解三角形知识点归纳

1、文档编码 : CB10W9T5H7V10 HS6M6Z4R4S10 ZK6I6E2Z4R4学习必备 欢迎下载 解三角形学问点归纳 1,三角形三角关系： A+B+C=180； C=180 A+B ； tan C, C的外 . . 对于已 2,三角形三边关系： a+bc; a-bc 3,三角形中的基本关系： sin A B sin C, cos A B cos C, tan A B sin A B cos C ,cos A 22B sin C , tan A 22B cot C 224,正弦定理：在 C中, a , b , c 分别为角 , , C 的对边, R 为 接圆的半径,就有 abc 2

2、R sinsin sin C 5,正弦定理的变形公式： 化角为边： a2Rsin , b 2Rsin , c 2Rsin C ； 化边为角： sin a, sin b, sin C c ； 2R 2 R 2R a : b: c sin :sin :sin C ； sin abc sin C abc sin sin sin sin C 6,两类正弦定懂得三角形的问题：已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 已知两角和其中一边的对角,求其他边角 知两边和其中一边所对的角的题型要留意解的情形（一解,两解,三解） 7,三角形面积公式： S C1bcsin 1ab sin C 1acsin 2 =2R

3、sinAsinBsinC= abc = r a bc = 2224 R 2p p a p b p c 8,余弦定理：在 C中,有 a2 b2 2c2 2bc cos 2, b ba 2 c2 2ac cos , c2 a 2 b 2 2ab cos C 2 c a, cos a22 c 2a2b22 c 9,余弦定理的推论： cos b2, cosC 2bc 2ac 2ab 10,余弦定理主要解决的问题： 已知两边和夹角,求其余的量； 已知三边求角） 11,如何判定三角形的外形：判定三角形外形时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一 成边的形式或角的形式 设 a , b , c 是 C的角 ,

4、, C 的对边,就： 如 a2b22 c ,就 C 90 ； 第 1 页,共 9 页如 a2b22 c ,就 C90 ； 学习必备 欢迎下载 如 a2b22 c ,就 C 90 12,三角形的五心： 垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 题型之一 ： 求解斜三角形中的基本元素 指已知两边一角 或二角一边或三边 ,求其它三个元素问题,进而求出三角形的三线 高 线,角平分线,中线 及周长等基本问题 1. 在 ABC 中, AB=3 , AC

5、=2 ,BC= 10 ,就 AB AC 1 0 ,边 A 3B 22 C 33 D 223【答案】 D 2（ 1）在 ABC 中,已知 A 32.0 , B , 0 0 a cm,解三角形； （ 2）在 ABC 中,已知 a 20 cm, b 28 cm, A 40 0 ,解三角形（角度精确到 长精确到 1cm）；3（ 1）在 ABC 中,已 a2 3 , c 6 2 , B 60 0 ,求 b 及 A； 知 （ 2）在 ABC 中,已 a, b 87.8cm , ,解三角形 知 42022 年全国高考江苏卷 ABC 中, A , BC3,就 ABC 的周长为（ ） 3A 4 3 sin B

6、3B 4 3 sin B 33 6C 6 sin B 3 D 6 sin B 33 6分析：由正弦定理,求出 b 及 c,或整体求出 b c,就周长为 3 bc 而得到结果选 D 46 65 （ 2022 年全国高考湖北卷 在 ABC 中,已知 AB , cos B , AC 边上的中 3 6线 BD = 5 ,求 sinA 的值 分析：此题关键是利用余弦定理,求出 AC 及 BC,再由正弦定理,即得 sinA ,设 BE x 解：设 E 为 BC 的中点,连接 DE ,就 DE / AB,且 DE 1AB 262 3第 2 页,共 9 页在 BDE 中利用余弦定理可得： 学习必备 欢迎下载

