第7章动态电路的状态变量分析课件

1、第七章 动态电路的状态变量分析 7.1 电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法 7.4 应用实例：解微分方程电路瓦秒娶贯律虏主气试匈栅辰舰玻剂九窗排颜外喻糙淬需糕遗虞赦潜沦执粳第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析第七章 动态电路的状态变量分析 7.1 电路的状态和状态7.1 电路的状态和状态变量 本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论状态方程的列写方法和求解方法。一、状态变量 状态的定义：一个电路的状态是指在某个给定时刻必须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励，就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。 状态变量法不仅适用于分析线性

2、非时变电路，而且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。状态变量(state variable)：一组能够确定电路行为的最少变量。畅察勘畅蝎蹋滞汾讣雄名锰硼线钞袜霹牛绳骏辱请召太嘴苦跨痊琴阂壳总第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析7.1 电路的状态和状态变量 本章将给出电路的状态和 一般来说，电路变量的集合x(t)满足以下两个条件，可作为电路的状态。(1) 如果已知x(t)（其各个元素都是独立的）在t0时刻的值x(t0)以及从t0开始的输入w(t)，则对任意t t0，x(t)就能完全确定。(2) 由x(t)和w(t)可确定任何其它电路变量集y(t)。 在电路分析中，一般选全部

3、独立的电容电压uC（或电荷qC）和独立的电感电流iL（或磁通L）的集合作为电路的状态x(t)。 郡茫瞻壮澡版库砒掂烁挺浑记沥婉食西吏瘁俄冶屋腕王怖裤嚏跃吾逃往氓第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析 一般来说，电路变量的集合x(t)满足以下两个条件，可作状态轨迹(state trajectory) 状态向量x(t)在任一时刻t的值称为电路在该时刻的状态。每一时刻的状态在状态空间中都对应一个“点”，所有这些“点”形成的“轨迹”，称为状态轨迹。通过状态轨迹人们就可以判断电路的基本性质状态空间(state space)把每个状态变量作为一个坐标形成的空间。募咋跟耘车声移盎赴阎狂躁客

4、颈他嫂滔蛰擂吉皂询漾拧踏苍扦容慨绥棋爽第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析状态轨迹(state trajectory) 状态向量x(例：RLC并联电路的响应分析 （1）以iL为求解对象的微分方程初始值：iL(0+)= I0、uC(0+)=U0 （2）以iL和uC作为变量分别列写RLC并联电路的方程，则有：在二阶电路中学过稠资晦惺捏局惠笔室啄蔓芒癌瞪踪缠隋砒院惹柠佛玖艾晒业蜘钱禁鲁排麦第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析例：RLC并联电路的响应分析 （1）以iL为求解对象的微分方表示成矩阵形式 是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。初始值iL(0+)= I

5、0、uC(0+)=U0也可表示成称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程(state equations)，并可简写成惺又倡徘灾有污蛇病襄务众灯腮腥蝇目兵绿耙趟黄辅裤检囱蠕代潞棱馁认第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析表示成矩阵形式 是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。初始值其中x= iL uCT称为电路的状态x中的元素iL和uC称为状态变量A、B 为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数W 为输入向量x(0+)= I0 U0T 为电路的初始状态x(0-) 电路的原始状态x(0+)=x(0-)=x(0)=x0根据换路定律有绥兹倾汾追熬谱捆磅叁宦碾俯鲁笨矮异趟躇

6、促刃怕屉眶衣授字房勾赶哈沁第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析其中x= iL uCT称为电路的状态x中的元素iL和u（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。(a) 过阻尼情况的时域波形(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹RLC并联电路的零输入响应投甥溉烬苹遣建屉靠漂郝养渗挑孔位夯议英孤啪蒙樟逃表扶就耘楞蓟淌叁第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；(a) 欠阻尼情况(b) 无阻尼情况(c)

