导数的概念教案

1、武汉软件工程职业学院教案2022 2022 学年度第一学期开课系部 公共课部课程名称 高等数学授课班级汽制 1203 班、电商 1202 班任课老师 李海霞武汉软件工程职业学院教案（理论教学首页）章 节 名 称授 课 安 排教 学 目 的教 学 重 点教 学 难 点其次章第一节（导数的概念）授 课2 授 课第十一周时 数时 间授 课启示、讲授授 课多媒体教室、课件方 法教 具1、明白导数的概念,把握利用定义求导数的方法；2、懂得导数的几何意义、物理意义,学会求曲线的切线、法线方程；3、明白可导与连续的关系；1、导数的概念；2、应用导数的定义求部分基本初等函数的导数；3、把握求曲线上过某点的切线

2、、法线方程；1、导数的概念及几何意义；2、会用导数的定义求函数的导数；装订 线 2.1 导数的概念一本章及本节内容剖析 导数是微积分的重要部分,是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时,又促进了生产技术和自然科学的进展；它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛 的应用,而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能；本章主要介绍初 等函数以及隐函数,含参数函数的求导问题,下一章主要就是导数的应用；本节内容分了四部分,一是非匀速直线运动物体的瞬时速度；二是过曲线上一点的切线的斜率；三是导数的定义；四是导数的几何意义；学习切线的斜率与瞬时 速度是为了引出导数的概念, 介绍导数的几何意义, 是为了

3、加深对导数概念的懂得；进行导数概念教学时仍应当看到,通过如干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度； 从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化 率的极限是瞬时变化率；再由一般曲线任意一点的切线斜率定义,由割线的斜率取 极限得到切线的斜率；进而引出导数的概念；武汉软件工程职业学院教案（附页）二、教学方法和手段 1、通过导数概念的形成过程,让同学把握从具体到抽象,从特殊到一般的思维方法；2、提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维才能；3、在探究“ 平均变化率” 的过程中,体会数学的严谨与理性,感受数学中的美感,激发同学对数学学问的喜爱,养成实事求是的科学态度；4、接受用运动

4、变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度；三教学过程1. 创设情境,引入新课装 订线（1）平均速度与瞬时速度（8 分钟）【创设情形,引入课题】播放一段视频林跃在2022 年北京奥运会 10 米跳台夺冠的视频；（1 分钟）【老师提问】假如在竞赛过程中, 林跃相对水面的高度hm与起跳后的时间ts存在这样一个函数关系：h（t）=24.9t 6.5t10. 请同学们摸索一下在tt 时刻时林跃的瞬时速度是多少？【同学活动】通过争论,找到突破口：要求瞬时速度,就是通过争论 t t 时它邻近的平均速度变化,如图（1）；【老师提问】所谓的 t t 时的邻近的平均速度速度又要怎么刻画呢？瞬时速度和平均速度有

5、什么关系呢？【老师总结】先求出 0t 时刻到 0t t 时刻的平均速度 v h t 0 t h t ,那么瞬时t速度可以用平均速度来约等于,当时间变化量 t 越小时,平均速度就越接近于瞬时速度,于是我们得到 v t lim v lim ht 0 t h t ；t 0 t 0 t（ 2）曲线的切线斜率（ 5 分钟）（1）为什么求曲线的切线的历史缘由,17 世纪数学家遇到的三类问题；（2）任意曲线在任意一点的切线定义：割线的极限位置即为切线位置；武汉软件工程职业学院教案（附页）【老师提问】那么M x 0,y 0点的切线斜率,依据切线的定义怎么求呢？如下图（2）；【同学活动】同学依据上述例子瞬时速度

6、的总结,争论归纳出 M x 0 , y 0 点切线斜率；即：割线 MN 的斜率为平均变化率,当自变量的该变量 x x x 趋于零时的平均变化率即为 M 点的瞬时速度；设Mx 0,y0,N x y ；割线 MN 的斜率0, 点M x 0,y0切线斜率：图2Kyy0f x 0 xf xtanMNxx 0 x装订KMTtanlim x x 0yy0lim x0f x0 xf x 0线xx 0 x2. 导入新课（1）导数的定义（ 20 分钟）【老师总结】老师依据以上两种情形总结出导数的具体定义,定义 设函数 y f x 在点 0 x 的某个领域内有定义,当自变量从 0 x 变到 0 x x时,函数 y

