高中数学必修四必修4全套ppt教案幻灯片

1、NO.1课堂强化考点三2.1平面向量的实际背景及基本概念课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测读教材填要点大小方向方向大小4向量的有关概念零向量长度等于 的向量，记作单位向量长度等于 的向量平行向量(共线向量)方向 的非零向量向量a，b平行，记作 . 规定：零向量与任一向量相等向量长度 且方向 的向量向量a，b相等，记作零1个单位相同或相反相等相同abab0平行小问题大思维 1“向量就是有向线段，有向线段就是向量”这一说法对吗？ 提示：不对向量只有大小和方向两个元素，与起点无关，有向线段有起点、大小和方向 2单位向量

2、都是相等向量对吗？ 提示：不对单位向量大小相等而方向不一定相同 3零向量没有方向是否正确？ 提示：不正确零向量的方向不确定，即方向是任意的研一题答案悟一法 1解决此类问题的关键是准确理解相关概念，并注意零向量的特殊性 2两向量平行(共线)，有两向量所在的直线平行或重合两种可能通一类研一题例2中汽车的实际位移可用图中的哪个向量表示？悟一法 画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定终点标出箭头方向通一类2在如图所示的坐标纸(每个方格的边长均为1)中，用直尺和圆规画出下列向量解：如图所示：研一题悟一法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与

3、起点和终点的位置无关而对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可通一类解析：向量相等向量方向相同且模相等向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务，它从A点出发向西航行了200 km到达B点，然后改变方向，向西偏北50航行了400 km到达C点，最后又改变方向，向东航行了200 km到达D点，此时，它完成了此片海区的巡逻任务请你回答下列问题：点击此图进入NO.1课堂强化考点三2.2平面向量的线性运算课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测2.2.1 2.2.2向量加法运算及

4、其几何意义向量减法运算及其几何意义读教材填要点1向量加法的定义求两个向量 ，叫做向量的加法2向量加法的运算法则和的运算ab三角形0aa以O为起点的对角线平行四边形 3向量加法的运算律 (1)交换律：abba； (2)结合律：abc 4相反向量 与a 的向量，叫做a的相反向量，记作 . (1)规定：零向量的相反向量仍是 ； (2)(a) ； (3)a(a) ； (4)若a与b互为相反向量，则a ，b ，ab .长度相等，方向相反零向量(ab)ca(bc)aa(a)a0ba0b相反向量向量b的终点向量a的终点小问题大思维 1任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行？ 提示：不一定

5、当两向量共线时，不能用平行四边形法则，只能用三角形法则 2若abcd则acdb成立吗？ 提示：成立移项法则对向量等式适用 3怎样理解|a|b|ab|a|b|? 提示：(1)当两个非零向量a与b不共线时，ab的方向与a，b都不相同，模满足|a|b|ab|a|b|. (2)当a与b同向时，ab，a，b方向相同，模满足|ab|a|b|. (3)当a与b反向时，若|a|b|，则ab与a同向，模满足|ab|a|b|；若|a|b|，则ab与b同向，模满足|ab|b|a|. 4类比向量的加法运算是否有|a|b|ab|a|b|成立？ 提示：成立因为|ab|a(b)|，所以|a|b|a|b|ab|a|b|a|b

6、|. 研一题悟一法用几何法作两个向量的和或差应注意以下几点：(1)两向量是否共起点；(2)弄清减向量与被减向量；(3)灵活选择加法法则通一类 如图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边形法则可得：bc ，ad .研一题答案0悟一法通一类答案：D研一题 例3在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向悟一法 求解应用题时应先根据已知条件建立数学模型，转化为数学问题求解本题实际是向量在物理上的一个简单应用先根据三个已知速度(即已知向量)之间的关系，判断ABCD为平行四边形因为要求方向，所以要转化为

7、平面几何中求角度的问题通一类答案：A 点评(1)本题运用向量的加、减运算解决，而不必考虑图形是平面图形还是空间图形，体现了向量的优点 (2)本例结论可以看作梯形中位线定理的推广点击此图进入NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三2.2.3向量数乘运算及其几何意义课前预习巧设计创新演练大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测2.2平面向量的线性运算读教材填要点向量向量的数乘|a|0000 (2)向量数乘的运算律： (a) ； ()a ； (ab) . (3)向量的线性运算： 向量的 运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数、1、2，恒有(1a2