7、2BE ED cos BED , BD 2BE 2ED 25x 2 82266x ,解得 x 1, x 7（舍去） 又 sin B 30 , 3363故 BC=2 ,从而 2 2 2AC AB BC 2AB BCcosB 28 ,即 AC 32 21 362 21 故 2sin A 3, sin A 70 14 30 6在 ABC 中,已知 a 2 ,b 2 2 , C 15 ,求 A ； 答案： B 0 A,且 0 A 0 180 , A 0 30 题型之二 ：判定三角形的外形：给出三角形中的三角关系式,判定此三角形的外形 1. 2022 年北京春季高考题 在 ABC 中,已知 2 sin

8、AcosB sin C ,那么 ABC 确定是 （ ） A 直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 解法 1：由 2 sin AcosB sin C sinA Bsin AcosB cosAsinB, 即 sin AcosB cosAsinB 0,得 sin AB 0,得 A B应选 B 2 2 2解法 2：由题意,得 cosB sin C c ,再由余弦定理,得 cosB a c b 2sin A 2a 2ac 2 2 2 a c b c ,即 a b ,得 a b,应选 B 2 22ac 2a 评注：判定三角形外形,通常用两种典型方法：统一化为角,再判定 如解法 1,统一

9、化为边,再判定 如解法 2 2在 ABC 中,如 2cosBsinA sinC ,就 ABC 的外形确定是（ ） A. 等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案： C 解析： 2sin AcosB sin（ A B） sin（A B）又 2sinAcosB sinC, sin（ AB） 0, A B 3. 在 ABC 中,如 a 2 2 btan A ,试判定 ABC 的外形； tan B 答案：故 ABC 为等腰三角形或直角三角形； 4. 在 ABC 中, cos A b cos ,判定 ABC 的外形； 答案： ABC 为等腰三角形或直角三角形； 第 3 页,共

10、 9 页学习必备 欢迎下载 题型之三 ：解决与面积有关问题 主要是利用正,余弦定理,并结合三角形的面积公式来解题 1. 2022 年全国高考上海卷 在 ABC 中,如 A 120 , AB 5 , BC 7 , 就 ABC 的面积 S 2在 ABC 中, sin A cos A 2, AC 2 , AB 3 ,求 tan A 的值和 ABC 的面 2积； 答案： S ABC 1AC AB sin A 1232463 2 6 2243. （ 07 浙江理 18）已知 ABC 的周长为 2 1 ,且 sin A sin B 2 sin C （I）求边 AB 的长； （II ）如 ABC 的面积为

11、1sin C ,求角 C 的度数 1, 6解：（ I）由题意及正弦定理,得 AB BC AC 2 1 , BC AC 2 AB , 两式相减,得 AB 1 1 sin C ,得 BC AC 61, （II ）由 ABC 的面积 1 BC AC sin C 2 3由余弦定理,得 cos C 2 AC 2 BC AB2 AC BC 22 AC BC 2 AB 2 AC BC 2 AC BC 2所以 C 60 题型之四 ：三角形中求值问题 1. 2022 年全国高考天津卷 在 ABC 中, A, B, C所对的边长分别为 a, b, c, 设 a,b,c 中意条件 b 2 c 2 bc a 2 c

12、和 b13 ,求 Atan B 的值 2和 分析：此题给出一些条件式的求值问题,关键仍是运用正,余弦定理 解：由余弦定理 cos A b 2 c 2 2bc a 2 1,因此, A 60 2在 ABC 中, C=180 A B=120 B. 1 c sin C sin120 B 由已知条件,应用正弦定理 32 b sin B sin B sin 120 cos B sin B cos120 sin B 2 3cot B 12 , 解得 cot B 2, 从而 tan B 1 . 22 ABC 的三个内角为 A,B,C ,求当 A 为何值时, cos A 2cos BC 取得最大值, 2并求出这

