【八年级数学讲义】实际问题与反比例函数-教师讲义

1、青 蓝 教 育 教 师 辅 导 讲 义年 级： 九年级 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：课程主题 实际问题与反比例函数授课类型T 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式C 运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题T 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识授课日期时段年 月 日 A段（8：00-10：00）【学习目标】1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.2根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识.【要点梳理】要点一、利用反比例函数解决实际问题基本

2、思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的 系数用字母表示.（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.要点二、反比例函数在其他学科中的应用当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.【典型例题】类

3、型一、反比例函数实际问题与图象1、小明乘车从南充到成都，行车的平均速度(km/h)和行车时间(h)之间的函数图象是（ ） A B C D【答案】B；【解析】，而南充到成都的距离S为定值.【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选择对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围.举一反三：【变式1】在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离S（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到20牛时，此物体在力的方向上移动的距离是_米【答案】1；提示：由题意知F，当F20时，S1.【变式2】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定

4、质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变与V在一定范围内满足，它的图象如图所示，则该气体的质量为（）. A. 1.4 B. 5 C. 6.4 D. 7【答案】D；提示：由题意知，当V5时， ，故.类型二、利用反比例函数解决实际问题2、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣的进价为80元，在营销中发现，该衬衣的日销售量(件)是日销售价元的反比例函数，且当售价定为100元时，每日可售出30件 (1)请求出关于的函数关系式(不必写自变量的取值范围)； (2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为2000元，则其单价应是多少元?【思路点拨】（1）因为y与x成反比例函数关系，可设出函数式，然后根据当售价

5、定为100元/件时，每天可售出30件可求出的值（2）设单价是元，根据每天可售出件，每件的利润是（80）元，总利润为2000元，根据利润售价进价可列方程求解【答案与解析】 解：(1)设所求函数关系式为，则因为当100时30，所以3000，所以；(2)设单价应为元，则( 80)2000，解得240经检验240是原方程的解，符合题意即其单价应定为240元件【总结升华】本题考查反比例函数的概念，设出反比例函数，确定反比例函数，以及知道利润售价进价，然后列方程求解的问题举一反三：【变式】某运输队要运300吨物资到江边防洪 (1)根据运输时间t(单位：小时)与运输速度v(单位：吨/时)有怎样的函数关系?

6、(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2小时之内运到江边，则运输速度至少为多少?【答案】解：(1)由已知得vt300 t与v的函数关系式为 (2)运了一半后还剩300150150(吨) t和v关系式变为，将t2代入，得，v75 剩余物资要在2小时之内运完，运输速度为每小时至少运75吨3、某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R()成反比例函数如图所示表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数关系式为 ( )A B C D【答案】A；【解析】设，由于点B(3，2)在反比例函数图象上，则有，可求得U6从而可求得函数关系式为【总结升华】从图象

7、上可以看出，这是一个反比例函数关系的问题电流I与电阻R成反比例关系，设，再求电压U.4、一个圆台形物体的上底面积是下底面积的，如果将其放在桌上(如图所示)，对桌面的压强是150，翻过来放，对桌面的压强是多少?【思路点拨】由物理知识可知，压力F，压强P与受力面积S之间的关系是，因为是同一物体，F的数值不变，所以P与S成反比【答案与解析】解：设下底面积是S0，则上底面积是由，且时，P150Pa，所以FPS150150 因为是同一物体，所以F150是一定值所以当时，答：当把圆台翻过来时，对桌面的压强是200【总结升华】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函

8、数关系，再运用这个函数关系式解答实际问题【巩固练习】一.选择题1. 一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系用图象表示大致为（ ）2. 日常生活中有许多现象应用了反比例函数，下列现象符合反比例函数关系的有（ ）购买同一商品，买得越多，花得越多；百米赛跑时，用时越短，成绩越好；把浴盆放满水，水流越大，用时越短；从网上下载一个文件，网速越快，用时越少.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 汽车油箱中有油20升，汽车行驶过程中每小时耗油升，其行驶时间（小时）与（升）之间的函数关系式为（ ）A. B. C. D. 4. 若为圆柱底面的半径，为圆柱的高当圆柱的侧面积一定

9、时，则与之间函数关系的图象大致是（ ）. 5. 如果变阻器两端电压不变，那么通过变阻器的电流与电阻的函数关系图象大致是（ ）6. 下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）A：小明完成100赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（）之间的关系.B：菱形的面积为48，它的两条对角线的长为（）与（）的关系.C：一个玻璃容器的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系.D：压力为600N时，压强P与受力面积S之间的关系.二.填空题7一定质量的氧气，密度是体积V的反比例函数，当V8时，1.5，则与V的函数关系式为_8. 由电学欧姆定律知，电压不变时，电流强度I与电阻R

10、成反比例，已知电压不变，电阻R20时，电流强度I0.25A则(1)电压U_V； (2)I与R的函数关系式为_；(3)当R12.5时的电流强度I_A；(4)当I0.5A时，电阻R_9. 一水桶的下底面积是桶盖面积的2倍，如果将其底朝下放在桌上，它对桌面的压强是500翻过来放，对桌面的压强是_10一个水池装水12，如果从水管中每小时流出的水，经过可以把水放完，那么 与的函数关系式是_，自变量的取值范围是_11若梯形的下底长为，上底长为下底长的，高为，面积为60，则与的函数关系是_ (不考虑的取值范围) 12.一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当V20时，当V40时，_.三.解答题13

