线性代数教案(正式打印版)

1、第（1）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第一章第一、二、三节学时2学时1.线性代数(第4版)同济大学编1.教学目的：熟练掌握2阶,3阶行列式的计算；并会计算；掌握阶行列式的定义；2.教学重点：逆序数的计算；3.教学难点：逆序数的计算.1.教学内容：二、三阶行列式的定义；全排列及其逆序数；阶行列式的定义2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。bb用消元法,当时,解得b,bb令,称为二阶行列式如果将D中第一列的元素换成常数项bb,则可得到另一个行列式,用字母表示,于是

2、有bbb按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：bb,这就是公式（2）中中第二列的元素a,a换成常数项b,b,可得到另一个行列式,用字母表示,于是有bb按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：bb,这就是公式（2）中于是二元方程组的解的公式又可写为其中.b时,要用到bbb二、三阶行列式的定义b设三元线性方程组用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表记称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2.计算三阶行列式.(-14)例3.求解方程（）.解先计算系数行列式再计算,引例：用三个数字,可以组

3、成多少个没有重复的三位数？一、全排列把n个不同的元素排成一列,叫做这个元素的全排列（简称排列）.可将个不同元素按进行编号,则个不同元素的全排列可看成这个自然数的全排列.个不同元素的全排列共有!种.二、逆序及逆序数逆序的定义：取一个排列为标准排列,其它排列中某两个元素的次序与标准排列中这两个元素的次序相反时,则称有一个逆序.通常取从小到大的排列为标准排列,即的全排列中取为标准排列.逆序数的定义：一个排列中所有逆序数的总数称为这个排列的逆序数.逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列,标准排列规定为偶排列.例1:讨论的全排列.全排列逆序数123023123122132121313

4、213奇偶性偶奇逆序数为逆序数为nnnii其中为排在p前,且比p大的数的个数.iii例2：求排列的逆序数.n解：nii(对于逆序数的计算介绍另一种算法)下面可用全排列的方式改写二阶,三阶行列式.二阶行列式(pp其中：pp是的全排列,是pp的逆序数,是对所有的全排列求和.三阶行列式其中:ppp是的全排列,是ppp的逆序数,是对所有的全排列求和.(.ppp其中:ppp是,的全排列,是ppp的逆序数,nn是对所有,的全排列求和.例1.计算对角行列式:例2.证明对角行列式（其对角线上的元素是,未写出的元素i都为0）证明:按定义式nnn证明:按定义式得nnnnnn以上,阶行列式的定义式,是利用行列式的第

5、一行元素来定义行列式的,这个式子通常称为行列式按第一行元素的展开式.小结：回顾和小结1.二三阶行列式的定义；2.全排列及其逆序数；3.阶行列式的定义。思考题：1.计算三阶行列式复习思考题或作业题2.求排列的逆序数.作业题：习题一：第及的定义概念,会计算二、三阶行列式；实施情况及分析2.对其逆序数等方面的应用有待加强.第（2）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第一章第四、五节线性代数(第4版)同济大学编学时2学时教学目的：掌握对换的概念；掌握阶行列式的性质，会利用n阶行列式的性质计算n阶行列式的值；2.教学重点：行列式的性质；3.教学难点：行列式的性质.1.教学内容：对换；行列式的性质；2.时

6、间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调,叫做相邻对换例：bbbbbbll定理1推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明：由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立定理2：阶行列式为：(.ppp其中为ppp的逆序数.n（以4阶行列式为例,对证明过程作以说明）（补充）定理3n阶行列式也可定义为(pqpqpq.其中ppp和qqq是两个n级排列为行标排列逆序n数与列标排列逆序数的和.练习：试判断和是否都是六阶

7、行列式中的项转置行列式的定义=nnnnnn行列式称为行列式的转置行列式（依次将行换成列）一、n阶行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等.反之亦然.dbbd以r表示第i行，表示第j列.交换i,j两行记为rr,交换ijiji,j两列记作ij性质2：推论：行列式有两行（列）相同，则此行列式为零.性质3：行列式的某一行（列）的所有元素乘以数,等于用数乘以该行列式.推论：行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号外.性质行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则此行列式为零.性质5：若行列式中某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和.iiiiii则i+ii性质6：把

8、行列式某一行（列）的元素乘以数再加到另一行（列）上，则该行列式不变.二、阶行列式的计算：例1.计算rrrrrrrrrrrrrbbbbbbbbbbbbbbbbbbrrrrbbbbbbbbrrbbbbbbbbbbriibbbbbbb(推广至阶，总结一般方法)pqqr例3.证明：pqqrpqqrrpprpprppqqqrrr证明：左端ppqrqrqrrpqrpqrpqqrqrqrrprprppqrrqrrppqrqrpppqrqrrqrqrrrpprppqqrqrqrrpppppqqqrrr例4.计算n阶行列式.bbbddd(利用递推法计算)例5.例5.bb，bbb,b)bij证明：ijb.b小结：

9、回顾和小结对换和阶行列式的性质与计算1.对换的定义及两个定理;2.阶行列式的性质与计算；思考题：1.把排列54132作一次对换变为24135,问相当于作几次相邻对换？把排列12345作偶数次对复习思考题或作业题换后得到的新排列是奇排列还是偶排列？2.计算：2.计算：bbbb.作业题：习题一：第3，4（2，4）,5(2,4,5)1.通过学习学员掌握了阶行列式的定义和对换的概念；实施情况及分析2.对利用阶行列式的定义和对换等方面的应用有待加强.第（3）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第一章第六节1.线性代数(第4版)同济大学编；学时2学时1.教学目的：了解余子式和代数余子式的概念；掌握行列式按