13、个最大值； 第 4 页,共 9 页解析：由 A+B+C= 学习必备 欢迎下载 A ； =sin 2 ,得 B+C 2 = 2A ,所以有 2 cos B+C 2cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1 2sin 2A 2 + 2sin 2 = 2sin 2 2 + A A 1 2 32； 当 sin A 2 = 12,即 A= 3 时 , cosA+2cos B+C 2 取得最大值为 32； 3在锐角 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 sin A 22,（ 1）求 3tan 2 B Csin 2 A 的值；（ 2）如 a 2 , S AB

14、C 2,求 b 的值； 2 2解析：（ 1）由于锐角 ABC 中, A B C , sin A 22,所以 cosA 1 , 3 3就 tan 2 BC2sin 2 A 2 cos sin 22 BC BC 2sin 2 A 22 1 co（1cos（BC） 2 s BC） 1 1 cosA ） 1cosA 1 7 1cosA 3 3 （ 2） 由于 S ABC 2,又 S ABC bcsin A bc 1 1 22,就 bc 3； 2 2 31 3 2 2 2 将 a 2, cosA , c 代入余弦定理： a b c 2bccos A 中, 3 b4 2得 b 6b 90 解得 b 3 ；

15、 点评： 知道三角形边外的元素如中线长, 面积, 周长等时, 灵敏逆用公式求得结果即可； 4在 ABC 中,内 A,B,C 对边的边长分别是 a, b, c,已知 c 2 , C 角 3（）如 ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ； （）如 sin C sin B A 2sin 2 A ,求 ABC 的面积 本小题主要考查三角形的边角关系, 三角函数公式等基础学问, 考查综合应用三角函数有关 学问的才能满分 12 分 解：（）由余弦定理及已知条件得, a 2 b 2 ab 4 , 1又由于 ABC 的面积等于 3 ,所以 ab sin C 3 ,得 ab 4 4分 2联立方程组 aab 2

16、b4, 2 ab 4, 解得 a 2 , b 2 6分 第 5 页,共 9 页（）由题意得 sin B A sin B 学习必备 欢迎下载 A 4sin A cos A , 即 sin B cos A 2sin Acos A , 8分 当 cos A 0 时, A 2, B 6, a43, b 23, 12 分 33当 cos A 0 时,得 sin B 2sin A ,由正弦定理得 b 2a , 联立方程组 a b2 b 2 ab 2a, 4, 解得 a23, b 43 33所以 ABC 的面积 S 1 absin C 223 3题型之五 ：正余弦定懂得三角形的实际应用 利用正余弦定懂得斜三

17、角形,在实际应用中有着广泛的应用,如测量,航海,几何等 方面都要用到解三角形的学问,例析如下： （一 .）测量问题 1. 如图 1 所示,为了测河的宽度,在一岸边 选定 A ,B 两点,望对岸标记物 C,测得 CCAB=30 , CBA=75 , AB=120cm ,求河 的宽度； 分析：求河的宽度,就是求 ABC 在 AB DB 边上的高,而在河的一边,已测出 AB 长, A CAB , CBA ,这个三角形可确定； 图 1 解析：由正弦定理得 AC sin CBA AB , AC=AB=120m , sin ACB 1 1AB AC sin CAB AB CD ,解得 CD=60m ； 2

18、 2又 S ABC 点评：虽然此题运算简洁,但是意义重大,属于 （二 .）遇险问题 “不过河求河宽问题 ”； 2 某舰艇测得灯塔在它的东 15北的方向,此舰艇以 30 海里 /小时的速度向正东前进, 30 分钟后又测得灯塔在它的东 30北；如此灯塔四周 10 海里内有暗礁,问此舰艇连续向东航 行有无触礁的危急？ 解析：如图舰艇在 A 点处观测到灯塔 S 西 北 15B 30 东 在东 15北的方向上；舰艇航行半小时后到 达 B 点,测得 S 在东 30北的方向上； 在 ABC 中,可知 AB=30 0.5=15, ABS=150 , ASB=15 ,由正弦定理得 A CBS=AB=15 ,过点