8、b) . 2共线向量定理 向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使 .()aaaab加、减、数乘1a2bba小问题大思维 1若a0，则0对吗？ 提示：不对当a0时，0或a0. 2共线向量定理中ba，a若为0如何？ 提示：当a0时，则不存在(b0时)或者不唯一(b0时) 3已知向量a，b不共线，则ma3b与n2a6b共线吗？ 提示：n2m，故m与n共线 4与非零向量a共线的单位向量是什么？研一题答案B悟一法 向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段通一类1若abc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab) ()Aa BbC

9、c D以上都不对解析：3(a2b)2(3bc)2(ab)3a6b6b2c2a2ba2(bc)又abc，故原式a.答案：A研一题悟一法 1充分利用平面几何的一些结论，将有关向量转化为相等向量、相反向量、共线向量，建立已知向量与未知向量的关系解决问题 2此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程(组)求解通一类答案：A研一题悟一法 利用向量证明三点共线时，一般是把“共线”问题转化为“向量关系ab”，通过向量关系证出“三点共线”的结论通一类3已知e1，e2是两个不共线的向量，a2e1e2，bke1e2.若a与b是共线向量，求实数k的值 点评由已知量表示未知量时，要善于利用三角形法则、平行四边形法则

10、、以及向量线性运算的运算律，还应重视平面几何知识的应用，如法三当直接表示较困难时，应考虑利用方程(组)求解，如本题法一，法二点击此图进入NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三2.3.1平面向量基本定理 课前预习巧设计创新演练大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测2.3平面向量的基本定理及坐标表示读教材填要点 1平面向量基本定理 (1)定理：如果e1、e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1、2，使a . (2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内 的一组基底不共线有且只有所有向量1e12e2非零夹角018001

11、8090ab小问题大思维 1关于平面向量的基底，下面三种说法正确吗？ 一个平面内有且只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向量的基底； 一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底； 基底中的向量一定不是零向量 提示：平面内任何不共线的两个向量都可以作为一组基底，故不正确，正确提示：不对，是B.研一题 例1如果e1、e2是平面内两个不共线的向量，判断下列说法是否正确 e1e2(、R)可以表示平面内的所有向量； 对于平面内任一向量a，使ae1e2的实数对(，)有无穷多个； 若向量1e11e2与2e12e2共线，则有且只有一个实数，使得1e11e2(2e12e2)； 若实数，

12、使得e1e20，则0. 自主解答由平面向量基本定理可知，是正确的； 不正确，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的； 不正确，当两向量的系数均为零，即12120时，这样的有无数个 悟一法 1两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底 2一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来通一类1设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是 ()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2 De1和e1e2解析：6

13、e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为平面的基底答案：B研一题悟一法 1用基底表示平面向量，要充分利用向量加、减法的三角形法则或平行四边形法则，同时结合共线向量基本定理，解题时要注意解题途径的优化与组合 2当直接用基底表示向量有困难时，可以先建立向量与基底中向量的等式，通过解方程获得答案通一类研一题答案12090悟一法 求两向量的夹角时，两向量必须共起点，否则平移后再确定通一类3若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角 用向量法证明三角形三条边上的中线交于一点 巧思设两条中线交于一点G，利用向量关系确定该点的位置，再证G在第

14、三条中线上 点击此图进入NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手N.2课下检测2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2 2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算读教材填要点 1平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个 的向量，叫做把向量正交分解 2平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a ，则把有序数对 叫做向量a的坐标记作 ，此式叫做向量的坐标表示

15、(2)在直角坐标平面中，i ，j ，0 互相垂直向量(x，y)xiyja(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)单位3平面向量的坐标运算向量的加、减法若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab ，ab 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量 的和(差)实数与向量的积若a(x，y)，R，则a ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的向量的坐标已知向量 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则 ，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)相应坐标(x，y)相应坐标(x2x1，y2y1)小问题大思维 1与坐标轴平

16、行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b(0，y) 2已知向量 (1，2)，M点的坐标与 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同； (1，2)，而M(1，2) 3在基底确定的条件下，给定一个向量它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量 4向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变研一题悟一法 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的

