高考数学一轮复习教案全集

1、高三理科数学一轮总复习教案全集（配套教材：新课标 人教 A 版）第一章 集合与常用规律用语其次章 函 数第三章 导数及其应用第四章 平面对量第五章 三角函数第六章 数列第七章 不等式第八章 直线和圆的方程第九章 圆锥曲线与方程第十章 立体几何第十一章 算法初步第十二章 排列组合、二项式定理、概率第十三章 统计案例第十四章 推理与证明第十五章 复 数第十六章 几何证明选讲第十七章 坐标系与参数方程第十八章 不等式选讲第十九章 优选法名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 1 页,共 270 页高考导航第一章 集合与常用规律用语考试要求重难点击命题展望1.集合的含义与表示本章重点：1.考

2、查集合本身 的 基 础 知1明白集合的含义、元素与集合的属于关系；识,如集合的2能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或1. 集 合 的 含 义概念,集合间描述法 描述不同的详细问题. 与 表 示 、 集 合的关系判定和2.集合间的基本关系间 的 基 本 关 系运算等；1懂得集合之间包含与相等的含义,能识别给定与基本运算；2.将集合学问集合的子集；2. 命 题 的 必 要与其他学问点2在详细情境中,明白全集与空集的含义. 条 件 、 充 分 条综合,考查集3.集合的基本运算件 与 充 要 条合语言与集合1懂得两个集合的并集与交集的含义,会求两个件 , 对 所 给 命思想的运用；简洁集合的并集与

3、交集；题 进 行 等 价 转3.考查命题的2懂得在给定集合中一个子集的补集的含义,会化. 必要条件、充本章难点：求给定子集的补集；分条件与充要3能使用韦恩 Venn图表达集合的关系及运算. 1. 自 然 语 言 、条件,要求考4.命题及其关系图 形 语 言 、 集生会对所给命1懂得命题的概念；合 语 言 之 间 相题进行等价转2明白“ 如p,就 q” 形式的命题及其逆命题,否互转换；化；命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系；2. 充 分 条 件 、4.要求考生理3懂得必要条件,充分条件与充要条件的意义. 必 要 条 件 的 判解全称量词与5.简洁的规律联结词断；存在量词的意明白规律联结词“

4、 或” 、“ 且” 、“ 非” 的含义. 3. 对 含 有 一 个义,能正确地6.全称量词与存在量词量 词 的 命 题 进对含有一个量1懂得全称量词与存在量词的意义；行否定的懂得 . 词的命题进行2能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 否定 . 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 2 页,共 270 页学问网络1.1 集合及其运算典例精析题型一 集合中元素的性质【例 1】设集合 Aa 1,a3,2a1, a21 ,如 3A ,求实数 a 的值 . 【解析】令 a1 3. a 4,检验合格；令 a3 3. a 0,此时 a 1a2 1,舍去；令 2a1 3. a 1,检验合格；而

5、 a21 3；故所求 a 的值为 1 或 4. 【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.第一确定 3 是集合 A 的元素,但A 中四个元素全是未知的,所以需要争论；而当每一种情形求出 异性检验 a 是否符合要求 . a 的值以后,又需要由元素的互【变式训练 1】如 a、bR,集合 1 ,ab,a 0 ,b a,b ,求 a 和 b 的值 . 【解析】由 1 ,ab,a0 ,b a,b ,a b 0 , a b 0 ,b ,1 b a ,a ab a b 1得 或 明显无解；由得 a 1,b1. 题型二 集合的基本运算【例 2】已知 A x|x2 8x150 ,B x|ax 10 ,如 B.

6、A,求实数 a. 【解析】由已知得 A 3 ,5. 当 a 0 时, B . A；当 a 0 时, B 1 a. 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 3 页,共 270 页要使 B. A ,就1 a 3 或1 a5,即 a1 3或1 5. 综上, a0 或13 或1 5. 【点拨】对方程 ax1,两边除以 x 的系数 a,能不能除,导致 B 是否为空集,是此题分类争论的根源 . 【变式训练 2】2022 江西 如集合 Ax|x| 1,xR ,By|y x2, xR ,就 A B等于 A.x| 1 x1 B.x|x 0 C.x|0 x1 D.【解析】选 C.A 1,1,B0, ,所

7、以 AB0,1. 题型三 集合语言的运用【例 3】已知集合 A2, log2t ,集合 Bx|x2 14x240 ,x,tR,且 A. B. 1对于区间 a,b,定义此区间的“ 长度” 为 ba,如 A 的区间“ 长度” 为 3,试求 t 的值；2某个函数 fx 的值域是 B,且 fx A 的概率不小于0.6,试确定 t 的取值范畴 . 【解析】 1由于 A 的区间“ 长度” 为 3,所以 log2t23,即 log2t 5,所以 t32. 2由 x214x24 0,得 2x12,所以 B2,12 ,所以 B 的区间“ 长度” 为 10. 设 A 的区间“ 长度” 为 y,由于 fx A 的概