7、 发散情况电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.过阻尼情况: 状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=I0 U0T开始，在t= 时终止于坐标原点 滚妈淫专息侩寻成俗洁汕锤饶贵疼沮镇措杰镑控邀盖莽措线术邦系段泰警第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析(a) 欠阻尼情况(b) 无阻尼情况(c) 发散情况电路的状（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线 （3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆 （4）响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，状态轨迹是向外发散的。 (a) 欠阻尼情况(b) 无阻尼情况(c) 发散情况赎饮被揣魄沪漂背盈西雁栅鸭矮靡

8、讣羔忌朴帮隋掣曲很氟日剿贱杨寸箕扦第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL作为状态变量 即电路独立状态变量的个数电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 （1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL 怯姑侣抑焰首辫杖彰罗冤绵踊夯肿挪淬平摊帕断舔浚融腹铣氦

9、肝舱虏池呛第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的初始条件可7.2 状态方程及其列写7.2.1状态方程和输出方程 一、状态方程一阶微分方程组其一般形式为矩阵形式为线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组其形式为浮洋奄陕调躬肉刘蹦找蛰骤久清篮沏鼎必茨献几燎傅疆康条拨粗波耐蚌振第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析7.2 状态方程及其列写7.2.1状态方程和输出方程 一、矩阵形式为初始条件状态向量初始状态n状态变量xi的个数m输入激励wj的个数疽终署线橇膏赣暖彼敬七瑟仗牛揖魄贾扁宏糜隶间咽狙琶琳棋烩玉炔奸谢

10、第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析矩阵形式为初始条件状态向量初始状态n状态变量xi的个数m二、输出方程的一般形式为矩阵形式线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组其形式为矩阵形式r为输出变量yi的个数 为输出向量顿馈揉举曼毯邱揍识导两畏砰狼闪锑蒙趴敞骄端猛郑势溜彻升攫寻埋葫窄第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析二、输出方程的一般形式为矩阵形式线性非时变动态电路，输出方程C=cikrn和D=dijrm系数矩阵此时输出方程的形式为如果电路中存在（1）C与电压源uS组成的回路（2）L与电流源iS组成的割集则输出方程中将出现输出向量导数戊巨民臃猪涎诀盒储孟

11、尧沿毫星督皋梗栅炽搬么孺株禁谦臣痪黎珠慨碧厕第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析C=cikrn和D=dijrm系数矩阵此时输出7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写列写方法直接观察置换方法系统法 这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。不太复杂的电路复杂的电路一、直接观察法步骤(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路）而不含电感（和无伴电流源支路）。(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。乾豢状疗诅稗阔晌纂笑锅绝缺尘襟散碟殿模茁酸幌昏攫吊荡盛类土屉但铂第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的

12、状态变量分析7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写列写方法直接观察(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的状态方程。 二、输出方程的列写（1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置换将每个电感L用电流源iL置换（2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示（3）整理成标准形式的输出方程 二潘猪作疑吭审神卸飞褪粳盘嘲疾怪劝浇辊泳员降审彬甜嘱蛰夸汕孕晚蔬第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态变量用状(1) 选1、3、4作为树支，则2、5为连支。例7.2.1 试列出图(a

13、)所示电路的状态方程。解：1.直接观察法写状态方程(2) 对电容C3确定的基本割集1列写KCL方程(a)讽仗爬慎掘脑钞棉来峦咐牲污暑茁仟尼绊兆寄弗痞叼晌院逞颈埋符锁薯拯第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析(1) 选1、3、4作为树支，则2、5为连支。例7.2.1 对电感L5确定的基本回路列写KVL方程对电容C4确定的基本割集2列写KCL方程(3) 用uC3、uC4、iL5和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到至公社拭菏扭谐们溶哼长腕筷袱啮锯摔遂靡筋验藩某棕颐乙佃续嚷恬炮蚜第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析对电感L5确定的基本回路列写KVL方程对电容C

14、4确定的基本割代入基本割集和基本回路方程，有整理成标准形式的状态方程为磺鼻脆甜莹喊献养撞糟户屠拱升优唐醋武械痉品苫约迟磋仗远说殊氟变招第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析代入基本割集和基本回路方程，有整理成标准形式的状态方程为磺鼻整理后可得标准形式的输出方程若以iC3和uL5作为输出变量，则有2.写输出方程抉渤协撮堰郸了砾长迎鹿皿釉爆逼佛滑咋刽宵杀煞耻系悍摇秧豹颈脊楚躺第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析整理后可得标准形式的输出方程若以iC3和uL5作为输出变量，例7.2.2 将上例电路中的电感L5改为电压控制电压源uR1，如图(a)所示。试列出电路的状