17、具体位置没有关系，只与其相对位置有关系因此，求向量a的坐标，关键是正确求出其起点和终点的坐标通一类研一题悟一法 1向量的几种运算体系： (1)向量有三种运算体系，即几何表示下的图形上的几何运算，字母表示下的运算和坐标表示下的代数运算 (2)几何表示下的几何运算应注意三角形法则、平行四边形法则；字母表示时，注意运算律的应用；坐标运算时要牢记公式，细心计算 2向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则通一类答案：B研一题保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？悟一法 1如果两个向量是

18、相等向量，那么它们的坐标一定对应相等当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与表示向量的有向线段终点的坐标相同 2证明一个四边形为平行四边形，可证明该四边形的一组对边所对应的向量相等通一类3已知向量u(x，y)和向量v(y,2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)若a(1,1)，b(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标(2)求使f(c)(4,5)的向量c的坐标解：(1)由vf(u)可得当u(x，y)时，有v(y,2yx)f(u)，从而f(a)(1,211)(1,1)，f(b)(0,201)(0，1)若向量|a|b|1，且ab(1,0)，求a与b的坐标 点评法一利用模的概念和向量的坐标运算

19、，通过解方程组来求解，思路自然严谨；法二利用了“三角换元”，借助三角公式简化了运算；法三利用了数形结合，解法直观，简洁明了点击此图进入NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三2.3.4平面向量共线的坐标表示课前预习巧设计创新演练大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测2.3平面向量的基本定理及坐标表示读教材填要点两个向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则abab .x1y2x2y10小问题大思维研一题保持例题条件不变，是否存在实数k，使akb与3ab平行？悟一法 对于根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用

20、共线向量定理ab(b0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解通一类研一题悟一法通一类研一题 例3如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标 悟一法 两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面： (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行 (2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件、向量相等的条件等都可作为列方程的依据通一类点击此图进入2.4.1平面向量数量积的物理背

21、景及其含义NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第二章平面向量考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测2.4平面向量的数量积读教材填要点 1平面向量数量积的定义 已知两非零向量a与b，它们的夹角为，则把数量 叫做a与b的 (或 )，记作 ，即 . 规定零向量与任一向量的数量积为 . 2向量的数量积的几何意义 (1)投影：|a|cos (|b|cos )叫做向量 方向上(方向上)的投影 (2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积|a|b|cos ab|a|b|cos 0数量积内积a在bb在a|b|cos abab0|a

22、|b|a|b|a|2 4向量数量积的运算律(1)ab (交换律)(2)(a)b (结合律)(3)(ab)c (分配律)ba(ab)a(b)acbc小问题大思维 1向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？ 提示：向量的数量积ab是一个实数；数乘向量a是一个向量 2投影是向量还是数量？ 提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、可为零 3对于向量a，b，c，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？ 提示：不一定成立，若(ab)c0，则它与c共线，而a(bc)0时与a共线，而a与c不一定共线，故该等式不一定成立 4若a，b是非零向量，则|ab|a|b|一定成立吗？ 提示：不一定因为ab|a|b|cos

23、 ，所以只有|cos |1，即a，b共线时才成立 5若a，b，c是非零向量，且acbc，则ab一定成立吗？ 提示：不一定由acbc可得c(ab)0ab0或c(ab)研一题 例1已知a，b的夹角为，|a|2，|b|3，分别在下列条件下求ab. (1)135； (2)ab； (3)ab.若本例条件变为“120”，试求(2ab)(3a2b)悟一法 求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去通一类研一题 例2已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be

24、22e1的夹角悟一法通一类2已知a、b是两个非零向量，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角研一题例3已知|a|7，|b|4，|ab|9，求|ab|.悟一法 1处理模的计算问题时，一般是将模平方转化为向量的运算进行处理 2由|ab|2a22abb2，|ab|2a22abb2相加可得|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)其几何意义是平行四边形两条对角线的平方和等于其四边的平方和通一类3设向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_解析：法一：由abc0得cab.又(ab)c0，(ab)(ab)0，即a2b2.则c2(ab)2a2b22aba2b2

25、2，|a|2|b|2|c|24.答案：4点击此图进入考点一2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第二章平面向量考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测2.4平面向量的数量积读教材填要点1两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.数量积两个向量的数量积等于它们 的和，即ab 两个向量垂直ab对应坐标的乘积x1x2y1y2x1x2y1y202三个重要公式小问题大思维 1已知向量a(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？ 2向量a(x1，y1)，b(x2