8、率不小于 0.6,所以y 100.6,所以 y6,即 log2t26,解得 t28256. 又 A . B,所以 log2t 12,即 t2124 096,所以 t 的取值范畴为 256,4 096 或28, 212. 【变式训练3】设全集U 是实数集 R,M x|x2 4 ,Nx|21 ,就图中阴影部分x1所表示的集合是 A.x| 2 x1 B.x| 2 x2 C.x|1 x2 D.x|x 2 【解析】选 C. 化简得 M x 2 或 x 2 , Nx|1 x3 ,故图中阴影部分为 .RM Nx|1 x2. 总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号, .和. ,.的使用,实质上就

9、是精确把握两者之间是元素与集合,仍是集合与集合的关系 . 2.“ 数形结合” 思想在集合运算中的运用认清集合的本质特点,精确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想 . 1 要坚固把握两个重要工具：韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合就侧重于用韦恩图处理 . 2学会将集合语言转化为代数、几何语言,借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化,以便于问题的解决 . 3.处理集合之间的关系时,是一个不行忽视、但又简洁遗漏的内容,如 A . B,ABA,ABB 等条件中,集合 A 可以是空集,也可以是非空集合,通常必需分类争论 . 名师归纳总结大肚能容,

10、容学习困难之事,学习有成第 4 页,共 270 页命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一 四种命题的写法及真假判定【例 1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判定其真假 . 1如 m,n 都是奇数,就 mn 是奇数；2如 xy 5,就 x3 且 y2. 【解析】 1逆命题：如 mn 是奇数,就 m,n 都是奇数,假命题；否命题：如 m,n 不都是奇数,就 mn 不是奇数,假命题；逆否命题：如 m n 不是奇数,就 m,n 不都是奇数,假命题 . 2逆命题：如 x3 且 y2,就 xy5,真命题；否命题：如 xy 5,就 x 3 或 y 2,真命题；逆否命题：如 x 3 或 y

11、2,就 xy 5,假命题 . 【点拨】写命题的四种形式,关键是找出命题的条件与结论,依据四种命题结构写出所求命题 .判定四种命题真假,要熟识四种命题的相互关系,留意它们之间的相互性 . 【变式训练 1】已知命题“ 如 p,就 q” 为真,就以下命题中肯定为真的是 A.如 p,就 q B.如 q,就 p C.如 q,就 p D.如 q,就 p 【解析】选 B. 题型二 充分必要条件探究【例 2】设 m0,且为常数,已知条件 p：|x2|m,条件 q： |x24|1,如 p 是 q的必要非充分条件,求实数 m 的取值范畴 . 【解析】设集合 Ax|x 2|m x|2 mx2m ,Bx|x2 4|1

12、 x| 3x5或5x3. 由题设有：q. p 且 p 不能推出 q,所以 p. q 且 q 不能推出 p,所以 A. B. 由于 m0,所以 2m,2m. 3,5,故由 2 m5且 2m3. 0 m52,故实数 m 的取值范畴为 0,52. 【点拨】正确化简条件 p 和 q,然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题,借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决 . 【变式训练 2】已知集合 Ax|a 2xa2 ,Bx|x 2 或 x4 ,就 A B.的充要条件是 A.0 a2 B.2a 2 C.0a2 D.0a2 【解析】选 A.由于 A x|a 2xa2 ,B x|

13、x 2 或 x4 ,且 A B.,所以如图,由画出的数轴可知,即 0a2. 题型三 充分必要条件的证明名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 5 页,共 270 页【例 3】设数列 an 的各项都不为零,求证：对任意n N* 且 n2,都有1 a1a21 a2a31n1 成立的充要条件是an1an a1anan 为等差数列 . 【证明】 1充分性 如 an 为等差数列,设其公差为d,就1 a1a21 a2a3 an1an 11 da1 1 a2a2 1 a3 an 1 11 an 1 d 1 a1 1 anan a1 da1ann1 a1an. 2必要性 如1 a1a21 a2a3

14、an1ann1 a1an,就1 a1a21 a2a3 1an 1an1anan1n,a1an1两式相减得1 anan1a1an1n1 a1an . a1nann1an1.于是有 a1n1an 1nan2,由得 nan2nan1nan2 0,所以 an1anan2an1n2. 又由1a1a21a2a32 a1a3. a3a2a2a1,所以 n N*,2an1an2an,故 an 为等差数列 . 【点拨】依据充分必要条件的概念,分别从充分性和必要性两方面进行探求 . 【变式训练 3】设 0 x2,就“xsin2x 1” 是“xsin x 1” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要

15、条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.如 xsin x 1,由于 x0,2 ,所以 xsin x xsin2x ,由此可得 xsin2x 1,即必要性成立 .如 xsin2x 1,由于函数 fx xsin2x 在0, 2 上单调递增,且 2 sin2 22 1,所以存在 x0 0, 2 使得 x0sin2x0 1.又 x0sin x0 x0sin2x0 1,即 x0sin x01,所以存在 x0 0,x0使得 x0sin2x0 1,且 x0sin x0 1,故充分性不成立 . 总结提高1.四种命题的定义和区分,主要在于命题的结论和条件的变化上 . 2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的