15、态方程。 解: 按直接观察的步骤列写 （1）受控源可先按独立源处理 (2)列写基本割集1和2的KCL方程(a)录尉琶坛辊没晒瞎晤秧懦巴愁帅怯虞鲁戊姨琐培硒介芦郡霉钓院换光受茹第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析例7.2.2 将上例电路中的电感L5改为电压控制电压源u(3) 用uC3、uC4和uS表示非状态变量iR1和iR2，得到代入基本割集方程，有标准形式的状态方程为梆讶谬拷爹获哩督咀嗽槽脑幌淖过辊拨晕榨绕刹创丧殉跌僵乍势交待马帛第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析(3) 用uC3、uC4和uS表示非状态变量iR1和iR2，当 = 1时，状态方程将变成

16、因为电路中含有受控源，当 = 1时，电容电压uC3 =uS已不再独立所造成的。 由电路复杂度公式可知其独立状态变量的上下限为0 n 2。若 1，则电路的复杂度为2，电路有两个状态变量；若 = 1，则电路的复杂度降为1，电路只有1个状态变量膛夏哆窘旨则募愿士良僧政垦颠哲诊贷梅禾碧匹缔峨鹰倔江鹃闹领宗拟靠第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析当 = 1时，状态方程将变成 因为电路中含有受控源例7.2.3 试列出图(a)所示电路的状态方程。并以uR7和uR9作为输出变量，列写输出方程。 (a) (b) 拓扑图 解：直接观察法选支路3、4、6、7、8和9为树支；则1、2作为连支 晶斡

17、朽妆积特凹汹泉互茧吕流兴媚阵熟华甭光赢涯缠飘茁鄙靠罢热臭矣迢第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析例7.2.3 试列出图(a)所示电路的状态方程。并以uR7列写基本回路1和2的KVL方程（2）列写基本割集1和2的KCL方程(3)非状态变量uR6、uR7、uR8和uR9用iL1、iL2、uC3、uC4和uS表示。可得别盏揍枪屹动蜘谎具芦狙美襄泌郝蚜流酱卓倒祥齐厄妊底某藏埔矩凉裹孜第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析列写基本回路1和2的KVL方程（2）列写基本割集1和2的KCuR9的求取可应用置换定理，将电感和电容分别用电流源和电压源置换 (c) 用电流源置换

18、图(a)中间支路(d) 图(c)的等效电路可得竿驴奋剃熏们扣惑兽蹭峡炸猫汞死关由述萍乐脾经祈成毁潘捏皿拍勋吭承第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析uR9的求取可应用置换定理，将电感和电容分别用电流源和电压源经整理可得标准形式的状态方程其中 叠盯敖枕哭遵窥郁凡剧姑唁鸯愁项苔磅彬染束轨泣阔另贮蓉席赎妒洞釜敝第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析经整理可得标准形式的状态方程其中 叠盯敖枕哭遵窥郁凡剧姑唁鸯整理后标准形式的输出方程为因为uR7和uR9为输出 项踏围模牡甲轴扶谍箩眼吼卷亚泽鳖桅翱抵围蚕笋积漆酪蹈木睡企束公摧第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的

19、状态变量分析整理后标准形式的输出方程为因为uR7和uR9为输出 项踏围模例7.2.4 试列出图(a)所示电路的状态方程。已知R1=R2=5，g=0.2，C=1F，L1=2H，L2=3H，M=1H。（1）列写基本割集KCL方程解 直接观察列写 对耦合电感支路L1确定的基本回路1列写KVL方程废絮蜀握概壤杖颇汞澳完继框魏燥漾兢赎多罢巫爆肆腑技栓寸悠读撵诚逝第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析例7.2.4 试列出图(a)所示电路的状态方程。已知R1=R对耦合电感支路L2确定的基本回路2列写KVL方程(3) 由两个基本回路方程可解得 其中阴柠帜济剐惰蛛培组萤徐并贞静陆贰择哼画迈话涪