10、行（列）展开；2.教学重点：行列式按行（列）展开；3.教学难点：行列式按行（列）展开.1.教学内容：行列式按行（列）展开；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在阶行列式中，把元素所处的第i行、第j列划去，ij剩下的元素按原排列构成的阶行列式，称为的余子式，记为ijM；而ijM称为ijijijij引理如果阶行列式中的第i行除外其余元素均为零，即：ijjnnijnn则：ijij先证简单情形：先证简单情形：nnnnn再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：

11、按列：ijijijijiijiij证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）iinnniinnnnnnnnnnnn(i).iiii解:例2:解:rr从而解得nn例3证明范德蒙行列式nnnijijnnnn其中，记号“”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法ijij所以，当nn=2n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把n降阶；从第n行开始，后行减去前行的倍，有LnLLLLLnnnLnnLnnn（按第一列展开，并提出因子）i阶范德蒙行列式L=ijijijij定理的推论行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应各元素的代数余子式乘积之和为零，即ijiijij按列：ijijiji,，其中ij).ij)nn

12、ikijijij例4.计算行列式D的值。小结：行列式按行（列）展开。回顾和小结1.余子式和代数余子式的概念;2.行列式按行（列）展开;n思考题：设:0,复习思考题或作业题n求第一行各元素的代数余子式之和作业题：习题一:第7（2，3，5，6）1.通过学习学员理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；实施情况及分析2.对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强.第（4）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第一章第七节线性代数(第4版)同济大学编学时2学时1.教学目的：了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程

13、组的解；教学重点：克拉默法则的应用；教学难点：克拉默法则的应用.1.教学内容：克拉默法则；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容第七节克拉默法则含有n个未知数,.,的n个方程的线性方程组备注b（1）b与二、三元线性方程组相类似,它的解可以用n定理零,即,(2)其中j是把系数行列式中的第j列的元素用方程组右端j的常数列代替,而其余列不变所得到的n阶行列式jbjjbjjb,j,j当b,b,.,b全为零时,即n称之为齐次线性方程组.显然,齐次线性方程组必定有解）.n根据克拉默法则,有时非零解）2反之,齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式

14、例1求解线性方程组同样可以计算所以注意：1.克莱姆法则的条件：n个未知数n个方程,且2.用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程3.克莱姆法则具有重要的理论意义。4.克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的依存关系.例2.用克拉默法则解方程组,6.例3.已知齐次线性方程组有非零解,问应取何值？解系数行列式由：,得、小结：回顾和小结克拉默法则.1.内容;2.应用.复习思考题或作业题思考题：当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?作业题：习题一第实施情况及分析1.通过学习学员理解了解克拉默法则的内容,了解克拉默法则的证明,会利用克

15、拉默法则求解含有n个未知数n个方程的线性方程组的解；2.对利用克拉默法则等方面的应用有待加强.第（5）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第二章第一、二节学时2学时同济大学胡一鸣编线性代数辅导及习题精解;3.孙建东等编线性代数知识点与典型1.教学目的：了解矩阵的概念；掌握矩阵的运算；2.教学重点：矩阵的概念和矩阵的运算；3.教学难点：矩阵的概念和矩阵的运算。1.教学内容：矩阵；矩阵的运算；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容备注一、矩阵的定义称m行、列的数表mmmn为m矩阵，或简称为矩阵；表示为mmmn或简记为()ijmn,或()或

16、ijmn；其中表示中第i行，第j列ij的元素。为按行列式的运算规则所得到其中行列式为按行列式的运算规则所得到mmmn的一个数；而m矩阵是m个数的整体,不对这些数作运算。设()ijmn，(b)ijmn都是m矩阵，当则称矩阵与相等,记成。二、特殊形式bb行矩阵：矩阵（以后又可叫做行向量），记为(,)n列矩阵：m矩阵（以后又可叫做列向量），记为bbm零矩阵：所有元素为的矩阵,记为对角阵：对角线元素为,.,其余元素为的方阵，记为n单位阵：对角线元素为1，其余元素为0的方阵，记为Ennnn线性变换的定义：设变量,.,能用变量,.,线性表m示，即mmmmnn这里iji,m;j,i,.,到变量,.,的变换称

17、为线性变换。m线性变换由m个元函数组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称之为线性变换。上式的系数可构成一个m矩阵mijmmmnijmm称之为线性变换的系数矩阵。mn线性变换和系数矩阵是一一对应的。的系数矩阵为的系数矩阵为恒等变换mm的系数矩阵为例.E例.Ennn同样，齐次线性方程组nnmmmnn与系数矩阵与系数矩阵mm，也是一一对应的.mn非齐次线性方程组非齐次线性方程组nnbnnmmmnnbm与增广矩阵与增广矩阵mb也是一一对应的。bmbmnm一、加法设()ijmn，(b)ijmn,都是m矩阵,则加法定义为bbmbmbmbbbmbbmnmn显然,，二、数乘设是数,()ijmn是m矩阵,则数乘