16、,所以我们在证明一个命题的真假时,可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有：原命题含有否定词“ 不” 、“ 不能” 、“ 不是” 等；原命题含有“ 全部的” 、“ 任意的” 、“ 至少” 、“ 至多” 等；原命题分类复杂,而逆否命题分类简洁；原命题化简复杂,而逆否命题化简简洁 . 3.p 是 q 的充分条件,即 p. q,相当于分别满意条件 p 和 q 的两个集合 P 与 Q 之间有包含关系： P. Q,即 P Q 或 PQ,必要条件正好相反 .而充要条件 p. q 就相当于 PQ. 4.以下四种说法表达的意义是相同的：命题“ 如 分条件； q 是 p 的必要条件 . 名师

17、归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成p,就 q” 为真； p. q； p 是 q 的充第 6 页,共 270 页1.3 简易规律联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一 全称命题和特称命题的真假判定【例 1】判定以下命题的真假 . 11. xR,都有 x2x12；2. , 使 cos cos cos ；3. x,yN,都有 xyN；4. x0,y0Z,使得 2x0y0 3. 【解析】 1真命题,由于 x2x1x1 224 3 41 2. 2真命题,例如 4, 2,符合题意 . 3假命题,例如 x 1,y5,但 xy 4.N. 4真命题,例如 x00,y03,符合题意 . 【点拨】全称命题

18、是真命题,必需确定对集合中的每一个元素都成立,如是假命题,举反例即可；特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找到一个元素使得命题成立 . 【变式训练 1】已知命题 p：. xR,使 tan x1,命题 q：. xR,x20.就下面结论正确选项 A.命题“p q” 是真命题 B.命题“pq” 是假命题C.命题“pq” 是真命题 D.命题“pq” 是假命题【解析】选 D.先判定命题 p 和 q 的真假,再逐个判定 .简洁知命题 p 是真命题,如 x4,p 是假命题；由于当 x0 时, x20,所以命题 q 是假命题,q 是真命题 .所以“ pq” 是假命题, A 错误；“pq” 是真命题, B

19、错误；“pq” 是假命题, C 错误；“pq” 是假命题, D 正确 . 题型二 含有一个量词的命题的否定【例 2】写出以下命题的否定,并判定其真假 . 11p：. xR,x2x40；2q：全部的正方形都是矩形；3r：. xR,x22x 20；4s：至少有一个实数 x,使 x310. 【解析】 1 p：. xR, x2x140,是假命题 . 2 q：至少存在一个正方形不是矩形,是假命题 . 3 r：. xR,x22x20,是真命题 . 4 s：. xR,x31 0,是假命题 . 【点拨】含有一个量词的命题否定中,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题,一般命题的否定就是直接否定结

20、论即可. p 为. 【变式训练2】已知命题p：. x 1, ,log3x 0,就【解析】 . x01, ,log3x0 0. 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 7 页,共 270 页题型三命题的真假运用xR,rx 为【例 3】如 rx ：sin xcos xm,sx：x2mx 10,假如“ 对任意的假命题” 且“ 对任意的xR,sx为真命题” ,求实数m 的取值范畴 . 【解析】由于由msin xcos x2sinx 4 恒成立,得m2；而由 x2mx1 0 恒成立,得m240,即 2m 2. 依题意, rx 为假命题且 sx为真命题,所以有 m2且 2 m 2,故所求 m 的

21、取值范畴为2m2. 【点拨】先将满意命题 p、q 的 m 的取值集合 A、B 分别求出,然后由 rx 为假命题 取 A的补集 ,sx为真命题同时成立 取交集 即得 . 【变式训练 3】设 M 是由满意以下性质的函数 fx 构成的集合：在定义域内存在 x0,使得 fx0 1fx0 f1成立 .已知以下函数：fx 1 x； fx 2x； fx lgx2 2；fx cos x,其中属于集合 M 的函数是 写出全部满意要求的函数的序号 . 【解析】 .对于,方程x1 11 x1,明显无实数解；对于,由方程 2x1 2x2,解得 x1；对于,方程 lgx 122 lgx2 2lg 3,明显也无实数解；对

22、于,方程 cos x 1cos xcos ,即 cos x1 2,明显存在 x 使等式成立 .故填 . 总结提高1.同一个全称命题,特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以敏捷挑选 . 2.命题的否定,肯定要留意与否命题的区分：全称命题的否定,先要将它变成特称命题,然后将结论加以否定；反过来,对特称命题的否定,先将它变成全称命题,然后对结论加以否定 .而命题的否命题,就是将原命题中的条件否定当条件,结论否定当结论构成一个新的,即否命题. 其次章函数高考导航考试要求如图重难点击命题展望1.明白构成函数的三要素,会求一些简洁函数的定义域本章重点：高考对函和值域；明白映射

23、的概念. 1.函数的概数的考查,常2.在实际生活中,会依据不同的需要挑选恰当的方法以挑选题和填念及其三要素；象法、列表法、解析法表示函数 . 2.函数的单调性、空题来考查函3.明白简洁的分段函数,并能简洁运用. 数的概念和一奇偶性及其几何意4.懂得函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合义；些基本初等函详细函数,明白函数奇偶性的含义. 3.函数的最大小 数的图象和性5.会运用函数的图象懂得和争论函数的性质. 质,解答题就值；6.懂得有理指数幂的含义,明白实数指数幂的意义,把握幂4.指数函数与对数往往不是简洁的运算 . 函 数 的 概 念 和 性地考查概念、名师归纳总结大肚能容,容学习困难

