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1第六节 可降阶的高阶微分方程一.令则因此即同理可得依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .型的微分方程2例1. 求解解: ( 这里 )34二. 型的微分方程 (不显含y)设则于是原方程化为一阶方程设其通解为则再一次积分, 得原方程的通解56例4. 求解解: 设则代入方程得分离变量积分得即利用得于是有两端再积分得利用得因此所求特解为7三.型的微分方程(不显含x)设则故方程化为设它的通解为即得分离变量后积分, 得原方程的通解8例5. 求解代入方程得即两端积分得即再分离变量积分得故所求通解为解: 设则9例6. 解下列初值问题 解: 令则代入方程得积分得利用初始条件 ,得从而但根据积分得再利用得故所求特解为应取10为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例7. 设函数二阶可导, 且过曲线上任一点 P(x,y) 作该曲线的切线及 x 轴的垂线 ,区间 0, x 上以且恒为 1 ,求解: 设曲线由于所以于是在点处的切线倾角为满足的方程 .积记为记为11再利用 y (0) = 1 得利用得两边对 x 求导, 得方程定解条件为令方程化为则解得利用定解条件得再解得故所求曲线方程为12解将方程写成积分后得通解例 813解代入原方程解线性方程, 得两端积分,得原方程通解为例 914内容小结可降阶微分方程的解法降阶法逐次积分令则令则15 作业12-6 P29

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