18、定义为mmmnbb变量,到变量,的线性变换为bbbbbb，三、乘法乘法运算比较复杂,首先看一个例子设变量,到变量,的线性变换为bbbb那么,变量到变量的线性变换应为bbbbbb即bbbbbbbbb定义矩阵bbbbbb和b的乘积为bbbbbbbbbbbbbbbbbb按以上方式定义的乘法具有实际意义.由此推广得到一般定义设()ijm，(b),则乘法定义为ijnC其中C()ijmnbbbbijijiji,mj,注：两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行乘积矩阵的第i行，第j列元素为前一个矩阵的第i行元素与后一个矩阵的第j行元素对应相乘再相加。例：设例：设，则例:设例:设，B，求及。解：解

19、：，（2），但却有。一个必须注意的问题：1若，,则mnmnm时,不成立；nm2即使mn，nm,则mnnm是m阶方阵,而nmmn是阶方阵；3.如果3.如果都是阶方阵,例如，则，而，而综上所述,一般（即矩阵乘法不满足交换率）。下列性质显然成立：，几个运算结果：1,1,bbbb；b2.b,2.b,bbbbbbbbb；设n3.若为m矩阵,E是m阶单位阵,则;若设n；4.线性变换的矩阵表示：nnnnmmmmnnmmnmmmnnnb5线性方程组的矩阵表示：bnnmmmnnbmmmbbm则bbbmnnm矩阵的幂:nn证明用归纳法：时,显然成立,假定时成立,则时从而结论成立.是直角坐标旋转是直角坐标旋转角度变

20、换的系数矩阵,故而是旋转了角度变换的系数矩阵.四、转置设设，记则称是的转置矩阵。显然，。对称矩阵的定义:若矩阵满足（即是对称ijji阵例.设是m矩阵,证明是阶对称阵,是m阶对称阵.例.设,且E为阶单位阵,E证明:是对称阵，EEEE，EEEEEE五、方阵的行列式为阶方阵，其元素构成的阶行列式称为方阵的行列式,记为或det。显然，。例.设记，其中是的代数余子式,*称为的伴随阵.ijij证明：*E证明设*ijbbnij*ij设*dijijEijbbijlijijnnji*dijijEij例.设为阶实方阵,且,求ijij解：注意到*由*E，得由*E，得E，nn由于nn,故六、共轭矩阵()为复矩阵,ij

21、轭矩阵.显然,ij为的共轭复数,则称()为的共ijij,小结：矩阵的概念和矩阵的运算：回顾和小结1.2.复习思考题或作业题思考题：1.矩阵与行列式的有何区别?2.设与为阶方阵，问等式成立的充要条件是什么?作业题：习题二第1.通过学习使学员理解矩阵的概念,掌握了矩实施情况及分析阵的运算；2.对利用矩阵的运算法则的应用有待加强.第（6）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第二章第三节学时2学时同济大学胡一鸣编线1.教学目的：理解逆矩阵的概念；掌握逆矩阵的性质和计算方法；2.教学重点：逆矩阵概念和计算；3.教学难点：逆矩阵概念和计算。1.教学内容：逆矩阵；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨

22、论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容备注引入：设给定一个线性变换可表示为矩阵方程（1），nnnnnnn由克莱姆法则知,若,则(1)有唯一解。如果存在n阶方阵,使得E,则(1)的解可用矩阵乘积表出：（2）称为矩阵方程(2)的解。定义设为n阶方阵,若存在一个阶方阵，使得E则称方阵可逆,并称方阵为的逆矩阵,记作，若E,则性质1若存在,则必唯一.证明设C都是的逆阵，则有BEEC（唯一）.性质2若可逆，则也可逆，且证明可逆,E,从而也可逆,且。性质3若可逆,则可逆,且证明E,()()E从而E，于是性质4若同阶方阵、都可逆，则证明EEBE所以可逆,且二、逆阵存在的条件及逆阵的求法ij的行

23、列式定义3.ij的行列式中元素的代数余子式(i,j,)构成的阶方阵,记作*,即ijij*称为的伴随矩阵.例1.设求*解:因为，所以*所以*定理方阵ijnn可逆且*证明必要性：可逆,即有存在,使得E，两边取行列式得E故充分性：由行列式的性质7和Laplace定理知,ij,ij*AE因为，故有*E从而*于是EB于是EBEE)，则。证明：E，故存在。注：求时，只需要验算E，计算量减半。例2.判断下列方阵是否可逆?若可逆，求其逆阵。解：，所以不可逆，可逆，并且*在第一节中，线性方程组可表示为矩阵方程，若，则，得到的解。例3解线性方程组解：其矩阵式为因所以所以所以其解为例4求解矩阵方程C，其中，解：易知

24、解：易知，则回顾和小结1小结：1逆矩阵的概念22矩阵可逆的充分必要条件3利用伴随矩阵求逆矩阵思考题：试分析以下给出的解答的错误,并给出正确的解答.已知已知，求复习思考题或作业题错误解法:由于,所以存在故有*作业题：习题11-1第1.通过学习学员理解逆矩阵的概念和矩阵可实施情况及分析逆的充分必要条件,会利用伴随矩阵求逆矩阵；2.对利用伴随矩阵求逆矩阵等方面的应用有待加强。第（7）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第二章第四节学时2学时同济大学胡一鸣编线1.教学目的：掌握矩阵分块法的运算性质和方法；2.教学重点：矩阵分块；3.教学难点：矩阵分块的方法。5.教学内容：矩阵分块法；6.时间安排：2学