24、之事,学习有成第 8 页,共 270 页7.懂得指数函数的概念及其单调性,把握指数函数通过的特质；公式和法就的殊点 . 5.函数的图象及其应用,而是常8.懂得对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般与导数、不等变换；对数化成自然对数或常用对数；明白对数在简化运算中的6.函数的零点与方式、数列、三作用 . 程 的 根 之 间 的 关角函数、解析9.懂得对数函数的概念及其单调性,把握对数函数通过的特系；几何等学问及殊点 . 7.函数模型的建立实际问题结合10.明白指数函数yax 与对数函数ylogax a0 且 a 1起来进行综合及其应用 . 本章难点：考查,并渗透互为反函数 . 11.明白

25、幂函数的概念,结合函数yx, yx2, y x3 , 1. 函 数 概 念 的 理数 学 思 想 方11解；法,突出考查2.函数单调性的判函数与方程、yx, yx 的图象,明白它们的变化情形. 断；数形结合、分12.结合二次函数的图象,明白函数的零点与方程的根的联3.函数图象的变换类与整合、化系,判定一元二次方程根的存在性和根的个数. 及其应用；归与转化等数13.依据详细函数图象,能够用二分法求相应方程的近似解. 4.指数函数与对数学思想方法 . 14.明白指数函数、对数函数以及幂函数的增长特点；知道函数概念的懂得及直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含 其性质运用；义. 5.争论

26、二次函数的15.明白指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会零点与一元二次方生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 程的根的关系；6.函数模型的建立 及求解 . 学问网络函数的概念及表示法名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 9 页,共 270 页典例精析 题型一 求函数的解析式【例 1】 1已知 fx 1x2x1,求 f x 的表达式；2已知 fx 2f x3x2 5x3,求 f x 的表达式 . 【解析】 1设 x1t,就 xt1,代入得f x t12t11 t2t1,所以 f x x2x 1. 2由 f x 2f x3x25x3,x 换成 x,得 f x2 f x 3x25

27、x3,解得 f x x25x1. 【点拨】已知fx ,gx ,求复合函数fgx 的解析式,直接把fx 中的 x 换成 gx即可,已知 fgx ,求 f x 的解析式,常常是设 成 x. 1x1x2gxt,或者在 fgx 中凑出 gx,再把 gx 换【变式训练1】已知 f 1x1x2,求 f x 的解析式 . 12t2,所以 f t 11t21 1t t1x1t12【解析】设1xt,就 x1t1tt2x的定义域；所以 f x 1x2x 1. 题型二求函数的定义域lgx22x 【例 2】 1求函数 y9x22已知 fx 的定义域为 2,4,求 fx2 3x的定义域 . 【解析】 1要使函数有意义,

28、就只需要x22x,0 x2 或x0 ,3,02,3. 92 x0,即3x3 ,解得 3x0 或 2x3,故所求的定义域为2依题意,只需2x23x4,解得 1x1 或 2x4,故 fx2 3x的定义域为 1,12,4. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范畴,往往列不等式 组求解 .对于抽象函数 fgx 的定义域要把 gx当作 fx 中的 x 来对待 . 【变式训练 2】已知函数 f 2x 的定义域为 1,1,求 flog2x 的定义域 . 【解析】由于 yf2x 的定义域为 1,1,即 1x1 时 2 12x 21,所以 yfx 的定义域为 1 2,2.令1 2log

29、2x 2,所以 2x224,故所求 y flog2x 的定义域为 2,4. 题型三 由实际问题给出的函数【例 3】 用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架如图 ,如矩形底部长为 2x,求此框围成的面积y 与 x 的函数关系式,并指出其定义域. 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 10 页,共 270 页【解析】由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,而矩形的长 AB 2x,lx,设宽为 a,就有 2x2a xl,即 a22x x,半圆的半径为所以 y2 xl 2 x x2x 2 2 x2lx. 22由实际意义知l 2 xx0,因 x0,解得

30、 0 x 2l. 2即函数 y 2 2 x2lx 的定义域是 x|0 x 2l. 【点拨】求由实际问题确定的定义域时,除考虑函数的解析式有意义外,仍要考虑使实际问题有意义 .如此题使函数解析式有意义的 x 的取值范畴是 xR,但实际问题的意义是矩形的边长为正数,而边长是用变量 x 表示的,这就是实际问题对变量的制约 . 【变式训练 3】一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E” 形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为 x、 y,剪去部分的面积为 20,如 2x10,记 yfx ,就 yfx 的图象是 【解析】由题意得 y10 x 2x10,选 A. 题型四分段函数fx x3x0,【

31、例 4】 已知函数2 x1x0.1求 f1 f 1的值；2如 fa1,求 a 的值；3如 fx 2,求 x 的取值范畴 . 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 11 页,共 270 页【解析】 1由题意,得 f1 2,f12,所以 f1 f 14. 2当 a0 时, faa31,解得 a 2；当 a0 时, faa2 11,解得 a0. 所以 a 2 或 a0. 3当 x0 时, fx x 32,解得 1x0；当 x0 时, fx x21 2,解得 x1. 所以 x 的取值范畴是1 x0 或 x1. 【点拨】分段函数中,x 在不同的范畴内取值时,其对应的函数关系式不同 .因此,分

