机械系统非线性振动及其控制

1、r机械系统非线性振动及其控制作业（仅供参考）第一章单自由度线性振动一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如下图所示。试列出其振动微分方程，并求出其固有频率。解：该系统可视为单自由度无阻尼系统，一起静平衡点作为振动原点，列出其振动微分方程如下：mxkk0因为其固有角频率为o=n所以其固有频率为4.如下图所示，有一等截面的悬臂梁，其质量不计。在梁的自由端有两个集中质量m与m,由电磁铁吸住。今在梁静止时打开电磁铁开关，使m突然释放。试122求m的振幅。1|EI曲11I*解：根据题意，题给悬臂梁系统可等效为一无阻尼单自由度弹簧系统。根据材料力学的知，悬臂梁右端点初始静挠度为(m)gl33EI此时梁右端点

2、的刚度，即弹簧的等效刚度为+m5)=213EIl3当m突然被释放后，m和梁组成新的弹簧系统，弹簧的静平衡长度为21mgl3i3EI新系统的弹簧的等效刚度为=(mg/5)=123EIl3m1的振幅为A=、：52-52=J(2m+m)mgl3/3EI6.某洗衣机机器部分重15kN,用四个弹簧对称支承，每个弹簧的刚度为k=820N/cm。试计算此系统的临界阻尼系数cc；c这个系统装有四个阻尼缓冲器，每个阻尼系数c=16.8Ns/cm试问此系统自由振动时经过多少时间后，振幅衰减到10%？衰减振动的周期是多少？解：(1)系统的固有角频率为n44820幻2=4.79rad/s154103/10临界阻尼系数

3、为c=2mn=2mo=cn=4ikm8204102=29.57N.s/cm15X103/102)每个弹簧系统的衰减系数n=c/2(m/4)=2c/m=2.24系统在任一时刻的振幅与初始时刻的振幅比为Ae-nt耳=0=e-ntA0当系统的振幅衰减到10%时，自由振动经历的时间t=-ln-=丄1口丄=1.03sn耳2.240.13)有阻尼系统的固有角频率为o=；o2n262rad/srn有阻尼系统的周期为T=兰=竺=0.43sro14.62第二章多自由度线性振动1.如下图所示，一根两端固定的轴上装有两个飞轮，各部分尺寸如图所示（单位为mm）,飞轮材料之比重为p=0.077N/cm3，轴的剪切弹性模

4、量G=7.8x104N/mm2试求系统的扭转固有频率。*25050解：飞轮的转动惯量I=I=0.306kgm212轴的扭转刚度TOC o 1-5 h zk=k=k=306N/meie2e3系统振动的质量矩阵为00.3060_I200.306TOC o 1-5 h z刚度矩阵为k+kk-612306_e1e2e2=kk+k306612e1e2e31-KTOC o 1-5 h z特征方程为 HYPERLINK l bookmark28 612-0.3062306门ni=0-306612-0.3062ni解得系统扭转的固有频率为=1.0,=3nln22.如图所示，已知，m1=m,m2=2m,k1=k

5、2=k3=k,试求弹簧质量系统的固有圆频率及主振型。/解：系统无阻尼自由振动微分方程为MX+KX=0式中m0-2k-kMT，KT02m-k2k系统的特征方程为2km32k门ni=0k2k2m32ni系统固有频率为2二3-1土,2二UAn12mn22m特征向量为AT1+爲IA（2）Ti_寿主振型1111A=（A（i）A(2)=1-暑2m=m=m123P=P=P=Psinwt,123如图所示，已知k=k=k=k123m解：该系统无阻尼自由振动方程为二1.25:上。各阶振型阻尼比为23匚=：=：=0.01。1求各质量的稳态响应式中MX+KX=0系统的特征方程为系统固有频率为2k一mw2ni一k02k

6、一mw2ni一k-k2k一m2nim00-2k一k0_M=0m0，K=一k2k-k00m0一kk2n1kkk=0.198,w2=1.555,w2=3.247mn2mn3m特征向量为1正则坐标下的稳态解为1正则坐标下的稳态解为模态矩阵为A=（AA（2）A(3)=1.802110.445-1.247r1)r1(11A(1)=1.802,A(1)=0.445,A(1)=-1.247、2.247丿-0.802丿、0.555丿2.247-0.5910.555正则型矩阵为(0.3280.591(0.7370.7370.5910.328-0.737-0.5910.328,正则坐标下的激振力列阵为放大因子为相