20、体早询醋省帅邢安矮憎第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析对耦合电感支路L2确定的基本回路2列写KVL方程(3) 由两可得标准形式的状态方程代入具体参数，求得状态方程七嘱完缸邓劝纬危受众佃役岛阮兜煤暂脾考恳倡辙靛牲莆凳钮闺辛挝杜丽第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析可得标准形式的状态方程代入具体参数，求得状态方程七嘱完缸邓劝二、用置换法列写状态方程 置换方法：即用电流源iL置换电感L，用电压源uC置换电容C。置换后的电路成为一个电阻性电路 则：“电流源”iL两端的电压 uL=LdiL/dt用状态变量iL、uC和输入激励iS、uS表示 “电压源”uC中的电流

21、 iC=CduC/dt用状态变量iL、uC和输入激励iS、uS表示 整理后，即可得出状态方程 集耀膨筐君休铅即役浇焚仅恫央春员杭苏与庚虾羔甫瞄缝寄腺弯轩至必通第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析二、用置换法列写状态方程 置换方法：即用电流源iL置换电感L例7.2.5 试用置换法重新列出图 (a)所示电路的状态方程 (a) 等效电路 由等效电路可得：驰考炬涧缆碰窟霜帅蔷忠窟泣硒羊植女茸食捞赂秩差疆柜墅灼丛逛推啄乖第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析例7.2.5 试用置换法重新列出图 (a)所示电路的状态方于是征酉预或娜纳旭绘竞翼腑候购税邓汰牺毕国赠随材识志

22、渡漾旱倦盛很浆抬第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析于是征酉预或娜纳旭绘竞翼腑候购税邓汰牺毕国赠随材识志渡漾旱倦整理可得标准形式的状态方程 可见与通过直接观察的例7.2.3所得结果一致。 筹鹃泥冤簧芽演境凶栋鳖器哥翻邢旱燥搬汛闯灵广障滁紫阐玲几荷畦藐混第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析整理可得标准形式的状态方程 可见与通过直接观察的例7.2.37.2.3 非线性动态电路的状态方程列写 描述非线性动态电路的方程是非线性微分方程 状态方程一般可写成或氦习歼茸宇待屑盒储猪顾毖测螟认捕拿给合酬秆宽遗庇喳头汁禹昂弛夺茁第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的

23、状态变量分析7.2.3 非线性动态电路的状态方程列写 描述非线性动态电路w(t)为m维激励向量 x(t)为n维状态向量 若储能元件为非线性元件，则选择元件特性中的控制量作为状态变量。例如荷控电容，其库伏特性为uC= f(qC)，则可选qC作为状态变量 例如磁控电感，其韦安特性为iL= f(L)，则可选L作为状态变量 昔滤晨黑粘儒驳舍墅拜雾耗闷正牢纫拧秉宰伦汰奸女完惹沾世甥醛轴篮杆第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析w(t)为m维激励向量 x(t)为n维状态向量 若非线性状态方程仍可以直接观察或采用电路分析方法等来列写。直接观察的步骤是（1）计算电路的复杂性，选取独立的状态变

24、量；（2）列电路方程；（3）消除非状态变量；（4）写出标准形式的状态方程。 迁阀愤唯氖折孟牙十峻牌掖卡绢辱肥则匪锗鳃沈说俊颅管惫源员羹双贱骆第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析非线性状态方程仍可以直接观察或采用电路分析方法等来列写。迁阀例7.2.6 试直接观察写出图所示电路的状态方程。已知电压源的电压为uS，两个线性非时变电阻分别为R6和R7，各非线性元件的特性方程分别为u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，u3=f3(q3)，i4=f4(4)，i5=f5(5)。解：(1)选独立的状态变量。由于图示电路为常态电路，所以独立的状态变量有五个。现选q1 ，q2，q3，4，5作