32、段函数往往需要分段处理 . | lg x |, 0 x 10 ,1 x 6 , x 10 .【变式训练 4】2022 全国新课标 已知函数 fx 2 如 a,b,c 互不相等,且 fa fbfc ,就 abc 的取值范畴是 A.1,10 B.5,6 C.10,12 D.20,24 【解析】不妨设 abc,由 fafb fc及 fx 图象知1 10a1b 10c12,所以lg alg b1 2c 6,所以 ab1,所以 abc 的范畴为 10,12,应选 C. 总结提高1.在函数三要素中,定义域是灵魂,对应法就是核心,由于值域由定义域和对应法就确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法就均相同时才

33、表示同一个函数,而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件 . 2.如一个函数在其定义域不同的子集上,解析式不同,就可用分段函数的形式表示 . 3.函数的三种表示法各有利弊,一般情形下,争论函数要求出函数的解析式,通过解析式来解题 .求函数解析式的方法有：配方法、观看法、换元法和待定系数法等 . 2.2 函数的单调性典例精析题型一 函数单调性的判定和证明【例 1】争论函数 fx ax 1x2 a1 2在2, 上的单调性 . 【解析】设 x1, x2 为区间 2, 上的任意两个数且 x1x2,就 fx1 fx2 ax11ax21x1x22a1,x12 x22 x12x22由于 x12, ,x2

34、 2, ,且 x1x2,所以 x1x20,x120,x220. 所以当 a1 2时, 12a0,fx1 fx2 ,函数 fx 在2, 上为减函数；当 a1 2时, 12a0,fx1 fx2 ,名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 12 页,共 270 页函数 fx 在2, 上是增函数 . 【点拨】运用定义判定函数的单调性,必需留意 题可以利用导数来判定 . x1,x2 在给定区间内的任意性,另外本【变式训练 1】已知函数 fx 满意 f xf x,且当 x0, 时, fx xcos x,就 f2 ,f3 ,f4 的大小关系是 A. f 2 f 3 f 4 B. f 2 f 4 f

35、3 C. f 4 f 3 f 2 D. f 3 f 4 f 2 【解析】 B. 题型二 函数单调区间的求法【例 2】试求出以下函数的单调区间 . 1y|x1|；2yx2 2|x1|；2x 4 x 33y2 . x ,1 x ,1【解析】 1y|x1|1 x , x 1 .所以此函数的单调递增区间是 1, ,单调递减区间是 , 1. 2x 2 x 2 , x ,12x 2 x 2 , x 1 .2yx2 2|x1|所以此函数的单调递增区间是 1, ,单调递减区间是 , 1. 3由于 t x24x 3 的单调递增区间是 , 2,单调递减区间是 2, ,又底数大于 1,所以此函数的单调递增区间是 ,

36、 2,单调递减区间是 2, . 【点拨】函数的单调区间,往往需要借助函数图象和有关结论,才能求解出 . 【变式训练 2】在实数的原有运算法就中,我们补充定义新运算“” 如下：当 ab时, a ba；当 ab 时, a bb2.就函数 f x 1 xx 2 x,x 2,2的最大值是 A. 1 B.6 C.1 D.12 【解析】 B. 题型三函数单调性的应用x1 x2【例3】已知函数fx 的定义域为 1,1,且对于任意的x1,x2 1,1,当时,都有fx1 fx2 x1x20. 1试判定函数fx 在区间 1,1上是增函数仍是减函数,并证明你的结论；2解不等式 f5x 1f6x2. 【解析】 1当

37、x1,x21,1,且 x1x2 时,由fx1 fx2 x1x2 所以函数 fx 在区间 1,1上是增函数 . 2由于 fx 在 1,1上是增函数 .所以由 f5x 1f6x2 知,名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成0,得 fx1 fx2 ,第 13 页,共 270 页所以 0 x1 3,所求不等式的解集为 x|0 x1 3. 【点拨】抽象函数的单调性往往是依据定义去判定,利用函数的单调性解题时,简洁犯的错误是忽视函数的定义域. xR 都有 fx 6fx f3 成【变式训练3】已知函数yfx 是 R 上的偶函数,对于立,当 x1,x2 0,3 ,且 x1 x2 时,都有fx1 fx2

38、 x1x2 0,给出以下命题：f3 0；直线 x 6 是函数 yfx 的图象的一条对称轴；函数. yfx 在 9,6上为增函数；函数y fx 在9,9上有四个零点 . 其中全部正确命题的序号为把全部正确命题的序号都填上【解析】. 总结提高1.函数的单调区间是其定义域的子集,因此,争论函数的单调性,必需先确定函数的定义域. 2.函数的单调性可以借助函数图象来争论,增函数的图象自左向右是上升曲线,减函数的图象自左向右是下降曲线 . 3.导数是解决函数单调性问题的有力工具 . 4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等,既是一种方法,也是一种技巧,应加强函数单调性的应用,

