福建省福州市鼓楼区福州一中2021-2022学年数学高二下期末达标测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中A点表示十月的平均最高气温约为15，B点表示四月的平均最低气温约为5下面叙述不

2、正确的是 ( )A各月的平均最低气温都在0以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均最高气温高于20的月份有5个2在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为ABCD3已知非零向量满足，若函数在R 上存在极值，则和夹角的取值范围为（ ）ABCD4在平面直角坐标系xOy中，双曲线的x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支与焦点为FAy=22xBy=25已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF=90，则球O的体积

3、为ABCD6设函数，则“”是“有4个不同的实数根”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件7甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 （ ）ABCD8有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为（ ）A24B14C10D99已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10现有五位同学分别报名参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组竞赛，每人限报一组，那么不同的报名方法种

4、数有( )A120种B5种C种D种11已知定义在上的函数与函数有相同的奇偶性和单调性，则不等式的解集为（）ABCD12函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（ ）ABCD与大小关系不确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知点，则的面积是_14已知向量的夹角为，且，则_.15将一边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖的方盒，当等于_时，方盒的容积最大16参数方程所表示的曲线与轴的交点坐标是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设函数，（）证明：；（）若对所有的，都有，求实数的取值范围18（12分）某公司的广

5、告费支出x与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据回归方程为x，其中，(1)画出散点图，并判断广告费与销售额是否具有相关关系；(2)根据表中提供的数据， 求出y与x的回归方程x；(3)预测销售额为115万元时，大约需要多少万元广告费19（12分）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围.20（12分）某中学调查了某班全部名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团未参加演讲社团（1）从该班随机选名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（2）在既参加书法社团又参加演讲社团的名同学中，有5名男同学名女同学现从

6、这名男同学和名女同学中各随机选人，求被选中且未被选中的概率.21（12分）设函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若，使得，求实数m的取值范围.22（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，ABC=BCD=90，E为PB的中点（1）证明：CE面PAD.（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45，求四棱锥P-ABCD的体积参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月

7、的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20的月份有7，8两个月，所以不正确故选D【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B2、A【解析】分析：可从事件的反面考虑，即事件A不发生的概率为，由此可易得结论详解：设事件A在一次试验中发生的概率为，则，解得故选A点睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率时，通常从事件的反而入手可能较简单，如本题中“至少发生1次”的反面为“一次都不发生”，若本题求“

8、至多发生3次”的概率，其反面是“至少发生4次”即“全发生”3、B【解析】设和的夹角为在上存在极值有两个不同的实根，即，即故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3），向量垂直则；(4)求向量的模（平方后需求）.4、A【解析】根据抛物线定义得到yA+y【详解】由抛物线定义可得：|AF|+|BF|=y因为x2所以y渐近线方程为y=2故答案选A【点睛】本题考查抛物线，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力.5、

9、D【解析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，又，分别为、中点，又，平面，平面，为正方体一部分，即 ，故选D解法二:设，分别为中点，且，为边长为2的等边三角形，又中余弦定理，作于，为中点，又，两两垂直，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决6、B【解析】分析：利用函数的奇偶性将有四个不同的实数根，转化为时，有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合图象可得，从而可得结果.详解：是偶函数，有

10、四个不同根，等价于时，有两个零点，时，时，恒成立，递增，只有一个零点，不合题意，时，令，得在上递增；令，得在上递减，时，有两个零点，得，等价于有四个零点，“”是“有4个不同的实数根”的必要不充分条件，故选B.点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性以及函数与方程思想的应用，所以中档题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.7、B【解析】分析：先分成两个互斥事件：甲解决问题乙未解决问题和甲解决问题乙未解决问题，再分别求概率，最后用加

11、法计算.详解：因为甲解决问题乙未解决问题的概率为p1(1p2)，甲未解决问题乙解决问题的概率为p2(1p1)，则恰有一人解决问题的概率为p1(1p2)p2(1p1)故选B.点睛：本题考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.8、B【解析】分析：利用两个计数原理即可得出.详解：由题意可得，不同的选择方式.故选：B.点睛：切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行；分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步9、A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的

12、在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10、D【解析】先计算每个同学的报名方法种数,利用乘法原理得到答案.【详解】A同学可以参加航模、机器人、网页制作三个兴趣小组,共有3种选择.同理BCDE四位同学也各有3种选择,乘法原理得到答案为D【点睛】本题考查了分步乘法乘法计数原理,属于简单题目.11、D【解析】先判断的奇偶性及单调性，即可由为奇函数

