析】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为；分动圆可能与两圆均内切，均外切，一个外切，一个内切，三种情况，根据圆与圆位置关系，即可结合双曲线的定义，即可判断出结果.【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，设动圆的半径为当时，两圆相离，动圆可能与两圆均内切或均外切或一个外切一个内切若均内切，则，此时，当时，点的轨迹是以为焦点

8、的双曲线，当时，点在线段的垂直平分线上若均外切，则，此时，则点的轨迹与相同若一个外切，一个内切，不妨设与圆内切，与圆外切，则同理，当与圆内切，与圆外切时，此时点的轨迹是以为焦点的双曲线，与中双曲线不一样故选：BC【点睛】本题主要考查动点的轨迹问题，熟记双曲线的定义以及圆与圆位置关系即可，属于常考题型.10已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A的最小值为B椭圆的短轴长可能为2C椭圆的离心率的取值范围为D若，则椭圆的长轴长为【答案】ACD【解析】【分析】A. 将，利用椭圆的定义转化为求解；B.假设椭圆的短轴长为2，则，与点在椭圆的内部验证；C. 根据点

9、在椭圆内部，得到，又，解得，再由求解；D. 根据，得到为线段的中点，求得坐标，代入椭圆方程求解.【详解】A. 因为，所以，所以，当，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆的短轴长为2，则，所以椭圆方程为，则点在椭圆外，故错误；C. 因为点在椭圆内部，所以，又，所以，所以，即，解得，所以，所以，所以椭圆的离心率的取值范围为，故正确；D. 若，则为线段的中点，所以，所以，又，即，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故正确.故选：ACD【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11（多选）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞

10、向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）ABCD【答案】BC【解析】【分析】A选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD选项根据B选项的结论进行变形来判断.【详解】由题图可得，故A不正确；，故B正确；由得，即，即，故C正确，D不正确故选：BC【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，属于中档题.12已知椭圆：的左

11、、右两个焦点分别为，直线与交于，两点，轴，垂足为，直线与的另一个交点为，则下列结论正确的是( )A四边形为平行四边形BC直线的斜率为D【答案】ABC【解析】【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可.对B,根据的最值判定即可.对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明即可.【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,.故四边形为平行四边形.故 A正确.对B,根据椭圆的性质有当在上下顶点时,.此时.由题意可知不可能在上下顶点,故.故B正确.对C, 如图,不妨设在第一象限,则直线的斜率为,故C正确.对D, 设则.又由C可知直线的斜率为,故.所以.故.故D错误.故选：ABC【点睛】本题主

12、要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.三、填空题13如图，已知椭圆和双曲线交于、四个点，和分别是的左右焦点，也是的左右焦点，并且六边形是正六边形若椭圆的方程为，则双曲线的方程为_【答案】【解析】【分析】先根据椭圆的方程确定半焦距，再根据正六边形性质确定双曲线中【详解】设因此，即故答案为：【点睛】本题考查求双曲线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，则的内切圆半径为_.【答案】【解析】【分析】设内切圆的圆心，设三边与内切圆的切点，连接切点与圆心的线段，由内切

13、圆的性质可得，再由双曲线定义可知：，可得，重合，再由可得内切圆的半径的值.【详解】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，如图所示连接，由内切圆的性质可得：，所以，所以，由双曲线的定义可知：，所以可得，重合，所以，所以圆的半径为.故答案为：.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.15抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是_【答案】【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的

14、焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出的最小值，进而可求出的值，得出抛物线方程【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，当直线斜率不存在时，易得； 当直线斜率存在时，设的方程为， 由，得，整理得， 所以，所以； 综上，当直线与轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为，故，所以抛物线方程为 故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题16已知是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点满足，若.则以为圆心，为半径的圆的面积为_.【答案】