11、. 池内装有12的水，如果从排水管中每小时流出的水是，则经过小时就可以把水放完 (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)画出函数图象的草图14. 2012某市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值3.5206元，已知全市生产总值全市户籍人口全市人均生产总值，设该市2012年户籍人口为(人)，人均生产产值为(元) (1)求关于的函数解析式； (2)2012年该市户籍人口为706684人，求该市人均生产产值(单位：元，结果精确到个位)：若按2012年全年美元对人民币的平均汇率计(1美元6.76元人民币)，该市人均生产产值是否已跨越6000美元大关?15.某机床加工一批机器零

12、件，如果每小时加工30个，那么12小时可以完成(1)设每小时加工个零件，所需时间为小时，写出与之间的函数关系式，画出图象；(2)若要在一个工作日(8小时)内完成，每小时要比原来多加工几个?【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】由题意，得 2. 【答案】C； 【解析】为反比例函数，为正比例函数.3. 【答案】C；【解析】由，可得.4.【答案】B；【解析】侧面积一定，h,r成反比例，考虑到实际问题，选第一象限内的图象.5【答案】B；【解析】应用物理学的知识：UIR.6.【答案】C；【解析】因为mV，当V30时，m30，故为正比例函数.二.填空题7.【答案】；8【答案】(1)5； (2)

13、； (3)0.4； (4)10.9【答案】1000【解析】压强与面积的乘积是一个定值.10【答案】；0；11.【答案】；12.【答案】0.68；三.解答题13.【解析】解：(1)由已知条件，得(2)如图所示14.【解析】解：(1)因为人均生产产值等于生产总值除以人口总数，所以(为正整数)；(2)因为2012年全市人均生产产值49819（元）而，所以该市2012年人均生产产值已成功跨越6000美元大关15.【解析】解：(1)需加工的零件数为3012360(个)与之间的函数关系式为图象如图所示(2)当8时，360845，453015 要在8小时内完成，每小时比原来要多加工15个 【巩固练习】一.选

14、择题1下列各选项中，两个变量之间是反比例函数关系的有( )(1)小张用10元钱去买铅笔，购买的铅笔数量(支)与铅笔单价(元/支)之间的关系(2)一个长方体的体积为50，宽为2，它的长()与高()之间的关系(3)(4)一个圆柱体，体积为100，它的高h()与底面半径R()之间的关系A.1个B.2个C.3个D.4个2. 现有一水塔，水塔内装有水，如果每小时从排水管中放水,则要经过小时求可以把水放完.该函数的图象应是如图所示中的（ ）3在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：体积10080604020压强607510

15、0150300则可以反映与之间的关系的式子是( )A.3000B. 6000C.D.4某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200的矩形学具进行展示设矩形的宽为，长为，那么这些同学所制作的矩形的长与宽之间的函数关系的图象大致是( )5下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( ) A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v()之间的关系B.长方形的面积为24，它的长与宽之间的关系C.压力为600N时，压强P(Pa)与受力面积S()之间的关系D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量与所盛水的体积V(L)之间的关系6. 某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球

16、内气体的气压P()是气体体积V()的反比例函数，其图象如图所示当气球内的气压大于120时，气球将爆炸为了安全起见，气球的体积应（ ）A不小于 B小于 C不小于 D大于二.填空题7甲、乙两地间的公路长为300，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为v()，到达时所用的时间为t(h)，那么t是v的_函数，v关于t的函数关系式为_8农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房(如图所示)，则需要塑料布与半径R()的函数关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)_9. 某种蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与可变电阻R()之间的函数关系如图所示，当用电器的电流为10A时，用电器的可变电阻

17、为_10如图所示的是一蓄水池每小时的排水量V（）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数图象(1)根据图象可知此蓄水池的蓄水量为_；(2)此函数的解析式为_；(3)若要在6h内排完水池中的水，那么每小时的排水量至少应该是_；(4)如果每小时的排水量是5，那么水池中的水需要_h排完 11.某电子商城推出分期付款买电脑的活动，一台电脑售价1.2万元，前期付款4千元，后期每个月付一定数目，则每个月的付款（万元）与付款月数之间的函数关系式是_.12.一定质量的二氧化碳，当体积为5时，密度为1.98，要使体积增加4，则它的密度为_.三.解答题13.某课外小组在做气体实验时，获得压强P()与体积V()

18、之间有下列对应数据：根据表中提供的信息，回答下列问题：(1)猜想P与V之间的关系，并求出函数关系式；(2)当气体的体积是12时，压强是多少?14. 你吃过拉面吗？实际上做拉面的过程中，渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条粗细(横截面积)的反比例函数，其图象如图所示 (1)写出与S的函数关系式； (2)求当面条粗1.6 时面条的总长度15.小王骑自行车以15千米/时的平均速度从甲地到乙地用了4小时（1）他坐在出租车从原路返回，出租车的平均速度v与时间t有怎样的函数关系？（2）如果小王必须在40分钟之内赶回，则返程时的速度至少为多少？【答案与解析】一.选择题1【答案】C； 【解析】（1），（2）（3）为反比例函数关系式.2.【答案】C