25、时；7.教学方法：讲授与讨论相结合；3.教学手段：黑板讲解与多媒体演示。基本内容备注引例：设可按以下方式分块，每块均为小矩阵：，则则。矩阵分块法是用若干条横线和若干条竖线将矩阵分割成几个小矩阵。矩阵分块法的运算性质：1加法：设设rr，则则r.r设设r，是数，则r，则mllmrmllCm其中其中4转置：，C,i,jrij设设，则rr5对角分块的性质：，其中,均为方阵，则若可逆，则若可逆，则。解：设解：设，则。例:，求。，则，则设设，,。C解设解设，则由E得CC，其中EEEEE按乘法规则，得EE解得：，C。例设，证明.1矩阵按行分块：设设mm，记mn(,),imiim则矩阵按列分块：j,jnjj则

26、,。2线性方程组的表示：nnbnnbmmmnnbm若记若记m，bbnmmnbbmm若记，则线性方程组可表示为b或ib,m。iii若记,，则线性方程组可表示为,b或2,3矩阵相乘的表示：b。m设，lnb,b,bn，bbbbb则bmbbmbmb,，mn则，其中是m矩阵，是iii,是mii4对角阵与矩阵相乘：mmn，mmmmn,mn,n,nmnm小结：回顾和小结矩阵分块法1运算性质；2方法;思考题：设,其中,C复习思考题或作业题证明可逆,并求作业题：习题二第26、29、30。1.通过学习学员掌握矩阵分块法的运算性实施情况及分析质和方法；2.对矩阵分块法的应用方面有待加强.第（9）次课授课时间（）教学

27、章节教材和参考书第三章第3节学时2学时同济大学胡一鸣编线性代数辅导及习题精解;3.孙建东等编线性代数知识点与典型1.教学目的：掌握矩阵秩的定义,会求矩阵的秩.2.教学重点：求矩阵的秩；3.教学难点：求矩阵的秩1.教学内容：矩阵的秩；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注定义1.在m矩阵中任取行列m,位于这些行列交叉处的个元素,不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式,称为矩阵的阶子式.m矩阵A的k阶子式共CC个.mn定义2如果在矩阵中有一个不等于零的r阶子式的r阶子式都等于则称D为的一个最高阶非零子式.数r称为矩阵的秩，矩阵的

28、秩记成零矩阵的秩规定为0注解:1.规定零矩阵的秩规定为0.2.若3.若ijij,r,称为满秩矩阵.,r,称为降秩矩阵.4.()()ij其中三阶子式共有个其值均为例如r再观察二阶子式()rijr再观察二阶子式()rij其中三阶子式共有个其值均为例如r再观察二阶子式rrr.r问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？定理若,则初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例5.例5.设,求矩阵的秩,并求的一个最高阶,求矩阵及矩阵,b的秩.,b6.设例7.设A例7.设A,已知.矩阵的秩的性质(1).(mn)m,;(2).()()(3).若,则(4).若可

29、逆,则(5).),),(6).(7).),);(8).若mnnl,则.例8.设为阶矩阵,证明EE.证明因EEE.由性质(6),有EEE,而EE),所以EE.求秩方法：用初等变换把矩阵化成行阶梯形矩阵，矩阵的秩=此行阶梯形矩阵的秩（据定理1=其非零行的行数（定义2）ij.rE求以下矩阵的秩：;回顾和小结1.矩阵秩的定义；2.利用初等行变换求矩阵的秩复习思考题或作业题1.复习思考题：m矩阵的阶子式共有多少个？2.P791.通过2实施情况及分析秩的定义,会利用初等变换求小型矩阵的秩.2.对求矩阵的秩的运算速度、准确性有待加强。第（10）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第三章第4节学时2学时同济大

30、学胡一鸣编线性代数辅导及习题精解;3.孙建东等编线性代数知识点与典型1.教学目的：求解一般线性方程组的方法；2.教学重点：线性方程组的求解方法、步骤3.教学难点：线性方程组的求解。1.教学内容：线性方程组的解2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.nn线性方程组称为元齐次线性方nnmmmnn程组.记记,mmmn称为方程组的系数矩阵定理2元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩证明必要性设方程组有非零解.用反证法来证明假设，那么在中应有一个阶子式根据Cramer法则，所对应的个方程构成的齐次线性方程组只有零解，从而原方程组也只有零解，

31、矛盾.故充分性设r,对施行初等行变换得到行阶梯形矩阵.那么只含r个非零行，rrrr,rbbbbbnnbbb于是齐次线性方程组bb于是齐次线性方程组与rrrr同解.bbbbb把它改写成bbrrrrbrnbrr,rbbrn这个方程组有r个自由未知量,故有非零解.关于齐次线性方程组的结论方程组仅有零解的充分必要条件是n;方程组有非零解的充分必要条件是n;当齐次线性方程组中未知量的个数大于方程个数时，必有n;这时齐次线性方程组一定有非零解.例1.三元齐次线性方程组例1.三元齐次线性方程组是否有非零解？解:由解:由可知，所以此齐次线性方程组有非零解.例.当取何值时，齐次线性方程组例.当取何值时，齐次线性