26、，y2)，则向量a在向量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？研一题例1已知向量a(1,3)，b(2,5)，c(2,1)，求：(1)2a(ba)；(2)(a2b)c.自主解答法一：(1)2a2(1,3)(2,6)，ba(2,5)(1,3)(1,2)，2a(ba)(2,6)(1,2)216214.(2)a2b(1,3)2(2,5)(1,3)(4,10)(5,13)，(a2b)c(5,13)(2,1)5213123.法二：(1)2a(ba)2ab2a22(1235)2(19)14.(2)(a2b)cac2bc12312(2251)23. 本例条件中“c(2,1)”若变为“c(2，k)”，且“(ac

27、)b”，求k.悟一法 1通过向量的坐标表示可实现向量问题的代数化，应注意与函数、方程等知识的联系 2向量数量积的运算有两种思路：一种是向量式，另一种是坐标式，两者相互补充通一类1若向量a(4，3)，|b|1，且ab5，求向量b.研一题悟一法通一类答案：C研一题悟一法 利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化因此判定方法更加简捷、运算更直接，体现了向量问题代数化的思想通一类3设a(m1，3)，b(1，m1)，若(ab)(ab)，求m的值解：法一：ab(m2，m4)，ab(m，m2)，又(ab)(ab)，(ab)(ab)0，即(m2，m4)(m，m2)0.m22mm22m80.

28、m2.法二：(ab)(ab)，(ab)(ab)0，a2b2，则m22m102m22m，解得m2. 点评解决向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式，同时要熟练运用方程思想，如本题解法一体现了这一方法；解法二是巧妙地利用了几何意义，数形结合，可简化运算点击此图进入考点一NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第二章平面向量考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测2.5平面向量应用举例读教材填要点 1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 ； (2)通过

29、，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 (3)把运算结果“翻译”成几何关系向量运算向量问题向量2向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中(3)动量mv是向量的数乘运算(4)功是力F与位移s的数量积小问题大思维 1在物理学中，你知道哪些知识与向量的线性运算有关系？ 提示：力、速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算 2向量方法可解决平面几何中的哪些问题？ 提示：直线的平行、垂直及三点共线的证明问题；两点的距离(线段长度)、夹角的计算问题等研一题 例1设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点

30、，试用向量证明：PQAB.悟一法 利用向量证明几何问题有两种途径： (1)基向量法：通常先选取一组基底(对于基底中的向量，最好是已知它们的模及两者之间的夹角)，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律运算，最后把运算结果还原为几何关系 (2)坐标法：利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为向量坐标运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系，实现向量的坐标化通一类研一题悟一法 1向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象 2在用向量方法解决物理问题时，应作出相应的

31、图形，以帮助建立数学模型，分析解题思路 3在解题过程中要注意两方面的问题：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象通一类2三个力F1、F2、F3同时作用于O点且处于平衡状态，已知F1与F3的夹角为120，又|F1|F2|20 N，则|F3|_.解析：由F1F2F30知F1F3F2，|F1|2|F3|22|F1|F3|cos 120|F2|2.|F3|F1|20 N.答案：20 N研一题 例3已知点A(2，1)求过点A与向量a(5,1)平行的直线方程本例中“平行”改为“垂直”，问题不变悟一法 向量在

32、解析几何中的应用，主要是解决解析几何中平行、垂直、夹角、长度等问题解题关键是把这些问题转化为相应的向量问题，通过向量的运算得以解决通一类 求证：ABC的三条高交于一点 巧思可先找出其中两条高线的交点，然后证明另一个顶点与该点的连线与其对边垂直即可点击此图进入章末复习方案与全优评估要点整合再现阶段质量检测高频考点例析考点三考点一考点二第二章平面向量 1向量的概念 (1)向量是既有大小又有方向的量，用有向线段来表示，有向线段的长度即向量的模(长度)，要注意有向线段有起点，而向量是自由移动的 (2)零向量的长度为0，单位向量的长度为1，二者方向都是任意的相等向量的长度相等，方向相同；相反向量的长度相