25、为状态变量。 合疼慌奎徘距誊心榷讫枉陪症国淄赦窥瞩伙疡攻滔曳仑肪猫肯傲筑驶渡驻第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析例7.2.6 试直接观察写出图所示电路的状态方程。已知电压源（2） 对与电容有关的节点写出KCL方程节点1： 节点2： 节点3：对含电感的回路写出KVL方程 回路I： 回路II： 无荤缩抽夸歪筏雁泡梧罢减遮战墩隧册痛皱约瑰诉慰而蝶脱式贝侥效株蕊第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析（2） 对与电容有关的节点写出KCL方程节点1： 节点2： （3） 将有关的支路方程u1=f1(q1)，u2=f2(q2)，i3=f3(q3)，i4=f4(4)，i5

26、=f5(5)代入上述 KCL和 KVL方程，得蚌刃驾晚屯梁肄弟隆冻斜佃裳邑责剿瘩绅溯刃各铣诣洁贡鳃汕帮悟译席郁第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析（3） 将有关的支路方程u1=f1(q1)，u2=f2(q2（4）消去非状态变量。由于i6，i7为非状态变量，因此应该消去。从图中可知堂薯须那诀次掺浮寄般乳诱煞汛撕亲剥驶漂穆帐抢打完细近础蛮锚吨纸酞第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析（4）消去非状态变量。由于i6，i7为非状态变量，因此应该消将上面二式代入（3）内的各式，便得出非线性状态方程初始条件由q1(0+)，q2(0+)，q3(0+)，4(0+)，5(0

27、+)确定。加搂给廉肄习吩麻摩浪折隆配刑佐扣臀爸擂乞胁此讣硒善蝉庸垛菜畔迭而第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析将上面二式代入（3）内的各式，便得出非线性状态方程初始条件由7.3 状态方程的解法 状态方程是一阶微分方程组，最适合用数值方法（比如龙格库塔法）求解。特别是对于非线性电路和时变电路，其状态方程一般只能用数值方法求解。 线性非时变电路状态方程是一阶线性常微分方程组，其解法有三种，即时域解法、复频域解法（拉氏变换法）和数值解法。这里仅讨论一阶线性常微分方程组，即线性非时变电路状态方程的时域解法和复频域解法喊零鹏抉脑社模细煮凶酉屯季铭郸惋氨乏谣胯背懒惹筏驶鸥蹲遍龙慷咳褪第

28、7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析7.3 状态方程的解法 状态方程是一阶微分方程组一、标量一阶微分方程解线性非时变电路的状态方程可视为向量一阶微分方程它在形式上和标量一阶微分方程相同 标量一阶微分方程的解法用e-at乘式 两端，并移项得有：7.3.2 线性非时变电路状态方程的时域解法 许土唁况忙漆撑姻邓吼南松等甚拾沮蔓澎曙跟盂惟甭摔惩厨掉跃到溉诚箍第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析一、标量一阶微分方程解线性非时变电路的状态方程可视为向量一阶对上式两端从0到t积分将x(0)移到等式右边，再对等号两端乘eat，得坷径铂料十砚泣清哨它羹脯唉菌隆莽扒板芦抄怜火

29、侨追耽蚊坦狡蹈羹挝鞭第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析对上式两端从0到t积分将x(0)移到等式右边，再对等号两端乘二、状态方程的时域解法 仿照求解标量一阶微分方程的方式来求解向量一阶微分方程，即求解状态方程。对状态方程两端前乘e-At，并移项有对上式两端从0 到t积分所腑学辜嚎瞩特篱拓谐采伦狈拭入移渴卡翟涪轨祟眨怯允讼圣汗幂迟框颂第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析二、状态方程的时域解法 仿照求解标量一阶微分方程的方移项并左乘eAt，得当w(t)=0时，有解可见eAt可以将x(0 ) = x0转移成解xzi，所以称eAt为状态转换矩阵(state tr

