2022届北京市首师大附中数学高二第二学期期末达标检测试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1抛物线上的点到定点和定直线的距离相等，则的值等于（ ）ABC16D2设，若直线与圆相切，则的取值范围是（ ）ABCD3已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2Af(x)=x2Cf(x)=x24的展开式中的系数是A20B5C5D205对于函教f(x)=ex(x-1)A1是极大值点B有1个极小值C1是极小值点D有2个极大值6椭圆的点到直线的距离的最小值为（ ）ABCD07已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为（ ）ABCD8函数在上的最大值为（ ）ABCD9命题“”的否

3、定是（ ）ABCD10将5个不同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少1个球，至多2个球，则不同的放法种数有（）A30种B90种C180种D270种11对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则 A2016B2017C2018D201912由直线，曲线以及轴所围成的封闭图形的面积是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是_14设随机变量的概率分布列为P(=k)=c

4、k+1，k=0，115有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1，现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得长方体高的最大值为_；16如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为_ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知在上有意义，单调递增且满足.(1)求证：；(2)求的值；(3)求不等式的的解集18（12分）如图，四棱锥中，底面是梯形，底面点是的中点()证明：；()若且与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值19（12分）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备

5、自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：年份(年)12345维护费(万元)1.11.51.82.22.4（）求关于的线性回归方程；（）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由. (参考公式：.)20（12分）设，函数.（1）若，极大值；（2）若无零点，求实数的取值范围；（3）若有两个相异零点，求证：.21（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.22（10分）

6、已知抛物线C：y24x和直线l：x1.(1)若曲线C上存在一点Q，它到l的距离与到坐标原点O的距离相等，求Q点的坐标；(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线，切点记为A，B，求证：直线AB过定点.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，进而根据定点坐标求得【详解】根据抛物线定义可知，定点为抛物线的焦点，且，解得：.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对概念的理解，属于容易题2、C【解析】分析：由直线与圆相切，得，从而，进而，由此能求出的取值范围.详解：，直线与

7、圆相切，圆心到直线的距离，解得，的取值范围是.故选C.点睛：本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.3、A【解析】先对函数f(x)求导，然后将x=1代入导函数中，可求出f(1)=-2，从而得到f(x)【详解】由题意，f(x)=2x+2f(1)，则f故答案为A.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.4、A【解析】利用二项式展开式的通项公式，求解所求项的系数即可【详解】由二项式定理可知：；要求的展开式中的系数，所以令，则；所以的展开式中的

8、系数是是-20；故答案选A【点睛】本题考查二项式定理的通项公式的应用，属于基础题。5、A【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点,再逐项判断即可【详解】f当f当f故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题6、D【解析】写设椭圆1上的点为M（3cos，2sin），利用点到直线的距离公式，结合三角函数性质能求出椭圆1上的点到直线x+2y41的距离取最小值【详解】解：设椭圆1上的点为M（3cos，2sin），则点M到直线x+2y41的距离：d|5sin（+）4|，当sin（+）时，椭圆1上的点到直线x+2y41的距离取最小值dmin1故选D【

9、点睛】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆的参数方程以及点到直线的距离、三角函数求最值，属于中档题7、A【解析】分析：通过求出，再利用等差数列的求和公式即可求得答案.详解：当时，有；当时，有；当时，有；.， .故答案为：A.点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题.8、A【解析】对函数求导，利用导数分析函数的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数的最大值【详解】，令，由于，得.当时，；当时，因此，函数在处取得最小值，在或处取得最大值，因此，故选A【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的基本步骤如下：（1）求导，

10、利用导数分析函数在闭区间上的单调性；（2）求出函数的极值；（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值9、B【解析】根据“全称命题”的否定一定是“特称命题”判断.【详解】“全称命题”的否定一定是“特称命题”，命题“”的否定是，故选：B.【点睛】本题主要考查命题的否定，还考查理解辨析的能力，属于基础题.10、B【解析】对三个盒子进行编号1，2，3，则每个盒子装球的情况可分为三类：1，2，2；2，1，2；2，2，1；且每一类的放法种数相同.【详解】先考虑第一类，即3个盒子放球的个数为：1，2，2，则第1个盒子有：，第2个盒子有：，第3个盒子有：，第一类放法种数为，不同的放法种