33、等，方向相反；平行(共线)向量的方向相同或相反，与长度无关 5几个重要结论 (1)三角不等式|a|b|ab|a|b|. (2)在平行四边形中，若相邻两边长为a、b，则|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)答案(1)D(2)B 借题发挥 1向量的线性运算实质上是向量的加、减法及数乘运算，实现用基底表示向量的目的在解题过程中要注意结合共线向量定理的应用 2向量的坐标运算主要用于共线问题及数量积问题注意向量的坐标等于有向线段的终点坐标减去起点坐标答案(1)B(2)B 借题发挥平面向量数量积的应用主要是解决向量的夹角、模、垂直问题在处理问题时，除考虑定义计算外，还要充分利用向量的线性运算、数形结合

34、解决问题答案：A4(2012浙江高考)设a，b是两个非零向量 ()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：若|a|b|a|b|，则cosa，b1，a、b反向共线，故A错误，C正确；当ab时，a、b不反向，也不共线，B错误；若a、b同向，则|ab|a|b|，D错误答案：C答案(1) D (2) 11 借题发挥平面向量的应用主要体现在向量与平面几何、向量与三角、向量与解析几何、向量与物理等方面的结合，解决问题的关键是恰当引入向量，通过向量运算解决问题答案：D答案：C7设0|a|2，f(x)co

35、s2x|a|sin x|b|的最大值为0，最小值为4，且a与b的夹角为45，求|ab|.考点一3.1.1两角差的余弦公式NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第三章三角恒等变换考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式读教材填要点两角差的余弦公式名称公式简记符号使用条件两角差的余弦cos()C()、Rcos cos sin sin 小问题大思维 1由cos ，cos 的值能否求得cos()? 提示：能先由同角关系式求出sin ，sin ，再代入公式C()求解但如果，是第几象限角不能确定时，解不唯一 2由公式可求出cos

36、 15的值吗？研一题答案B 本例条件若变为“cos 45cos 15cos 75sin 45”，试求值悟一法 运用两角差的余弦公式的关键是要抓住“cos cos ，sin sin ”中间运算为“”号这一特征，不符合时先用诱导公式变形通一类1化简：cos(x27)cos(x18)sin(x27)sin(x18)研一题悟一法 角的变换是给值求值中最重要的一种方法，往往把待求式中的角向已知的角转化，即用已知角的差表示待求式中的角通一类研一题悟一法 1解决此类问题一般分为三步：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)；确定角的值 2具体求角的哪种三角函数值，要根据题目条件所定通一类点击此图进入

37、NO.2课下检测考点一 3.1.2两角和与 差的 正弦、 余弦、正切公式NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第三章三角恒等变换考点二读教材填要点小问题大思维解题高手3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式读教材填要点两角和与差的正弦、余弦、正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的余弦C()cos()，R两角差的余弦C()cos()，R两角和的正弦S()sin()两角差的正弦S()sin()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin ，R，R，小问题大思维 1是否存在、使得sin()si

38、n sin 成立？ 3在T()中tan ，tan 均有意义，则T()就有意义吗？4cos()可以用公式C()展开吗？ 提示：可以实际上诱导公式是和角、差角公式的特殊情况(有一个角为已知角)研一题悟一法通一类研一题悟一法条件求值问题要注意两点：一是注意给定角的范围，求值时注意判断；二是注意灵活变角求值，即把待求角用已知角表示通一类研一题悟一法 解答有关三角形的题目(求角、求某个角的三角函数值、判断三角形的形状等)时，常用两角和与差的正弦、余弦、正切公式(或逆用上述公式)来处理解答过程中注意与三角形的内角和定理ABC结合应用通一类3在ABC中，三个内角分别是A，B，C，若sin C2cos Asi

39、n B，则ABC一定是 ()A直角三角形 B正三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形解析：sin Csin(AB)sin(AB)，sin(AB)2cos Asin B.sin Acos Bcos Asin B2cos Asin B.sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB.答案：C点击此图进入NO.2课下检测考点一 3.1.3 二倍 角的 正弦、 余弦、正切 公式NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第三章三角恒等变换考点二读教材填要点小问题大思维解题高手3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式读教材填要点二倍角的正弦、余弦、正切公式小问题大思维