39、提高解题技巧. . 5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性,它仅仅是函数的局部性质2.3函数的奇偶性典例精析题型一 函数奇偶性的判定【例 1】判定以下函数的奇偶性 . 1fx lg1x2；|x22|22x x x 0 ,2x x x 0 .2fx 21 x ,02【解析】 1由 | x 2 | 2 0 得定义域为 1,00,1,这时 fx x2 22 lg1x2,由于 f xlg1 x2lg1x2fx ,所以 fx 为偶函数 . x2 x2名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 14 页,共 270 页2当 x0 时, x0,就 fx x2 x x2x fx ,当 x0 时, x 0,

40、就 f x x2x x2x fx ,所以对任意 x, 00, 都有 f x fx ,故 fx 为奇函数 . 【点拨】判定函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域是否关于原点对称,再分析fx与 fx 的关系,必要时可对函数的解析式进行化简变形. 3x的定义域均为R,就【变式训练1】2022 广东 如函数fx 3x3x与 gx3x A. f x 与 gx均为偶函数 C. f x 与 gx 均为奇函数【解析】 B. B. f x 为偶函数, gx 为奇函数 D. f x 为奇函数, gx 为偶函数题型二 由奇偶性的条件求函数的解析式xm【例 2】如函数 fx x2 nx1是定义在 1,1上的奇函数,求

41、fx 的解析式 . x m【解析】由于函数 fx 是定义在 1,1上的奇函数,x2nx1所以 f0 0,从而得 m0. 又 f1 2f 1 20,解得 n0. 所以 fx x211x 1. x2x b【变式训练 2】已知定义域为 R 的函数 fx 是奇函数,求 a,b 的值 . 2x1ax1 2【解析】由于 fx 是奇函数,所以 f0 0,即b1a20,解得 b1,所以 fx a 2 x 1. 1又由 f1 f 1,所以1212,解得 a2. 故 a2,b1. a4 a1题型三 函数奇偶性的应用【例 3】设函数 fx 的定义域为 R,对于任意实数 x,y 都有 fx yfx fy ,当 x0时

42、, fx 0 且 f2 6. 1求证：函数 fx 为奇函数；2求证：函数 fx 在 R 上是增函数；3在区间 4,4上,求 fx 的最值 . 【解析】 1证明：令 xy 0,得 f0 f0 f0 ,所以 f0 0,令 y x,有 f0 fx fx,所以 f x fx ,所以函数 fx 为奇函数 . 2证明：设 x1,x2R,且 x1x2,就 fx2 fx1 fx2 f x1fx2 x1,又 x0 时, fx 0,所以 fx2 fx1 fx2 x10,即 fx2 fx1 ,所以函数 fx 在 R 上是增函数 . 3由于函数 fx 在 R 上是增函数,所以 fx 在区间 4,4上也是增函数,所以函

43、数 fx 的最大值为f4 ,最小值为f 4,由于 f2 6,所以 f4 f2 f2 12,名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 15 页,共 270 页又 fx 为奇函数,所以f 4 f4 12,. 故函数 fx 在区间 4,4上的最大值为12,最小值为 12. 【点拨】函数的最值问题,可先通过判定函数的奇偶性、单调性,再求区间上的最值1 2x,x,0【变式训练3】定义在 R 上的函数fx 满意 fx fx1fx2 ,x0,就 f 1,f33 . 【解析】 4； 2. 总结提高1.判定函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域是否关于原点对称,再看fx与 fx 的 fx fx 1 fx

44、0关系,必要时可对函数解析式进行化简变形. 2.判定函数的奇偶性时,有时可通过其等价形式：f x fx 0 或进行处理 . 3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题,要留意数形结合求解 . 2.4 二次函数典例精析题型一求二次函数的解析式x 2,在 y 轴上的截距为1,在 x【例 1】已知二次函数y fx 的图象的对称轴方程为轴上截得的线段长为2 2,求 fx 的解析式 . 【解析】设fx ax2bxc a 0,由已知有解得 a1 2,b2,c1,所以 fx 1 2x22x1. 【点拨】求二次函数的解析式,要依据已知条件挑选恰当的形式,三种形式可以相互转化,如二次函数图象与x 轴相交,就两点间的

45、距离为|x1x2|b24ac |a| . x 2 对称,【变式训练1】已知二次函数yx2bxc 的图象过点Ac,0 ,且关于直线就这个二次函数的解析式是. 【解析】由已知xc 为它的一个根,故另一根为1. 所以 1 bc0,又b 22. b 4,所以 c3. 所以 fx x24x3. 题型二 二次函数的最值【例 2】已知二次函数 fx 的二次项系数为 a,且不等式 fx 2x 的解集为 1,3. 1如方程 fx 6a0 有两个相等实根,求 fx 的解析式；2如 fx 的最大值为正数,求 a 的取值范畴 . 【解析】 1由于 fx 2x0 的解集为 1,3. 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事