19、 S 作 SC直线 AB ,垂足南 图 2 为 C,就 SC=15sin30； 这说明航线离灯塔的距离为 海里,而灯塔四周 10 海里内有暗礁,故连续航行有触 礁的危急； 点评：有关斜三角形的实际问题,其解题的一般步骤是： （ 1）精确懂得题意,分清已知 第 6 页,共 9 页学习必备 欢迎下载 与所求,特别要懂得应用题中的有关名词和术语； （ 2）画出示意图, 并将已知条件在图形中 标出；（3）分析与所争辩问题有关的一个或几个三角形, 通过合理运用正弦定理和余弦定理 求解； （三 .）追击问题 3如图 3,甲船在 A 处,乙船在 A 处的南偏东 45 北 B 方向,距 A 有 9n mile

20、 并以 20n mile/h 的速度沿南 偏西 15方向航行,如甲船以28n mile/h 的速度航 A 行,应沿什么方向,用多少 h 能尽快追上乙船？ 解析：设用 t h ,甲船能追上乙船,且在 C 处相遇； 45 在 ABC 中, AC=28t , BC=20t , AB=9 , 设 ABC= , BAC= ； =180 4515=120；依据余弦定理 15 2 AC 22 AB 2 BC 22 AB BC cos , , 图 3 C28t 81 20t 29 20t 1 22 128t 60t 27 0,（ 4t 3）（ 32t+9）=0,解得 t= 3,t= 9（舍） 432 AC=2

21、8 33 =21 n mile , BC=20 =15 n mile ； 44依据正弦定理,得 sin BC sin 15 3 253,又 =120, 为锐AC 21 14 角, 5 3 =arcsin 14 ,又 53 7214 2, arcsin 5314 4, 14 2甲船沿南偏东 4 arcsin 53 14 的方向用 3h 可以追上乙船； 4点评：航海问题常涉及到解三角形的学问,此题中的 ABC , AB 边已知,另两边未知, 但他们都是航行的距离,由于两船的航行速度已知,所以,这两边均与时间 t 有关； 这样依据余弦定理,可列出关于 t 的一元二次方程,解出 t 的值； 4如图,当

22、甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待 营救 甲船立刻前往救援, 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船, 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援（角度精确到 1 ）？ 北 20 B 解析：连接 BC,由余弦定理得 BC2 =20 +10 2 2 22010COS120=700.于 是 ,BC=10 7； sin ACB sin120 , 20 10 7A .10 .C 第 7 页,共 9 页sinACB= 3, 学习必备 欢迎下载 7 ACB90, ACB=41； 乙船应朝北偏东 71方向沿直线前往 B 处

23、救援； 解三角形单元测试 一 挑选题： 1. 已知 ABCA 30 , C 105 , b 8 ,就等于 D45（ ） ） ） 中, A 442B C432. ABCB 45 , C 60 , c 1 ,就最短边的边长等于 （ ） 中, B 6C1D3A 3 62223. 长为 5, 7, 8 的三角形的最大角与最小角之和为 A 90 B 120 C135 D150 abc 4. ABCcos A cos B cos C ,就 ABC 确定（ ） 中, A 直角三角形 B 钝角三角形 是 C等腰三角形 D等边三角形 5. ABCB 2 60 , b ac ,就 ABC 确定（ ） 中, A 锐

24、角三角形 B 是 钝角三角形 C等腰三角形 D等边三角形 6. ABC 中, A=60 , a= A 有 一个解 B 6 , b=4, 那么中意条件的 ABC D有两个解 C无解 不能确定 7. ABCb 8 , c 8 3 , S ABC 16 3 ,就 A 等（ ） 中, A 30 B 60 C于 30 或 150 D60 或 120 abc 8. ABC 中,A 60 , a3 ,就 sin A sin B sin C 等于 （ ） 如 13A 2 B 2C3D23: 2 两部分,就 cos A 9. ABC 中, A: B 1: 2 , C 的平分线 CD 把三角形面积分成 （ ） A 1B 1C3D032410. 假如把直角三角形的三边都增加同样的长度,就这个新的三角形的外形为 （ A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加