32、方程组有非零解.解：用初等行变换化系数矩阵可知，齐次线性方程组有非零解.例3求解下列齐次线性方程组(1)(1)解：(1)(2)rrrrrrrrrr可得,而,故方程组只有零解:(2)rrrrrrrrrrrr,r可得而故方程组有非零解通解中含有个原方程组的同解方程组为原方程组的同解方程组为取,为自由未知量(一般取行最简形矩阵非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的令,则方程组的全部解(通解)为,.,为任意常数)或写成(向量)形式或写成(向量)形式,为任意常数)b齐次方程组求解方法:用矩阵初等行变换将系数矩阵化成行阶梯形矩阵,根据系数矩阵的秩可判断原方程组是否有非零解.若有非零解,继续将行阶梯形化

33、为行最简形矩阵,则可求出方程组的全部解(通解).元非齐次线性方程组bmmmnbm记m记m,bbmmnmmmnbm称为非齐次线性方程组的系数矩阵,称为增广矩阵.于是，,b,b.bnmbb定理3元非齐次线性方程组b有解的充分必要条件是b,其中为非齐次线性方程组b的增广矩阵.b证明必要性设非齐次线性方程组b有解，要证用反证法,假设，则可化成行阶梯形矩阵rrrr,rdddrddrrrrdrr,rrr因为它含有矛盾方程组有解矛盾.故充分性设r用初等行变换化增广矩阵为行阶梯形矩阵，则中含r个非零行rrrr,rd不妨设为ddrdd对应的方程组为rrnnrrnnrdrr,rrn这个方程组有解.它与原方程组b程

34、组b有解.由上述证明还可得，元非齐次线性方程组b有唯一解的充分必要条件是关于非齐次线性方程组的结论b方程组无解充分必要条件是bb方程组有唯一解的充分必要条件是b方程组有无穷多组解的充分必要条件是br,且在任一解中含有r个任意常数b3.判断下列非齐次线性方程组是否有解解:用初等行变换化其增广矩阵由此可知，例4,b取何值时，非齐次线性方程组(b(解：用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵，bbb由此可知：（1）当时，,方程组有唯一解；（2）当，b时，方程组无解；b时，,方程组有无穷多个解。例5求解下列非齐次线性方程组(1)(1)(3)(2)rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr,可得()

35、(),而,故方程组有解,且解唯一:(2)rrrrrrrr,(3)可得(),故方程组无解.rrrrrrrr,rrr可得()()而故方程组有解且有无穷多解通解中含有个任意常数.与原方程组同解的方程组为取,为自由未知量(一般取行最简形矩阵非零行的第一个非零元对应的未知量为非自由的),令,则方程组的全部解(通解)为,.,为任意常数)或写成(向量)形式或写成(向量)形式.例6取何值时,线性方程组,为任意常数)解：方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为(1)当()(),即当时,方程组有唯一解.所以，当且时,方程组有唯一解.由于,根据克拉默法则,得到唯一解(,rrrrr,(3)当时,rr可得(),故方程组无解.,

36、为任意常数)意常数.令,则方程组通解为,或回顾和小结一、线性方程组解的存在与判定定理：1、齐次2、非齐次二、求线性方程组的解的步骤复习思考题或作业题2.复习思考题：P8118，19，202.P8012（3），13（1），14，161.通过2实施情况及分析初等变换判断求解线性方程组的方法；2.利用初等变换判断求解线性方程组的方法还需要通过多做题来掌握。第（11）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第四章第1节学时2学时同济大学胡一鸣编线性代数辅导及习题精解;3.孙建东等编线性代数知识点与典型1.教学目的：了解n维向量的基本概念，理解线性组合、线性表示、向量组等价的定义；2.教学重点：线性表示和向

37、量组等价的定义、定理；3.教学难点：向量组线性表示、向量组等价的证明。1.教学内容：向量组及其线性组合；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注一、维向量定义1个有次序的数:,m所组成的数组称为维因此维列向量与维行向量(因此维列向量与维行向量(,)总看作ni分量全为实数的向量称为实向量分量为复数的向量称为复向量维向量可写成一行也可写成一列按第二章中的规定分别称为行向量和列向量也就是行矩阵和列矩阵并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算m是两个不同的向量本书中列向量用黑体小写字母,b,等表示行向量则用,b,等表示所讨论的向量在没

38、有指明是行向量还是列向量时都当作列向量几何中“空间”通常是作为点的集合即作为“空间”的元素是点这样的空间叫做点空间我们把3维向量的全体所组成的集合r(,),叫做三维向量空间在点空间取定坐标系以后空间中的点,与3维向量空r,之间有一一对应的关系因此向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间在讨论向量的运算时我们把向量看作有向线段在讨论向量集时则把向量r看作以r为向径的点从而把点的轨迹作为向量集的图形例如点集,d是一个平面(,b,不全为于是向量集r,d也叫做向量空间中的平面并把作为它的图形类似地维向量的全体所组成的集合n,ni叫做维向量空间维向量的集合b(biii叫做维向量空间中的维超平面二、向量组的

39、概念若干个同维数的列向量或同维数的行向量所组成的集合叫做向量组矩阵与向量组的对应一个m矩阵的全体列向量是一个含个m维列向量的向量组它的全体行向量是一个含个维行向量的向量组n()n()n,nmmmn(mmmn)mmmnm个维列向量所组成的向量组:,m构成一个m矩阵m个m维行向量所组成的向量组:,构成一个mm矩阵m又如线性方程的全体解当时是一个含无限多个维列向量的向量组三、向量组的线性组合与线性表示定义2给定向量组:,对于任何一组实数,m表达式mmm称为向量组的一个线性组合,称为这线性组合的系数m给定向量组:,和向量b，如果存在一组数,mm使bmm则向量b是向量组的线性组合这时称向量b能由向量组线