46、,学习有成第 16 页,共 270 页所以 fx ax1x 32xax224ax3a.由 fx 6a0. ax224ax 9a0,由知, 24a24a 9a0. 5a24a 10,所以 a1 或 a1 5. 由于 a 0,所以 a1 5,代入得 fx 1 5x265x35. 12a a24a12由于 fx ax221 2ax3aaxa 2a,又 a0,可得 fxmax a24a1a . 2a 4 a 1,0a由 a 0 . a 23或 23a0. 【点拨】 1利用 0；2利用配方法 . 【变式训练2】已知二次函数yx22x3 在区间 0,m 上有最大值3 和最小值 2,就 m的取值范畴是. 【

47、解析】 1,2. 题型三 二次函数在方程、不等式中的综合应用【例 3】设函数 fx ax2bxc a 0,x1x2,fx1 fx2 ,对于方程 fx 1 2 fx1fx2 ,求证：1方程在区间 x1,x2 内必有一解；2设方程在区间 x1,x2内的根为 m,如 x1,m1 2,x2 成等差数列,就b 2am2. 【证明】 1令 gxfx 1 2 fx1 fx2 ,就 gx1gx2 1 2 fx1 fx2 2 fx2 fx1 1 4 fx1 fx22 0,所以方程 gx0 在区间 x1,x2内必有一解 . 2依题意 2m1x1x2,即 2mx1 x21,又 fm 1 2 fx1 fx2 ,即 2

48、am2bmcax21bx1cax22bx2 c. 整理得 a2m2x21x22b2m x1x20,a2m2x21 x22b0,m2. 所以b 2am2x21x22【点拨】二次方程 ax2 bxc0 的根的分布问题,一般情形下,需要从三个方面考虑：判别式；区间端点对应二次函数的函数值的正负；相应二次函数的对称轴 xb 2a 与区间的位置关系 . 是 fx 0 的两根 ,就【变式训练 3】已知 fx xaxb2a b, , 实数 , ,a,b 大小关系为 A. ab B.a b 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 17 页,共 270 页C.a b D. a b 【解析】 A. 总结

49、提高1.二次函数的表达式有多种形式,形式的挑选要依据题目的已知条件和所求结论的特点而 定. 2.利用二次函数的学问解题始终要把握二次函数图象的关键要素：开口方向；对称 轴；与坐标轴的交点 . 3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,相互渗透,解题时要注 意三者的相互转化,重视用函数思想处理方程和不等式问题 . 2.5 指数与指数函数典例精析 题型一 指数及其运算【例 1】运算：141 04ab131；aab1ab1的值 . . 1 2a3 b32220.02711 7227 91 2 10. 3213【解析】 1原式4242a2a2b22 b 1 25. 100333112

50、原式 273121 7 22521 1 000910 3495 31 45. 【点拨】进行指数的乘除运算时,一般先化成相同的底数. 11【变式训练1】已知 a,b 是方程 9x282x 90 的两根,求3b3a3b3【解析】 ab82 9, ab1. 原式 2a1112. 3b 2ab3题型二指数函数性质的应用【例 2】已知函数fx 2x1 2x1,其中 x R. 1试判定函数fx 的奇偶性；2证明 fx 是 R 上的增函数 . 【解析】 1由于函数 fx 的定义域为 x R,名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 18 页,共 270 页且 f x2x11 2x 1 2x fx ,

51、 所以 fx 为 R 上的奇函数 . 2x12证明：设 x1,x2R,且 x1x2,就 fx1 fx2 2x 112x21=2x 1112x 2110,x 12x212x 1 2x 221所以 fx 是 R 上的增函数 . 【点拨】在争论指数函数的性质或利用其性质解题时,要特殊留意底数是大于 1 仍是小于1,假如不能确定底数的范畴应分类争论 . 【变式训练 2】函数 yex ex ex ex的图象大致为 【解析】 A. 题型三 指数函数的综合应用【例 3】已知函数 fx 2x1 2|x|. 1如 fx 2,求 x 的值；2如 2tf2t mft 0 对于 t 1,2 恒成立,求实数m 的取值范

52、畴 . 1 2t0,2x1,x0,2x【解析】 fx 2x1 2|x|,0 x0.1由于 fx 2,所以 2x1 2x2. 由于 x 0,所以 2x12,解得 xlog21 2. 2由于 t1,2 ,所以 2tf2t mft 0 可化为 2t22t 1 22tm2t即 m22t 1 24t1. 由于 22t10,所以上式可化为 m 22t1. 又由于 22t1的最大值为 5,所以 m 5. 故使得 2tf2t mft 0 对于 t1,2 恒成立的实数名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成m 的取值范畴是 5, . 【变式训练 3】已知函数 fx |2x1|,abc,且 fa fc fb

53、 ,就以下结论中肯定成立的是 A.a0,b 0,c0 B.a0,b0,c0 C.2a2c D.2a2c 2 【解析】 D. 总结提高1.增强分类争论的意识,对于根式 n a的意义及其性质要分清 n 是奇数,仍是偶数,指数函数的图象和性质与底数 a 的取值范畴有关,争论与指数函数有关的问题时,要留意分 a1 与 0a1 两种情形争论 . 2.深化概念的懂得与应用,对于分数指数幂中幂指数为负数的情形,要留意底数 a 的取值限制 . 3.把握指数函数的图象与性质,能利用数形结合的思想解决有关问题 . 2.6 对数与对数函数典例精析题型一 对数的运算【例 1】运算以下各题：12lg22lg2 lg 5