13、性质及单调性解不等式，结合定义域即可求解.【详解】函数，定义域为；则，即为奇函数，函数在内单调递减，由复合函数的单调性可知在内单调递减，由题意可得函数为在内单调递减的奇函数，所以不等式变形可得，即，则，解不等式组可得，即，故选：D.【点睛】本题考查了函数奇偶性及单调性的判断，对数型复合函数单调性性质应用，由奇偶性及单调性解抽象不等式，注意定义域的要求，属于中档题.12、B【解析】通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.【详解】构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.故选B.【点睛】本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方

14、法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】首先求出的直线方程：，线段的长度；然后由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形的面积公式即可求解。【详解】因为，由两点间的距离公式可得，又 所以的直线方程为，整理可得：，由点到直线的距离公式，所以的面积 故答案为：【点睛】本题考查平面解析几何中的两点间的距离公式、点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础计算题。14、3【解析】运用向量的数量积的定义可得，再利用向量的平方即为模的平方，计算可得答案.【详解】解：.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，相对简单.15、【解析】先求出方盒容积的表达式，再利用导数根据

15、单调性求最大值.【详解】方盒的容积为： 当时函数递减，当时函数递增故答案为【点睛】本题考查了函数的最大值的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.16、【解析】根据消参,将化为直角坐标系下曲线方程,即可求轴的交点坐标.【详解】 可化为 可得: 当时,曲线与轴的交点坐标是.故答案为:.【点睛】本题考查圆锥曲线的参数方程和普通方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:代入消元法;加减消元法;乘除消元法;三角恒等式消元法.本题采用了三角恒等式消元法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）见解析；（）.【解析】试题分析：（）令

16、，求导得单调性，进而得，从而得证；（）记求两次导得在递增， 又，进而讨论的正负，从而得原函数的单调性，进而可求最值.试题解析：（）令，由 在递减，在递增， 即成立 （） 记， 在恒成立， ， 在递增， 又， 当 时，成立， 即在递增，则，即 成立； 当时，在递增，且， 必存在使得则时，即 时，与在恒成立矛盾，故舍去综上，实数的取值范围是点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为 .18、（1）具有相关关系（2）（3）【解析】试题分析：（1

17、）散点图如图：由图可判断：广告费与销售额具有相关关系（2）将表格数据代入运算公式，可得到其值，从而求得线性回归方程（3）在回归方程中，令y=115，求得x的值，可得结论试题解析：（1）散点图如图由图可判断：广告费与销售额具有相关关系（2），=线性回归方程为（3）由题得：，得考点：线性回归方程19、（1）见解析；（2）【解析】（1），讨论a，求得单调性即可（2）利用（1）的分类讨论，研究函数最值，确定零点个数即可求解【详解】（1）因为，其定义域为，所以.当时，令，得；令，得，此时在上单调递减，在上单调递增.当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增.当时，此时在上单调递减.当时，令

18、，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，.易证，所以.因为，.所以恰有两个不同的零点，只需，解得.当时，不符合题意.当时，在上单调递减，不符合题意.当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且，又，由于，所以，函数最多只有1个零点，与题意不符.综上可知，即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题，考查推理求解能力及分类讨论思想，是难题20、（1）；（2）.【解析】（1）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有人，故至少参加上述一个社团的共有人，所以从该班级随机选名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为（2）从这名

19、男同学和名女同学中各随机选人，其一切可能的结果组成的基本事件有：，共个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“被选中且未被选中”所包含的基本事件有：，共个.因此被选中且未被选中的概率为.考点：1.古典概型；2.随机事件的概率.21、（1）分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.（2）【解析】（1）求出的导数并判断其单调性，再根据零点存在定理取几个特殊值判断出零点的个数。（2）假设对任意恒成立，转化成对任意恒成立.令，则.讨论其单调性。【详解】（1），即，则，令解得.当在上单调递减；当在上单调递增，所以当时，.因为，所以.又，所以，所以分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.（2）假设对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.当，即时，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增.又，所以对任意恒成立.故不符合题意；当时，令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即当时，存在，使，即.故符合题意.综上可知，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了根据导函数判断函数的单调性以及零点存在定理，属于中等题。22、（1）见解析（2）【解析】（1）取PA中点Q