40、性表示向量b能由向量组线性表示，也就是方程组b有解mm定理1向量b能由向量组:,线性表示的充分必要条m件是矩阵(,)的秩等于矩阵(,b)的秩即mm四、向量组的等价性定义3设有两个向量组:,及:b,b,b若B组ml中的每个向量都能由向量组线性表示则称向量组能由向量组线性表示若向量组与向量组能相互表示则称这两个向量组等价把向量组和所构成的矩阵依次记作(,)和m:b,b,bB组能由组线性表示即对每个向量blj(j,l)存在数,jj使jjb,jjjjmmbb,b,b,lmmmll这里矩阵Kml()称为这一线性表示的系数矩阵ij由此可知若Cmnmlln则矩阵C的列向量组能由矩阵的列向量组线性表示为这一表

41、示的系数矩阵设ml(,)Clmn(,)则Cnmnmllnnn(,)(,)bbnlbbbbbbnlblbbb(j,)jjjljl同时C的行向量组能由的行向量组线性表示为这一表示的系矩阵设系矩阵设则Cmmlnmnlmllllmmnmlln(i,m)iiiill设矩阵与行等价即矩阵经初等行变换变成矩阵则的每个行向量都是的行向量组的线性组合即的行向量组能由的行向量组线性表示由于初等变换可逆知矩阵亦可经初等行变换变为从而的行向量组也能由的行向量组线性表示于是的行向量组与的行向量组等价类似可知若矩阵与列等价则的列向量组与的列向量组等价也可移用于线性方程组对方程组的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方

42、程组的一个线性组合若方程组的每个方程都是方程组的线性组合就称方程组能由方程组线性表示这时方程组的解一定是方程组的解若方程组与方程组能相互线性表示就称这两个方程组可互推可互推的线性方程组一定同解按定义3向量组:b,b,b能由向量组:,线性lm表示其涵义是存在矩阵Kml使(b,b,b)(,)K也就lm是矩阵方程(,)(b,b,b)ml有解由上章定理7立即可得定理2向量组:b,b,b能由向量组:,线性表示lm的充分必要条件是矩阵(,)的秩等于矩阵m(,)(,b,b,b)的秩即,ml推论向量组:,与向量组:b,b,b等价的充分mm必要条件是,其中和是向量组和所构成的矩阵证明因为组和组能相互线性表示依定

43、理2知它们等价的充分必要条件是,且,而,即得充分必要条件为,例1设，b证明向量能由向量组,线性表示并求出表示式解：根据定理1要证明矩阵,与,b的秩相等为此把化成行最简形rrrrrrr可见因此向量b能由向量组,线性表示由上列行最简形可得方程,b的通解为从而得表示式b(,)(其中可任意取值例2设，b，bb,证明向量组,与向量组b,b,b等价证明记(,),(b,b,b)根据定理2的推论只要证明,为此把矩阵,化成行阶梯形,rrrr可见,由于矩阵中有不等于的阶子式故又,于是知因此,定理3设向量组:b,b,b能由向量组:,线性表lm示则(b,b,b)(,)lm证明记(,),(b,b,b)ml按定理的条件根

44、据定理2有,而,因此前面我们把定理1与上章定理5对应把定理2与上章定理7对应而定理3可与上章定理8对应事实上按定理3的条件知有矩阵K使从而根据上章定理8即有上述各定理之间的对应其基础是向量组与矩阵的对应从而有下述对应向量组:b,b,b能由向量组:,线性表示lm有矩阵K使方程有解要掌握上述对应关系须注意两个方面一方面是把向量组的关系用矩阵及其运算表达出来另一方面是给矩阵及其运算以几何解释例3.设维向量组:,构成m矩阵(,)mm阶单位矩阵E(,)的列向量叫做维单位坐标向量证n明维单位坐标向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是证明根据定理2向量组e,e,e能由向量组线性表示的n充分必要条件是,E而

45、,EE又矩阵,E含行知,E合起来有,E因此条件,E就是本例用方程的语言可叙述为方程E有解的充分必要条件是本例用矩阵的语言可叙述为对矩阵mnm存在矩阵使E的充分必要条件是nlm对矩阵mn存在矩阵nm使E的充分必要条件是n显然当m时,便是的逆阵故上述结论可看作是逆矩阵概念的推广给定向量组:,和向量b,若存在数,使mmbmm,b.向量不能由向量组，线性表示.也就是说非齐次线性方程组无解.b,因为b，所以就是说非齐次线性方程组b有解.一般地，向量b能由向量组:,m线性表示的充分必b:,b:,mm章定理3，所以有定理1向量b能由向量组线性表示的充要条件是,其中矩阵(,)(,b)mm,.b由此可知，即，因

46、此向量b不能由向量组线性表示.回顾和小结1.n维向量的基本概念2.线性组合、线性表示和向量组等价的定义复习思考题或作业题1.复习思考题：P1099，102.P1082，3，4，6，7实施情况及分析1.通过2小时学习，大部分学员理解了线性组合、线性表示以及向量组等价的定义；第（12）授课时间（）教学章节教材和参考书第四章第2、3节1.线性代数(第4版)同济大学编；学时2学时1.教学目的：理解向量组的线性相关、最大无关组与向量组的秩的概念；2.教学重点：向量组的线性相关性的定义及判断定理，最大无关组的求法；3.教学难点：向量组的线性相关性的定义及判断定理。1.教学内容：向量组线性相关性，向量组的秩

