数分高代真题东南04解答

1、东南2004入一(18分)(a1b)x1 a2x2 an东南2004入一(18分)(a1b)x1 a2x2 an a x (a b)x a x 1 2n a1x1 a2x2 (an b)xn n其中ai 0,a1,a2 ,an 和b 满足何条件时3) ax1 ax ax f (1)X QY f 30(2)af 2f三.(15a1a2,an g(x) (xa1)(xan )(1)求证g(x) 在有理数域Q 上不可约(2)t 1hx) (x a1(x an t 在有理数域Q上是否可约,为什四.(15 分)设 P 上线性空间的线性变换,多项式 pxqx) p( f)q(f ) 0 . 求 W 且 W

2、,S 为 的 不 变 子 空 间 , 这 W KpfS K(qfKgg五.(10 分)设1,2,3 为欧氏空间的标准正交基, 1 22 21 3 HH( 六.(10 分)设A n 阶方m ,使秩Am) =秩Am1 ,并证存在n - 1 BAm Am1B七.(15 均为非零nATBAm Am1B七.(15 均为非零nAT(1)A的最小多项式. (2)A八.(20分)设V 是数域P 上全体2阶矩阵的线性空间,给定一矩阵AV ,定义V 上的变换 如下:X AX,X (1) 为V (2)V 的一组基1 ,3 ,4 ,求 在此20(3)A 可以相似对角化,则可找到V 的一组基使 在此基下的矩阵为对角矩九

3、.(15ABmnABAX XB十.(15分)设线性空间V 的两组基1,n 1n , V (2n3,对i1,2,3jk1,2,3, j k,使得i,j,k为V - 2 东南2004入一. a1 an a2 n(b东南2004入一. a1 an a2 n(bai D n(1)D 0时，即b 0且b0CramernD 0时，即b 0或b0nai (I)b0 a 1x 1 a 2x na nx 0 同解. 而 0 a1an 不全为零.不妨设a1 0k11 kn1n其中 a2 ,1,0,0)Tan ,0,0,0,1)Tk ,11naa11n(II)若bai 0,则b 01以(12,3,nb a1100a

4、n001an 000001000 0 1 二. 解- 3 1a1Aa a2) 的 特 征 值 A的 特 征 多 项 解方 程( X01 1a1Aa a2) 的 特 征 值 A的 特 征 多 项 解方 程( X01 化为 ,0), ( ,1,1)6 1212解方程(2E AX 02 的线性无关的特征向量为3 将化为 (1)3311266令Q X QY f 3f(y ,y ,y ) (a1)y2 (a1)y2 (a2)y123(2)由(1)知a 2时, f 2.f3 0fy1y2y3) 0y1 y2 0 0 1Q 0 12 3x y 1 3 3 其中y3未知量.三. (1)反证法.设g(x)在有理

5、数域Q不可约,g(x) g1(x)g2其中g1x), g2 (x) 均为首项系数为1的整系数多项式,且它们的次数小于g(x) 的次数g(ai ) 1i 1,2,ng1(ai g2 (ai ) 1g1(ai g2(ai - 4 h(x) g1(x)g2则有 h(ai) 0 , 从而 次数小于 n 的多项式 h( xnh(x) g1(x)g2则有 h(ai) 0 , 从而 次数小于 n 的多项式 h( xn h( x) g ( x g ( x,)g( x) g2 ( x) g( x).122(2) 不一定11x212 x2 1四. 先证V W S 易知W S V V W Spxq( x)互素，则存

6、在uxv(xx (u) x( )q( ) ( p)f (u f) q(f f( E V ,由(*) E() p(f)u(f)()q(f)v(f)() 1 其中1 pf)uf)(2 qf)vf)(qf)(10pf)(201S,2 W ,从而V W S对任意的W Sq (f )( ) (f ) V W 五. ) 则x, y(H(x),H(y)(x2(,x),y2(,y) ( x,y H- 5 H() 2(, 2(,)(,)( 2 H 六. 由n r(A) r(A2) r(H() 2(, 2(,)(,)( 2 H 六. 由n r(A) r(A2) r(An) 故存在正整数m ,使秩Am) =秩Am1

7、) 由于Am 的行向量组和Am1 的行向量组等价，则它们相互表出，所以存在矩阵 B 使七.f()|EA| n1(TA2 TA，所以2 T A0和T A所以2 T AJ0 T八.(1)X,Y V,k,lP,(kX lY) A(kX lY) kAX lAY kX 故 为V a12 A设aa 22 a12 001 A1 0 a a 11 21 a0 22 a12 1a11 2 A2 0 a112 a21aa 22 21 a12 003 A3 a a 12 22 0 22 - 6 a12 0a12 4 A4 0 a122 a22aa 22 22 0 00a12 B a12 0a12 4 A4 0 a122 a22aa 22 22 0 00a12 B 0000a22 (3)A可以相似对角化,即存在可逆矩阵T2 则T1 ,T1 ,T1 ,T1 也是V 1 1 1T 12 12 2 1T 2 13 3 2T 2 14 2T 4 2 故 AB有公共特征值，设为ABT也有公共特征值,九.对应的特征向量分别为 ,A ,BT X T,AX AT T T) BTT TB XB.ABABf(g(u()f ()v()g() AX XBgAX Xg(B) 0v(A)g(A) - 7 g(AX 0由于1,n1ng(AX 0由于1,n1n均为V 的基,故存在可逆矩阵P pij nn 十. (