7、 f x 的增量 y f x 0 x f x 0 ,函数的增量和自变量的增量比值 y f x 0 x f x 0 称为函数 f x 的平均变化率；当 x 0 时,x x平均变化率的极限：lim x 0 yx lim x 0 f x 0 xx f x 0 假如存在,就称此极限值为 f x 在 0 x 处的导数；可用以下记号表示dy df x y x x 0 ,dx x x 0 , f x 0 ,dx x x 0【老师提问】 从导数的定义总结出, 用定义求 y f x 在点 x 处导数的步骤是什么呢？【提问同学】同学通过老师的引导总结出用定义求函数在某点导数步骤： 求函数的增量yfx 0 x f

8、x 0 求平均变化率yf x 0 x f x 0 x f x 0；xx 取极限,得导数lim x 0y xf x 0lim x 0 x【典型例题,深刻体会】例 用定义求函数yc yx,ysinx yx a 的导数；【老师提问】通过以上的例子总结常见基本初等函数的导数公式；【同学活动】同学通过老师讲解,总结公式如下：c0, xx1,sinxcos ,cosxsin ,axaxlna特殊地, exx e ,ln x1x（ 2）导数的几何意义（ 5 分钟）fx 0表示曲线yf x 在点M x 0,f x 0处的切线的斜率（如图（ 2）,即tanlim x 0ylim x 0f x 0 x f x 0

9、 xx特殊地：曲线yf x 在点M x 0,fx 0处切线的方程为：yy0fx 0 xx0曲线yf x 在点M x 0,fx 0处法线的方程为：yy0f1xx 0 x 0【典型例题】求等边双曲线y1在点1 2,2处的切线的斜率,并求出该点处的x切线方程和法线方程；（ 3）可导与连续（ 3 分钟）定理 函数可导必定连续,但是连续不肯定可导；【典型例题】争论函数yf x xsin1,x0在x0处的连续性与可导性；x0,x03本节课内容小结（ 2 分钟）导数的实质 : 增量比的极限 ; 导数的几何意义 : 切线的斜率 ; 函数可导肯定连续,但连续不肯定可导 ; 求导数最基本的方法 : 由定义求导数

10、. 武汉软件工程职业学院教案（附页）4布置作业（ 1 分钟）习题 2.1 3（2）；6；7（3）5.作业要求（ 1 分钟）要求每周交一次作业, 每周上课之前交到学习委员,作业写清题号,要仔细自己完成,依据作业的完成情形分成A,A A 三个情形予以平常分；四教学参考资料1高职数学教程张国勇高等训练出版社2.高职高等数学基础汪志锋安徽高校出版社五教学后记装 订线一 .本节课是微积分导数部分的第一节课,重在让同学懂得导数的定义,适应高 等数学快节奏的思维方式；二 .本节课的教学目标是懂得导数的概念,以及记住几个可以用定义求的基本初等函数的导数公式；从与同学的眼神沟通和提问来看,同学把握了重点,教学目

11、标完成的较好；三.本节课总体是理论课的教学但是结合物理实例和历史一些数学学问,总体学 生比较有爱好,接受情形较好；四 .电商专业的同学由于女生较多,故课堂气氛不够活跃,课堂的例题应当再加深难度, 由易到难； 照料各个层次同学的接受水平；业的布置上就留意满意各个接受层次的同学；如是为了补偿这个在课后作武汉软件工程职业学院教案（理论教学首页）章 节其次章其次节（导数基本公式与求导法就）第十二周名 称授 课2授 课授 课时 数时 间安 排授 课启示、讲授授 课课件方 法教 具1、把握导数的四就运算法就；2、娴熟把握基本初等函数的导数公式；教 学 3、能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四就运算