40、 1二倍角的正弦、余弦、正切公式与两角和的正弦、余弦、正切公式有什么关系？ 提示：在两角和的公式中即可得二倍角公式，即二倍角公式是和角公式的特殊情况 2写出由sin 求sin 2，cos 2，tan 2的过程由sin 的值怎样求sin 2，cos 2，tan 2？研一题悟一法通一类1求sin 6sin 42sin 66sin 78的值研一题悟一法通一类研一题悟一法 化简三角函数式的常用技巧： 注意特殊角的三角函数与特殊值的互化 对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分 对于二次根式，注意倍角公式的逆用 注意利用角与角之间的隐含关系 注意利用“1”的恒等变形通

41、一类 点评在对三角函数作变形时，以上四种方法提供了四种变形的角度，即分别从“角”的差异，“名”的差异，“幂”的差异以及“形”的特征四个方面着手研究这也是研究其他三角问题时经常要用的变形手法此外还需熟知对化简结果的要求 点击此图进入NO.2课下检测考点一NO.1课堂强化名师课堂一点通考点三课前预习巧设计创新演练大冲关第三章三角恒等变换考点二读教材填要点小问题大思维解题高手3.2简单的三角恒等变换读教材填要点小问题大思维1半角公式的符号是由什么决定的？研一题悟一法 利用和角、差角、二倍角、半角公式进行三角变换时，要注意以下三个方面的变换 (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆

42、、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切 (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径如升幂、降幂、配方、开方等通一类研一题悟一法通一类研一题 例3点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT1，PAB，问为何值时，四边形ABTP面积最大？ 自主解答 如图所示， AB为直径， APB90，AB1， PAcos ，PBsin . 又PT切圆于P点，TPBPAB， S四边形ABTPSPABSTPB悟一法 解答此类问题，关键是合理引入辅助角，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关

43、知识求解，同时要注意角的范围通一类3在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？解：如图，设AOB，且为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为|AB|Rsin ，|DA|2|OA|2Rcos .的面积为S矩形ABCD|AB|DA|Rsin 2Rcos R2sin 2.点击此图进入章末复习方案与全优评估要点整合再现阶段质量检测高频考点例析考点三考点一考点二第三章三角恒等变换 1和(差)角公式 (1)公式C()，C()的公式特点：同名相乘，符号相反；公式S()，S()的公式特点：异名相乘，符号相同；T()的符号规律为“分子同，分母反” (2

44、)和(差)角公式揭示了不同角的三角函数的运算规律，公式成立的条件是相关三角函数有意义，尤其是正切函数 4辅助角公式 形如yasin xbcos x的函数可转化为yAsin(x)(或yAcos(x)，进而可研究函数的周期、最值、单调性及图像变换 借题发挥在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化，函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换技巧的运用答案：B答案C 借题发挥解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系，合理拆、凑，把未知角用已知角表示答案：A答案：B 借题发挥此类问题综合考查三角恒等变换、三角函数的性质等知识，解决此类问题的关键是利用三角恒等变换把所给的三角函数式化为

45、yAsin(x)h的形式NO.1课堂强化考点三1.1任意 角和弧度制课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第一章三角函数考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测1.1.1任意角读教材填要点1角的有关概念一条射线端点图形顶点始边终边2角的分类名称定义正角按 时针方向旋转形成的角负角按 时针方向旋转形成的角零角一条射线 作任何旋转形成的角逆顺没有 3象限角 若角的顶点在原点，角的始边与 重合，那么，角的 在第几象限，就称这个角是第几象限角如果角的终边在 上，则这个角不属于任何一个象限x轴的非负半轴终边坐标轴 4终边相同的角 设表示任意角，所有与角终边相同的角，连同角在内，可

46、构成一个集合S| ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与 的和k360，kZ整数个周角小问题大思维 1小于90的角一定是锐角吗？提示：不一定由角的概念的推广可知，小于90的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角2第二象限角一定比第一象限角大吗？提示：不一定如170角为第二象限角，390角为第一象限角，显然170390.3终边相同的角一定相等吗？提示：不一定但相等的角终边一定相同4终边在x轴上或y轴上的角的集合如何表示？在坐标轴上呢？提示：终边在x轴上角的集合表示为|k180，kZ；终边在y轴上角的集合表示为|90k180，kZ；终边在坐标轴上角的集合表示为|k90，kZ5如图，写出射线从OA