54、lg22lg 21；2lg 2 lg 5lg 8. lg 50lg 40【解析】1原式 2 1 2lg 22 1 2lg 2lg 5 lg2 12 . 1 2lg 2lg 2 lg 511 2lg 2 1. 2原式2 5 lg 8lg 50 40lg5 41. lg5 4【点拨】运用对数的运算性质以及式子的恒等变形. 【变式训练1】已知 log89a,log25 b,用 a,b 表示 lg 3 为2lg3a,3lg2【解析】由1lg2b. lg 33a 22b. lg2题型二对数函数性质的应用【例 2】设函数 fx logax2 a0,且 a 1. 1求函数 fx 经过的定点坐标；2争论函数

55、fx 的单调性；3解不等式 log3x 21. 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 20 页,共 270 页【解析】 1当 x3 时, loga10 恒成立,所以函数 fx 所经过的定点坐标为 3,0. 2当 a1 时,函数 fx 在区间 2, 上为单调递增函数；当 0a1 时,函数 fx 在区间 2, 上为单调递减函数 . x 2 ,03不等式 log3x 2 1 等价于不等式组 x 2 ,3解得 2 x5,所以原不等式的解集为 2,5. a 2 x ,1 x ,1【变式训练 2】已知函数 fx log a x , x 1 如 fx 在, 上单调递增,就实数 a 的取值范畴为

56、. 【解析】要保证函数 fx 在, 上单调递增,就分段函数应当在各自定义域内分别单调递增 .如 fx a2x1 在区间 , 1上单调递增,就a20,即 a2.如 fxlogax 在区间 1, 上单调递增,就 a1.另外要保证函数 fx 在, 上单调递增仍必需满意 a2 11loga1 0,即 a3.故实数 a 的取值范畴为 2a3. 题型三 对数函数综合应用【例 3】已知函数 fx loga3ax. 1当 x0,2 时,函数 fx 恒有意义,求实数 a 的取值范畴；2是否存在这样的实数 a,使得函数 fx 在区间 1,2 上为减函数,并且最大值为 1？假如存在,试求出 a 的值；假如不存在,请

57、说明理由 . 【解析】 1由题设知 3ax0 对一切 x0,2 恒成立, a0,且 a 1. 由于 a 0,所以 gx3ax 在0,2 上为减函数,从而 g232a0,所以 a3,2所以 a 的取值范畴为 0,11,3 2. . 2假设存在这样的实数a,由题设知f1 1,即 loga3a1,所以 a3,2此时 fx log333 2x. 2当 x2 时, fx 没有意义,故这样的实数不存在【点拨】这是一道探干脆问题,留意函数、方程、不等式之间的相互转化,存在性问题的处理,一般是先假设存在,再结合已知条件进行转化求解,如推出冲突,就不存在,反之,存在性成立 . 【变式训练 3】给出以下四个命题：

58、函数 fx ln x 2 x 在区间 1,e上存在零点；如 fx00,就函数 yfx 在 xx0 处取得极值；. log1如 m 1,就函数 y2x22x m的值域为 R；“a1” 是“ 函数fx aex 在定义域上是奇函数” 的充分不必要条件1aex就其中正确的序号是把全部正确命题的序号都填上. 名师归纳总结大肚能容,容学习困难之事,学习有成第 21 页,共 270 页【解析】由于 f1ln 121 10, feln e 2ee 10,故函数 fx 在区间1,e上存在零点,命题正确；对于函数 fx x3 来说, fx3x2,明显有 f00,但 fx 在定义域上为增函数,故 x0 不是函数的极

59、值点,命题错误；令 t x22xm,如 m 1,就 224 1 m44m0,所以 tx22xm 可以取遍全部的正数,所以函数ylog 12 x2 2x m的值域为 R,命题正确；由 f x fx ,可得 aex1aexaex,解得 a 1,即函数 fx 为奇函数的充要条件为 a 1,故“ a1” 是“ 函数1aexaexfx 1aex为奇函数” 的充分不必要条件,所以命题正确 .综上所述,正确的命题为 . 总结提高1.娴熟运用对数的运算公式是解决对数运算的基础和前提,运用对数的运算法就,要留意各字母的取值范畴,同时,不要将积、商、幂、方根的对数与对数的积、商、幂、方根混淆起来 . 2.争论对数

60、问题时,要尽量化成同底,另外,争论对数问题时要留意对数的底数与真数的限制条件 . 3.对数函数的重要性质是单调性,比较大小是单调性的重要运用,在比较时,通常利用函数的单调性或借助于中间量1,0,1 来比较,但要留意分类争论. 4.利用对数函数的概念、图象、性质争论一些函数的应用问题是常考题型,应留意数形结合、分类争论、化归等数学思想方法的敏捷运用 . 2.7 幂函数与函数的图象典例精析题型一 幂函数的图象与性质【例 1】点 2,2在幂函数 fx 的图象上,点 2,1 4在幂函数 gx的图象上 . 1求 fx 、gx的解析式；2问当 x 为何值时,有：gx fx ； fx gx； fx gx.