47、；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.()定义给定向量组:,，如果存在不全为零的数m,使mmm则称向量组是线性相关的否则称它线性无关说向量组:,线性相关通常是指m的情形但m定义4也适用于m的情形当m时向量组只含一个向量对于只含一个向量的向量组当时是线性相关的当时是线性无关的对于含个向量,的向量组它线性相关的充分必要条件是,的分量对应成比例其几何意义是两个向量共线个向量线性相关的几何意义是三向量共面向量组:,(m线性相关也就是在向量组中m至少有一个向量能由其余m个向量线性表示这是因为如果向量组线性相关则有不全为0的数,使mmm因为,不全为0不

48、妨设于是便有mmm即能由,线性表示m如果向量组中有某个向量能由其余m个向量线性表示不妨设能由,mm线性表示即有,m使mmm于是mm(m即有非零解即有非零解m向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时这个方程就是多余的这时称方程组(各个方程)是线性相关的当方程组中没有多余方程就称该方程组(各个方程)是线性无关(或线性独立)向量组:,构成矩阵(,)向量组线mm性相关就是齐次线性方程组mm定理向量组:,线性相关的充分必要条件是它m所构成的矩阵(,)的秩小于向量个数m向量组线m性无关的充分必要条件是m例1.试讨论维单位坐标向量组的线性相关性解:维单位

49、坐标向量组构成的矩阵为E(,)nrr是阶单位矩阵rr向量个数故由定理4知此向量组是线性无关的例2.已知试讨论向量组,及向量组,的线性相关性解:对矩阵(,)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵即可同时得出矩阵(,)及,的秩利用定理4即可得出结论,可见(,)故向量组,线性相关同时可见,故向量组,线性无关例,线性无关b，b，b试证向量组b,b,b线性无关证明一设有,使bbb即亦即因为,线性无关故有由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式b,b,b,01故方程组只有零解所以向量组b,b,b线性无关证明二把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式记作设，将代入得。因为矩阵的列向量组线性无关所以可推知又因K知

50、方程只有零解所以矩阵的列向量组b,b,b线性无关证三把已知条件合写成(b,b,b)(,)记作因为K，知K可逆根据上章所述矩阵的性质4知因为的列向量组线性无关根据定理4知从而定理4知的列向量线性无关即b,b,b线性无关本例给出三种证法这三种证法都是常用的证明一的关键步骤是按定义4把证明向量线性无关转化为证明齐次线性只是在叙述并用了矩阵的秩的有关知识还用了定理4从而可以不涉及线性方程而直接证得结论线性相关是向量的一个重要性质下而介绍与之有关的一些简单的结论定理5(1)若向量组:,线性相关则向量组m:,mm也线性相关反之若向量组线性无关则向量组也线性无关(2)m个维向量组成的向量组当维数小于向量个数

51、m时一定线性相关特别地个维向量一定线性相关(3)设向量组:,线性无关而向量组m:,b线性相关则向量b必能由向量组线性表示m且表示式是唯一的证明这些结论都可利用定理4来证明(1)记(,)，(,mmm)有若向量组线性相关则根据定理4m从而m因此根据定理4知向量组线性相关结论(1)是对向量组增加1个向量而言的增加多个向量结论也仍然成立即设向量组是向量组的一部分(这时称组是组的部分组)于是结论(1)可一般地叙述为一个向量组若有线性相关的部分组则该向量组线性相关特别地含零向量的向量组必线性相关一个向量组若线性无关则它的任何部分组都线性无关(2)m个维向量,构成矩阵mnm(,)有mm若m则m故m个向量,线

52、性相m关(3)记(,)，(,b)有因mm组线性无关有m因组线性相关有m所以mm即有m由m根据上章定理4知方程组,bm有唯一解即向量b能由向量组线性表示且表示式是唯一的例4.设向量组,线性相关向量组,线性无关证明(1)能由,线性表示(2)不能由,线性表示证明(1)因,线性无关由定理,线性无关而,线性相关由定理5(3)知能由,线性表示(2)用反证法若能由,线性表示由(1)知能由,线性表示故能由,线性表示与,线性无关矛盾一、最大无关组与向量组的秩定义5设有向量组,如果在中能选出r个向量,L,，满足r（1）向量组：,L,，线性无关,（2）向量组中任意r个向量（如果有r个向量的话）都是线性相关的；那末称

53、是向量组的一个最大线性无关向量组,简称最大无关组。最大无关组所含向量的个数r称为向量组的秩,记为。只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩为一般来说,向量组的最大无关组不是唯一的二、矩阵的秩与向量组秩的关系定理矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行量组的秩.证明设矩阵nm(,)且r并设r阶子式m据定理2可知,所在的r个列向量线性无关.又由r个列向量都线性相关.因此,所在的r列是的列于中所有的r阶子式都为0,再由定理2知,A中的任意r,类似的可证,矩阵的行向量组的秩也等于矩阵的秩例5.求下列向量组的秩和它的一个最大无关组：.解:组成矩阵(,)用初等行变换把变成行阶梯形矩阵.知,所以,向量