47、旋转到OB1、OB2时所成的角提示：负角(360210)150，正角21015060. 研一题例1有下列说法：相差360整数倍的两个角，其终边不一定相同；|是锐角|090；第一象限角都是锐角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确说法的序号是_ 自主解答不正确终边相同的两个角一定相差360的整数倍，反之也成立； 是锐角，即090，故|090 |090，故正确； 第一象限角不一定都是锐角，如380是第一象限角，但它不是锐角，故不正确； 0角小于180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确 答案 悟一法 解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念另外需要掌握判

48、断命题真假的技巧，判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可通一类1设集合A|90k180，kZ| k180，kZ，集合B|k90，kZ，则 ()AA BBB ACAB DAB解析：集合A|90k180，kZ|k180，kZ|(2k1)90，kZ|2k90，kZ|m90，mZ，集合B|k90，kZ，集合AB.答案：D研一题例2若角为第四象限角，则90是 ()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角自主解答法一：角为第四象限角，k360270k360360，k36036090k360450，kZ.可知在第一象限法二：(特值法)由角为第四象限角，可取300，故90390，可知其

49、在第一象限答案A本例中条件选项不变，问题变为“则180是”()解析：不妨设30，则180210.故为第三象限角，选C.答案：C悟一法 象限角的判定有两种方法：一是根据角的范围，在直角坐标系内讨论；二是结合条件及选项取特殊值验证通一类2设角与的终边互相垂直，且是第二象限角，则是 ()A第一象限角 B第三象限角C第一或第三象限角 D第一或第四象限角解析：的终边在第二象限时，的终边有两个位置，即第一或第三象限答案：C研一题 例3如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边在射线OM上； (2)终边在射线ON上； (3)终边在阴影区域内(含边界) 自主解答(1)终边在射线OM上的角的集合A|

50、45k360，kZ (2)终边在射线ON上的角的集合为 B|60k360，kZ (3)终边在阴影区域内的角的集合为 C|45k36060k360，kZ悟一法 已知终边所处的位置，写角的集合时，可先写出0360范围内的角，然后再加k360(kZ)组成集合即可通一类解：终边在直线OM上的角的集合为M|45k360，kZ|225k360，kZ|452k180，kZ|45(2k1)180，kZ|45n180，nZ同理可得终边在直线ON上的角的集合为|60n180，nZ，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为|45n18060n180，nZ.3写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合点击此图进入NO

51、.1课堂强化考点三1.1任意 角和弧度制课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第一章三角函数考点一考点二读教材填要点小问题大思维解题高手NO.2课下检测1.1.2弧度制读教材填要点1度量角的单位制度半径长rad弧度负数正数03弧度制与角度制的换算公式2360180R小问题大思维 1利用弧度制度量角时，它的大小与圆的半径长短有关吗？ 提示：角的大小与弧长与半径的比值有关，而与圆的半径大小无关 2利用弧度制如何表示第一象限角的集合？3你能根据角度与弧度的换算公式完成下表吗？ 4与30终边相同的角可以写成302k，kZ吗？ 提示：不可以弧度制与角度制不能混用研一题悟一法通一类研一题 例2分别写出

52、终边在OA，OB上的角的集合本例条件不变，写出终边在阴影部分(包括边界)的角的集合悟一法 1根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形； (2)写出区域边界作为终边时角的表示； (3)用不等式表示区域范围内的角 2注意事项： (1)用不等式表示区域角的范围时，要注意观察角的集合形式是否能够合并，能合并的一定要合并； (2)对于区域角的书写，一定要看其区域是否跨越x轴的正方向若区域跨越x轴的正方向，则前面的角用负角表示，后面的角用正角表示通一类2写出终边在图中阴影部分的角的集合(包括边界)研一题 例3一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？

53、是多少度？扇形面积是多少？悟一法 1由于扇形的周长和面积都由扇形的半径和弧长确定，故可根据已知条件先确定半径和弧长，即列方程求解 2公式l|R中，的单位必须是弧度，由此公式求出的圆心角只是弧度数的绝对值通一类3如图，扇形AOB的面积为4，周长为10，求扇形的圆心角(02)的弧度数 用30 cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计，才能使扇形的面积最大？最大面积是多 点评法一是取r为自变量，将扇形面积表示为半径r的二次函数，利用二次函数最值的求法求出最值法二是将扇形的面积表示为圆心角的函数后，利用判别式法求最值，再求出相应的问题解决此类问题时要注意变量选取的灵活性 点击此图进入读教材填要点1.2任意

