2023届高三数学一轮复习讲义 直线与椭圆的斜率定值问题（含答案）

1、直线与椭圆的斜率定值问题方案一：通法本类问题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识例1.已知椭圆C：的离心率为，且过点求椭圆C的方程；若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.练习1.已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为（1）求

2、椭圆C的方程；（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由法二：构建斜率的齐次式例2.已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为的两条直线分别交于异于点的两点.证明：当时，直线过定点练习2. 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0求l的斜率；反思练习1.已知椭圆经过两点，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于两点，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定

3、值；若不是，说明理由.2.已知椭圆， ，左、右焦点为，点在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.3.已知椭圆（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.直线与椭圆的斜率定值问题解析方案一：通法本类问题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的

4、方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识例1.已知椭圆C：的离心率为，且过点求椭圆C的方程；若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】 ；（）【分析】（I）由离心率可得关系，再将点坐标代入，可得间关系，又，解方程可得的值；（II）由的角平分线总垂直于轴，可判断直线的斜率互为相反数，由两直线都过点，由点斜式可写出直线方程一一与椭圆方程联立，消去或的值，可得一元二次方程，又点满足条件，可求得点的坐标，用表示再由斜率公式可

5、得直线的斜率为定值【详解】() 因为椭圆的离心率为, 且过点, 所以, . 因为, 解得, , 所以椭圆的方程为. ()法1：因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. 所以直线的方程为,直线的方程为.设点, ,由消去,得. 因为点在椭圆上, 所以是方程的一个根, 则, 所以. 同理.所以. 又. 所以直线的斜率为. 所以直线的斜率为定值，该值为. 法2：设点， 则直线的斜率, 直线的斜率. 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, 因为点在椭圆上, 所以， . 由得, 得, 同理由得, 由得, 化简得, 由得,

6、得. 得,得. 所以直线的斜率为为定值. 法3：设直线的方程为，点， 则, 直线的斜率, 直线的斜率. 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, 化简得. 把代入上式, 并化简得 . (*) 由消去得, (*) 则, 代入(*)得, 整理得,所以或. 若, 可得方程(*)的一个根为，不合题意. 若时, 合题意.所以直线的斜率为定值，该值为.练习1.已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为（1）求椭圆C的方程；（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是

7、否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】（1）（2）是定值，且定值为【分析】（1）根据题意列出关于，的方程组，解出，的值，即可求出椭圆方程；（2）设，所以，由得，代入得，所以，即，从而得到直线与直线的斜率之积为定值，且定值为【详解】解：（1）由题意可知：，解得，椭圆C的方程为：；（2）设，即，直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为方案二：构建斜率的齐次式例2.已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作斜率为的两条直线分别交于异于点的两点.证明：当时，直线过定点解：（1）由题意得得（2）由得设，则，令，则,设由，即则，直线过定点

8、练习2. 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0求l的斜率；解：把代入得，解得，设，即令，则，设，由，即，则，即，反思练习1.已知椭圆经过两点，为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于两点，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）为定值，【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程，建立的方程组，即可求出结论；（2）先求出直线斜率不存在时的值，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据已知求出关系，再将直线与圆方程联立，根据根与系数关系将坐标用表示，进而求出，即可得出结论.【

9、详解】（1）依题意，解得，所以椭圆方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为.若直线l的方程为，则M，N的坐标为，.若直线l的方程为，则M，N的坐标为，.当直线l的斜率存在时，可设直线，与椭圆方程联立可得，由相切可得，.又，消去得，设，则，.故为定值且定值为.综上，为定值且定值为.2.已知椭圆， ，左、右焦点为，点在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值【分析】（1）利用斜率乘积为，可构造出方程组，求解得

10、到和，从而可得椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，可得关于的一元二次方程；利用判别式大于零可求得的取值范围；利用韦达定理表示出和；根据，可得到；利用向量数量积坐标运算，代入韦达定理整理得到，解方程可求得结果.【详解】（1）由题意知：，又，可得：，椭圆的方程为：（2）设直线的方程为：将其代入，整理可得：则，得：设，则，又，且 又，所以又，化简得：，解得： 直线的斜率为定值3.已知椭圆（）的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1) (2) 为定值，该定值为0.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式，求得a2=4b2，将M代入椭圆方程，即可求得a