54、组,的秩等于3因为,向量组,构成的矩阵经初等行变换可以变成,所以,向量组,的秩为3,因此向量组,是,是向量组,的一个最大无关组。三、最大无关组的等价定义定义设有向量组：,L,，是向量组的一个部分组,且满足（1）向量组线性无关,（2）向量组中的任个向量都能由向量组线性表示；令,得通解：,例6.设齐次线性方程组的全体解向量构成的向量组为,求的秩。解:于是得同解方程组.,则X,于是X,即能由向量组,线性表示。又因为,的四个分量显然不成比例故,线性无关从而,是的最大无关组,R。定理2向量组b,b,b能由向量组,线性表示lm的充要条件是R(,)R(,b,b,b)mml定理若向量组B能由向量组线性表示,则

55、RR。B例7.设向量组B能由向量组线性表示,且它们的秩相等证明向量组与向量组B等价。求矩阵的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。1.向量组的线性相关性定义；回顾和小结2.向量组的线性相关性定理；3.向量组的秩概念；4.向量组的秩的求法;复习思考题或作业题2.复习思考题：若r则有没有r阶的余子式？2.P10913（1），14（2），151.通过学习，学员们初步理解向量组的线性复习思考题或作业题法；2.对向量组的线性相关性的判定方法以及向量组的秩求法方面有待加强。第（13）次课授课时间（）教学章节教材和参考书第四章第7节学时2学时同济大学胡一鸣编线性代数辅导

56、及习题精解;3.孙建东等编线性代数知识点与典型1.教学目的：掌握齐次线性方程组解的性质和基础解系的概念；会求齐次线性方程组的基础解系和通解；掌握非齐次线性方程组解的结构并会求解非齐次线性方程组；2.教学重点：求解齐次及非齐次线性方程组的基础解系和通解；3.教学难点:1.教学内容:线性方程组的解的结构；2.时间安排:2小时；3.教学方法：讲授;4.教学手段:板演与多媒体相结合。基本内容备注若,L若,L,是的解，记称为方程组的解向nn量.齐次方程组的解的性质：，性质1若,则，解.性质2若的解.如果的全体解向量所组成的集合记为，则是一个向量空间.称为齐次方程组的解空间.齐次方程组的解空间的一个基也称

57、为齐次方程组的一个基础解系.具体说，如果,是的一组解向量，且满足n1向量,组线性无关；n2齐次方程组的每个解都可由,线性表示；n那么称,为齐次方程组的一个基础解系.n如果,n都可表为Lnn其中,为任意实数,称上式为齐次方程组的通解.n定理6元齐次线性方程组的解空间的维数为r，即的基础解系含r个解，其中r证明设r，用初等行变换化系数矩阵不妨令为为行最简形矩阵rrrr,rbbbbbbbrrbrrbbbbbbbrrrrrr,rrr,rr对自由未知量,L,分别取值n,bbrbr,b.bbr,r,b.r,r,rr代入的右端依次可得：br,r,r于是得到的r个解:brbrbrrr下面证明解向量组bbrr,

58、rbbrbrbbr,r,rr,r,r,r,rrbrbrbbbbr是的一个基础解系，从而它们也是的一个基础解系.首先，据定理3可知，,nr线性无关.其次证明的任意解都可由,nr线性无关.设设r是的一个解.根据齐次方程组解的性质可知，向量rrrnnr也是的一个解，由于与的后面的r个分量对应相等，因此rrnnr即可由,nr线性表示.这就证明了,nr例1.求下列齐次线性方程组的基础解系与通解.解:对系数矩阵作初等行变换,将其变为行最简形矩阵,得rrrr令,可得,即得基础解系：于是得同解方程组,.,.例2.设,是齐次方程组的一个基础解系，证明,也是这个方程组的一个基础解系,其中数证明根据齐次方程组解的性

59、质可知，,也是齐次方程组的两个解因为,是基础解系，所以向量组,线性无关.因此向量组,也线性无关，于是,是此齐次方程组的两个线性无关的解因为的基础解系含有两个解，因此它的两个线性无关的解,也是基础解系.设非齐次线性方程组b（4）的解也记为向量.非齐次线性方程组的解具有性质：性质3设,都是（4）的解，则是对应的齐次方程组的解.性质4设是（4）的解，是（5）的解，则是（4）的解.若*是（4）的一个解，则（4）的任意一个解都可以表示为，其中是（5）的某个解.由此及性质4可知，非齐次线性方程组（4）的通解为nn其中,L,是（5）的一个基础解系，,L,nn是任意实数.rr取，即得方程组的一个解对应的齐次方

60、程组为，可得基础解系,例3.求解方程组解:用初等行变换把增广矩阵变为行最简形知，所以方程组有解，并得同解方程组方程组的通解为,.也就是,也就是,也可以把方程组,也就是,也就是,得通解为例4.设线性方程组问取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？在有无穷多解时求其通解.解：用初等行变换化增广矩阵为行阶梯形r由此可知1.方程组有唯一解.2.),方程组无解.此时，r此时，r此方程组得通解为,.有同解方程组回顾和小结小结：1.齐次线性方程组解的性质和基础解系的概念.2.计算齐次线性方程组的基础解系和通解.3.非齐次线性方程组解的结构.4.求解非齐次线性方程组.复习思考题或作业题思考题：P11021