54、 角的三角函数NO.1课堂强化考点三课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第一章三角函数考点一考点二小问题大思维解题高手NO.2课下检测1.2.1第二课时公式一与三角函数线读教材填要点1公式一2有向线段与三角函数线(1)有向线段：带有 的线段(2)三角函数线：方向图示正弦线角的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段 即为正弦线余弦线有向线段 即为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，交的终边或的终边的反向延长线于点T，有向线段 即为正切线MPOMAT小问题大思维 1终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？提示：相等 2三角函数线的长度就是角的相应三角函数值吗？ 提

55、示：不是，还要考虑有向线段与x轴或y轴是同向还是反 向，以判断值的正负4公式一的作用是什么？提示：公式一的作用就是将所给任意角的三角函数值转化为求0到2范围内与角终边相同的角2k(这里的k是一个具体的整数)的三角函数值研一题悟一法 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值问题转化为求02间的角的三角函数值问题，同时要注意记住特殊角的三角函数值通一类研一题自主解答悟一法 1作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线 2作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.通一类2在单位

56、圆中画出满足tan 1的角的终边，并写出角的集合研一题例3利用三角函数线，求满足下列条件的角的集合悟一法 解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想通一类 若为锐角，求证：sin 0，tan 0，tan 0，知是第二象限角3三角函数值的大小与点P在终边的位置是否有关？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边的位置有关，即三角函数值的大小只与角有关4若角的终边在直线yx上，则sin 、cos 的值唯一确

57、定吗？提示：不唯一因为终边在yx上，所以角的终边在第二或第四象限，故其sin ，cos 值不唯一研一题悟一法 1解决该类问题的方法是，先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦函数、余弦函数、正切函数的定义求三角函数值2一些特殊角的正弦、余弦和正切值：通一类答案：A研一题 例2已知角终边上一点P的坐标为(4a，3a)(a0)求2sin cos 的值 本例条件若变为“角的终边过点P(2sin 30，2cos 30)”，问题不变悟一法通一类研一题例3判断下列各式的符号：(1)是第四象限角，sin tan ；(2)sin 3cos 4.悟一法 准确判定三角函数中角所在象限是基础，准确记忆三

58、角函数值在各象限的符号是解决这类问题的关键通一类3已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在 ()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：P点在第三象限，tan 0，cos 0，故是第二象限角答案：B点击此图进入读教材填要点1.2任意 角的三角函数NO.1课堂强化考点三课前预习巧设计名师课堂一点通创新演练大冲关第一章三角函数考点一考点二小问题大思维解题高手NO.2课下检测1.2.2同角三角函数的基本关系读教材填要点同角三角函数的基本关系sin2cos21平方和商小问题大思维1同角三角函数基本关系式对任意角都成立吗？2sin210cos2201成立吗？ 提示：不成立平方关系是

59、指“同一个角”的正、余弦的平方和等于1.研一题悟一法 1已知一个角的正弦或余弦，求角的其他三角函数值时，要利用平方关系先求余弦或正弦，再利用商数关系求正切通一类答案：B研一题悟一法 1解答此类题目的关键在于同角三角函数基本关系式的灵活运用 2化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正弦、余弦函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的 (2)对于含有根号的部分，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的 (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2cos21来降低函数的次数，达到化简的目的通一类研一题例3已知tan22tan21，求证：sin

60、22sin21.悟一法 证明三角恒等式的实质是消除等式两端的差异，有目的地化简 证明三角恒等式的基本原则：由繁到简 常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证 常用技巧：切化弦、整体代换、1的代换、方程思想通一类 点评sin xcos x，sin xcos x，sin xcos x三个式子中，它们的关系是：(sin xcos x)212sin xcos x，(sin xcos x)212sin xcos x，上述解题方法就是根据上述关系式，利用方程的思想解决问题的无论利用何种方法，都要注意角x的范围，以免造成增根，从而导致解题错误点击此图进入第一章三角函数考点一NO.1课堂强化考点三课前预