11、数有.【点睛】考查分类与分步计算原理，明确分类的标准是解决问题的突破口.11、C【解析】分析：对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，利用倒序相加法即可得到结论.详解：函数，函数的导数，由得，解得，而，故函数关于点对称，故设，则，两式相加得，则，故选C.点睛：本题主要考查初等函数的求导公式，正确理解“拐点”并利用“拐点”求出函数的对称中心是解决本题的关键，求和的过程中使用了倒序相加法，属于难题.12、C【解析】作出图象，确定被积函数以及被积区间，再利用定积分公式可计算出所围成封闭图形的面积。【详解】如下图所示， 联立，得，则直线与曲线交于点，结合图形可知，所求区域的面积为 ，故选：C。【点

12、睛】本题考查利用定积分求曲边多边形区域的面积，确定被积函数与被积区间是解这类问题的关键，考查计算能力与数形结合思想，属于中等题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解析】利用分步计数原理，连续拋掷同一颗骰子3次，则总共有：666=216种情况，再列出满足条件的所有基本事件，利用古典概型的计算公式计算可得概率.【详解】每一次拋掷骰子都有1，2，3，4，5，6，六种情况，由分步计数原理：连续抛掷同一颗骰子3次，则总共有：666=216种情况，则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即：(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，(2,

13、1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，(6,1,2)，(6,2,1)，共25个基本事件，所以.【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型概率计算，计数过程中如果前两个数固定，则第三个数也相应固定.14、【解析】所有事件发生的概率之和为1，即P（=0）+P（=1）+P（=2）+P（=3）=1，c=1225， P（=k）=1225(k+1)，P（=2）=故答案为

14、15、；【解析】由体积公式得，长宽高变化后体积公式为，这样可用表示，然后结合基本不等式求得最值【详解】依题意，设新长方体高为，则，当且仅当时等号成立的最大值为故答案为【点睛】本题考查长方体体积，考查用基本不等式求最值，属于中档题型16、【解析】结合正方体的平面展开图，作出正方体的直观图，可知是正三角形，从而可知直线与所成角为，即可得到答案.【详解】作出正方体的直观图，连接，易证三角形是正三角形，而， 故直线与所成角为，则直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了正方体的结构特征，考查了异面直线的夹角的求法，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1)

15、证明见解析；(2)0；(3) .【解析】分析：(1)令y=x，得，（2）令y=x=1，得的值；（3）先探求，再根据函数单调性转化不等式组，解得结果.详解：(1)(大前提)2)(结论)(2)12)2，(小前提).(结论)(3)，(小前提)且函数在(0，)上单调递增，(大前提)解得(结论)点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.18、（）见解析（）【解析】（I）根据已知条件得到，由此证得平面.从而证得,结合，证得平面，进而证得.（II）作出与平面所成的角，通过线面角的大小计算出有关

16、的边长，作出二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正弦值.【详解】（）证明：因为平面，平面，所以又由是梯形，知，而，平面，平面，所以平面因为平面，所以又，点是的中点，所以因为，平面，平面，所以平面因为平面，所以（）解：如图所示，过作于，连接，因为平面，平面，所以，则平面，于是平面平面，它们的交线是过作于，则平面，即在平面上的射影是，所以与平面所成的角是由题意，在直角三角形中，于是在直角三角形中，所以过作于，连接，由三垂线定理，得，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，在直角三角形中，所以二面角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的应用，考查面面角的求

17、法，属于中档题.19、（）; （）见解析.【解析】（）先算出，再由公式分别算，和线性回归方程。（）分别算出五年与十年的每台设备的平均费用，费用越小越好。【详解】(1) ， 所以回归方程为.（）若满五年换一次设备，则由（）知每年每台设备的平均费用为：（万元），若满十年换一次设备，则由（）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元），因为，所以甲更有道理【点睛】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；（3）求：.；（4）写出回归直线方

18、程20、（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】分析：（1），根据导数的符号可知的极大值为；（2） ，就分类讨论即可；（3）根据可以得到，因此原不等式的证明可化为，可用导数证明该不等式.详解:（1）当时，当时，当时，故的极大值为.（2），若时，则，是区间上的增函数，函数在区间有唯一零点；若，有唯一零点；若，令，得，在区间上，函数是增函数；在区间上，函数是减函数；故在区间上，的极大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是（3）由已知得， 所以，故等价于即不妨设，令，则，在上为单调增函数，所以即，也就是，故原不等式成立点睛： 导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明而要证明零点满足的不等式，则需要根据零点满足的等式构建新的目标等式，从而把要求证的不等式转化为易证的不等式21、（1）（2）【解析】（1）抽到每件产品的可能性相同，直接做比即可（2）考虑剩余产品数目和剩余次品数目再做比例。【详解】设第一次抽到次品的事件为，第二次抽到次品的事件为.（1