12、法就求简洁函 目 的 数的导数；4、把握复合函数的求导法就；5、明白反函数的求导法就；装教 学1、基本初等函数的导数公式；2、导数的四就运算法就；重 点订3、复合函数的求导法就；线教 学1、复合函数的求导法就；难 点2、反函数的求导法就； 2.2 导数基本公式与求导法就一本节内容剖析 在上节课中已经利用导数的定义求出了部分基本初等函数的导数公式,本节直接 给出了导数的运算法就,由于高职高专的同学不要求依据导数定义推导这些公式 和法就,只要求能够利用他们能求简洁函数的导数即可；在教学中,适量的联系 对于熟识公式和法就的运用是必要的,但应防止过量的形式化的运算联系；二、教学方法和手段 1、回忆公式

13、、查找技巧 2、自主探究、合作学习 3、成果展现,汇报沟通武汉软件工程职业学院教案（附页）三、教学过程1、回忆上节课内容 （3 分钟）【同学活动】请同学到黑板默写公式,检查上节课的学习成果；基本初等函数的导数公式：装函数nQ*y01a a导数ycyf x xnynxnysinxycosx0yf x axyaxln订yf x x eyex1a a0 且a1线f x log axf xlnf x lnxf 1x2、新内容讲授 （35 分钟）【老师活动】老师直接给出求导法就,并分析导数运算法就的速记方法；（1）函数的和、差、积、商的求导法就：导数运算法就1f x g x f g x 02g x f

14、f x g x f x 3f f x g x2 g x f g x cf x cf （c 为常数）典例讲解：例 1 f x x34cosxsin2,求f x 及f2；武汉软件工程职业学院教案（附页）例 2yexsinxcos , 求 y ；xcscx . 例 3 已知ytan , x ysec x ,求 y . 同理：cotx 2 csc ,cscx cot【同学活动】老师提问同学到黑板实际演练；（）y3x22x5（ ）yx4sinx（ ）yx3x63 x2（ 2）复合函数求导法就【老师活动】老师先跟同学一起回忆复合函数的定义；装 订线复合函数：yf ,yf u ,u x .例如：ysin e

15、xyeu,usinx . 【老师活动】老师直接给出复合函数求导法就；复合函数求导法就： 复合函数yfg x 的导数和函数yf u 和ug x 的导数间的关系为y xy uu ,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积如yfg x ,就yfg x fg x g x yyf u u , v v yff 【老师活动】老师给出运算法就的典例讲解；例 1 ylncosx ,求 y . ysin e1,求 y . 例 2 x例 3 y12 x ,求 y . 【老师总结】 求复合函数的导数,关键在于搞清晰复合函数的结构,明确复合次 数,由外层向内层逐层求导, 直到关于自变量

16、求导, 同时应留意不能遗漏求导环 节并准时化简运算结果【同学活动】同学实际操作练习：1y2lntan , 2ycos3 xln2 , 3y2 exsin3x武汉软件工程职业学院教案（附页）（ 3）反函数求导法就装定理假如单调连续函数x y 在点 y 处可导,而且 x0,那么它的反函数yf x 在对应的点 x 处可导,且有f 1或dy1或yxx1ydxdx12； dy例求以下函数的导数；（1）yarcsinx （2）yarctanx . 答案arcsinx11x2,arctanx1订类似地,有arccos 11x2,arccot 11 2 x；线3本节课内容小结 5 分钟 1依据导数的定义和求导法就,推出了全部基本初等函数的求导公式,即建立了和差积商求导法就, 反函数求导法就,这样就解决了初等函数的求导问题；2 对复合函数求导,留意分析函数结构, “ 由表及里,逐层求导”,教学中可实行两步走：第一步, 写出中间变量, 将复合函数分解为基本初等函数或由基本初等函数经过四就运算所得到的关系式,再应用法就求导 . 其次步,中间变量在每一步求导过程中表达,由表及里,逐层求导 . 4布置作业 （2 分钟）P48