7、位角为(1.6562I%丿0.474Psin(0.182丿0.14432.23331.5658175.4-88.615.0正则坐标下的稳态解为XN1.27sin(3t175.4)o0.68sin(3t88.6)o0.0088sin(3t15)o原坐标下的稳态响应(XN1FXN2kXJ=AN0.42sin(3t175.4)+0.5sin(3t88.6)+0.052sin(3t15)0000.75sin(3t175.4)+0.22sin(3t88.6)0.065sin(3t15)ooo0.94sin(3t175.4)0.4sin(3t88.6)+0.029sin(3t15)000如下图所示的轴盘扭

8、振系统，已知圆盘1、2的转动惯量分别为I及I，轴12的抗扭弹性系数为k，设在圆盘1上作用一转矩Msinwt。试求系统的共振e频率及其稳态响应。厂IEE解：系统自由振动微分方程为MX+KX=0式中-1o-kkM二1，K二0I2kk系统的特征方程为k一I2k1ni=0kkIe22ni系统固有频率为特征向量为2二0,2n1n2+2k,II12仃）A=,A（2）匕丿模态矩阵为A=(AA(2)=1I-+I2正则型矩阵为I+I121I+I12I)2II121211正则坐标下的激振力列阵为II+IIF=AtF=I12Isin&tNNIMII2II112sintTOC o 1-5 h z(I+I)(22)12

9、n1MI2.(12-II)(22)丿112n2原坐标下的稳态响应MMI2(X)N1+2sint(I+I)2(2一2)-(12一II)2(2一2)12n1112n2MMI+2(I+I)2(2-2)I(I-I)2(2-2)丿12n1112n25.如下图所示，双质量弹簧系统在m1上作用一谐波激励Fsint。1已知m=m,m=2m,k=k=k,k=2k试用解耦分析法求系统的响应。12123*FasinoX解：系统无阻尼自由振动微分方程为MX+KX=0式中m0-2k-kM二,K二02m-k3k系统的特征方程为原坐标下的稳态响应原坐标下的稳态响应nik一k3k一2m2ni系统固有频率为2=土,2=2.5土

10、n1mn2m特征向量为ri厂0.5丿模态矩阵为正则型矩阵为正则坐标下的激振力列阵为-AtF=JmN(F+F)12F-0.5F)sin3t正则坐标下的稳态解为sin3tF+F)/(32-2)12n1F-0.5F)/(32-32)12n2(X)N1N2X=anX(3(F+F)3(F-0.5F)1+1(2-2)2(2-2)n1n23(F+F)3(F-0.5F)1+1、(2-2)4(2-2)丿n1n2n1n2sint第三章非线性振动基本知识4.推导如图所示弹簧质量系统的非线性振动方程。LF工解：以系统平衡时质量m的质心为原点，图示x为矢量建立基础坐标系。取x和9（k的摆角）为广义坐标系，则质量m的非线

11、性运动方程为2mx+kx+kh（tg9一sin9）=F12由于9很小，有tg9q9,sin99-，且x=htg9故有693mx+h(k9+k)=Fi266.求下面单摆的非线性方程的精确解：9.+2（9-竺）=0，初始条件为069=0,9=9这里9表示最大角位移。00解：根据零初始速度解，取方程的近似周期解u(t)=0COS3t0残差力为R(t)=(2一2)00o3(3cos0+cos30)=00024由谐波平衡法有，/、202c(22)-I=008由此解出自由振动的频率为显然，由残差力的定义知，此解即为非线性方程组的精确解。8个非线性系统的运动微分方程如下：x+cx+k2X2=aCOS2，讨论

12、其二阶亚谐解。（本题目结果仅供参考）解：令=,k=32,k=32，则运动方程可改写为210200 x+32x+(23x+32x2)=acos23t*000假设x=x+x,32=32+30101，略去OC2）x+32x=acos23tv*00 x+32x=3x23x32x21*1110*00解(2-a)得，x=Acos3t+Bsin3t+Ccos23t0(1)(2-a)(2-b)3)式中,Ca332将（3）代入（2-b）得x+32x=(A32B32AC32)cos3t+(B+2Aw2+BC2)sint+(Cw-2112B2+w2)cos2wt+(4Cw2ABw2)sin2wtC2ACw2cos3wtBCw2sin3wtw2cos4wt2w2-(A2+B2+C2)消除永年项，