15、【解析】【分析】延长交于点，由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线，结合双曲线定义可求得，利用中位线性质可求得，进而得到结果.【详解】延长，交于点，如下图所示：，为的角平分线，又，为线段的垂直平分线，.由双曲线定义知：，分别为中点，以为圆心，为半径的圆的面积.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.四、解答题17在平面直角坐标系中，已知点，设直线，的斜率分别为，且，记点的轨迹为（1）求的方程；（2）若直线：与相交于，两点，求【答案】（1），（）；（2）.【解析】【分析

16、】（1）先设点，再建立方程，最后得到的方程：，（）；（2）先联立方程得到，再得到，最后求即可.【详解】解：（1）设点，则，因为，则，整理得：，斜率存在，所以，所以的方程：，（）（2）设，由，消去得到，则，所以，则，所以.【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题.18在椭圆上任取一点（不为长轴端点），连结、，并延长与椭圆分别交于点、两点，已知的周长为8，面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设坐标原点为，当不是椭圆的顶点时，直线和直线的斜率之积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）是定值，值为.【解析】【分析】（1）根据椭圆的

17、定义，结合的周长为8，求出的值，设出点的坐标，结合三角形面积公式，椭圆的范围，面积的最大值为.可以求出的关系，进而求出的值，最后求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，利用解方程组，求出点坐标，同理求出的坐标，最后通过斜率公式，计算出直线和直线的斜率之积是定值.【详解】（1）因为的周长为8，所以有设，因为面积的最大值为.所以的最大值为，由椭圆的范围，当时，面积最大，因此有，而，因为，所以，所以椭圆标准方程为：；（2）当不是椭圆的顶点时，因此.直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：，同理直线的方程为：，与椭圆的方程联立，得：，为定值.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的范围，考

18、查了求椭圆的标准方程，考查了通过直线与椭圆的位置关系判断两直线斜率之积为定值，考查了数学运算能力.19已知点是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆于、两点，点在椭圆上，且；（）当时，求的面积；（）当时，求证：【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）由为椭圆的上顶点及，可得，的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又且有，可得直线的斜率，求出直线的方程，设的坐标，代入椭圆的方程求出的坐标，进而求出的面积；（）设直线的方程与椭圆联立求出的坐标，进而求出的值，同理可得的值，由可得关于的方程，设函数，求导，由函数的单调性可得的取值范围【详解】（）由对称性知点、的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又且有AMN

19、为等腰直角三角形，即可知，而直线的斜率为，则直线的方程为：设点其中，有，解得（）据题意，直线，联立椭圆，得：，即：则，那么；同理可得：；由，得：，即：令，则，所以单调增，又，故存在唯一零点，即得证【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，三角形面积求法和由求导得函数的单调性，属于中难题20已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且经过点.（1）求的方程；（2）设与轴的正半轴交于点，直线：与交于、两点（不经过点），且.证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）证明见解析，直线经过定点.【解析】【分析】（1）根据一个焦点坐标得出另一个焦点坐标，结合椭圆的定义可得方程；（2）联立椭圆和直线的方

20、程，结合，求出的值，从而可得定点的坐标.【详解】（1）由题意，设椭圆：，焦距为，则，椭圆的另一个焦点为，由椭圆定义得，所以的方程.（2）由已知得，由得，设，则，由得，整理得，所以，解得或，当时，直线经过点，舍去；当时，显然有，直线经过定点.【点睛】本题主要考查椭圆的方程求解及定点问题，已知椭圆焦点及椭圆所过点常用椭圆的定义进行求解，直线过定点问题一般是求解直线方程中的斜率与截距的关系，侧重考查数学运算的核心素养.21已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为.（1）若为椭圆上任意一点，且横坐标为，求证：；（2）不经过和的直线与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）是，定值为4.【解析】【分析】（1）根据题意，先求出椭圆方程，设，根据两点间距离公式，以及椭圆的性质，即可得出结论成立；（2）先由直线与圆相切，得到，设，联立直线与椭圆方程，根据弦长公式，求出，再由（1）的结论，得到，进而可求出周期，即可得出结果.【详解】（1）由题意，可得，又，所以椭圆；设，则.，.（2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的