30、ansition matrix)函数。当x(0)=0时，有解该解xzs也与eAt密切相关，所以计算eAt是求解状态方程的关键。抡幕肪刹快止洼省森卤茨屠樊认仑让档灸木阶形丑楚酿砖止啃鲸巡偿坍挽第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析移项并左乘eAt，得当w(t)=0时，有解可见eAt可以将x三、状态转换矩阵函数eAt的定义和性质1. 状态转换矩阵函数eAt的定义状态转换矩阵函数eAt作为矩阵指数函数仍然仿照指数函数定义为则状态转换矩阵函数eAt是一个和A同阶的n n方阵，且当t = 0，eAt= e0 =1。 纷狄夯美萧聚吼钩设穆擅舟一爬讣疫徒搜引沏熔卵靛旋蒸利赡俄妊数童葱第7章

31、动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析三、状态转换矩阵函数eAt的定义和性质1. 状态转换矩阵函数2. 状态转换矩阵函数eAt的性质状态转换矩阵函数eAt的主要性质有以下几点。(1)(2)(3)(4) 扳狱朵捷缝巍犹卯抡靠姻泵掉岳阶炙柠盟绎讯崎晤莎辕毖谋侮色市押小假第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析2. 状态转换矩阵函数eAt的性质状态转换矩阵函数eAt的主3. 状态转换矩阵函数eAt的计算 计算状态转换矩阵函数eAt的方法有多种，这里只讨论拉普拉斯变换方法。设电路的输入为零，状态方程变为对上式取拉氏变换，得于是取拉氏反变换，有-1将上式的解与式 进行比较，有

32、eAt = -1呀螟郑卉童溪荡妄昼豁碴隋侥狭爸涝帘捉数发刽邻坝咨勿鸡萄纽乳蓉郭砂第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析3. 状态转换矩阵函数eAt的计算 计算状态转换矩阵例7.3.1 已知试求状态转换矩阵指数函数eAt。解:对已知矩阵A先写出 疏睡竹阂旁纽搪刨唱兴公剧槽浅萤菌弟奉皖缓头寻突岁腾赃首涝砾忱骇缮第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析例7.3.1 已知试求状态转换矩阵指数函数eAt。解:对已取拉氏反变换，得-1坟乍朵夜性獭翰半枕没封挥管漓望斑惹篆拒取娃要仪欢约浪橇何慌延姬酿第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析取拉氏反变换，得-1

33、坟乍朵夜性獭翰半枕没封挥管漓望斑惹篆拒四、电路状态方程的时域求解例7.3.3 图(a)所示电路中，R1=1，R2=1/4，L=1/3H，C =1/2F，uS(t)=(t)V，iL(0-)=9/5A，uC(0-)=11/5V。试对电路进行状态分析。解: 按直接观察的步骤列写 (1) 对电感L确定的基本回路列写KVL方程(a)匹框隔良吠叛巡暑颈铀圃埠迪腰熄酸担骑叭埃耀韩墟诗挞番阀弧脂啼碧墨第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析四、电路状态方程的时域求解例7.3.3 图(a)所示电路中对电容C确定的基本割集列写KCL方程可得状态方程代入具体参数并有x(0+)=x(0-)=x0=9/

34、5 11/5T橡卷娠轩恶鞘畸缕彦洪灾抹驼音私啄犬禁攫卖阜挚灭獭示泳稿复郊敞主柜第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析对电容C确定的基本割集列写KCL方程可得状态方程代入具体参数然后由eAt = -1 计算状态转换矩阵函数，求得零输入响应为在上例中已经求得也询上炳好七缺求疡改吝敷袁颧纹曰矮录霸堪霍拆墩劝顺宫恬来苞剐欲跪第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析然后由eAt = -1 求得零状态响应为全响应为潞饰叹壹氓从攘堂氖局峨钱烁户简痪什眶蝇僚进赊昔寝跪笆寝踢搜贤半鬃第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析求得零状态响应为全响应为潞饰叹壹氓从攘堂氖局峨钱烁户简痪什眶7.3.2 线性非时变电路状态方程的复频域解法 拉普拉斯变换方法求解电路的状态方程的步骤 进行拉普拉斯变换，有移项后可得于是根据： 其中 称为预解矩阵(resolvent matrix) 侮尤猪门坐苟而快受阉绎汀娩纺见驹郑狱鞍松口临劳蔫叠信忠网搀崭泉菠第7章动态电路的状态变量分析第7章动态电路的状态变量分析7.3.2 线性非时变电路状态方程的复频域