高等代数下半册复习概要课件

1、高等代数下半册复习高等代数下半册复习2一、二次型及其矩阵表示二、化二次型为标准型三、正定二次型的判定第五章 二次型2一、二次型及其矩阵表示二、化二次型为标准型三、正定二次型的二次型对称矩阵标准形对角矩阵合同变换线性替换非退化复二次型的规范形实二次型的规范形正惯性指数变元个数 n单位矩阵正定二次型正定矩阵顺序主子式全大于零合同定理1定理2定理7定理3定理4定理6负定、半正定、半负定、不定二次型定理8CAC=BX=CY3二次型对称矩阵标准形对角矩阵合线非复实正惯性指数单位矩阵正定把n阶实对称矩阵按合同分类，可以分成(n+1)(n+2)/2类.把n阶复对称矩阵按合同分类，可以分成n+1类.定理4 实

2、数域上每一 n 元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形：定理3 复数域上每一 n 元二次型都可经过非退化的线性替换化成规范形： 把n阶实对称矩阵按合同分类，可以分成(n+1)(n+2)/21、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形.方法：1）配方法; 2）合同变换法；3）初等变换法；4）正交替换法.基本题型51、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形.方法：基本题型52、实二次型的正定性的判断；实二次型其它类型的判断.方法：1）用正定二次型的定义；2）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准 形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性;3）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正

3、定.4）计算矩阵的特征值，若全大于0，则正定.2、实二次型的正定性的判断；实二次型其它类型的判断.方法：第六章 线性空间一、概念第六章 线性空间一、概念第六章 线性空间 如何判断非空集合V为数域P上的线性空间？V上定义的加法与数量乘法运算封闭；满足如下八条运算规则： 加法四条：数乘两条：混合两条：第六章 线性空间 如何判断非空集合V为第六章 线性空间 什么叫线性空间V的维数、基与坐标？n维：有n个线性无关向量，没有更多无关向量基：这n个线性无关的向量坐标：任何向量在基下的线表系数第六章 线性空间 什么叫线性空间V的维数、基与坐标第六章 线性空间 基变换A为由基I到基II的过渡矩阵，可逆；A中各

4、列表示基II中各向量在基I中的坐标 基II基I坐标变换 X=AY，其中Y为向量在基II下坐标，而 X为该向量在基I坐标第六章 线性空间 基变换A为由基I到基II的过渡矩阵第六章 线性空间 如何判断线性空间V的非空子集为子空间？对加法和数量乘法运算封闭第六章 线性空间 如何判断线性空间V的非空子集为子空间？对第六章 线性空间 ：由 生成的子空间生成子空间的基与维数齐次线性方程组的解空间的基与维数第六章 线性空间 第六章 线性空间 子空间的交与和都为子空间如何求两个子空间的交与和？（见例题习题）如何求交与和子空间的基与维数？ （见例题习题）第六章 线性空间 子空间的交与和都为子空间如何求两个第六章

5、 线性空间 维数公式：第六章 线性空间 维数公式：第六章 线性空间 判别方法：分解惟一 零向量分解惟一 交为零子空间（即交只有零向量） dim(W)=dim(V1)+dim(V2)子空间的直和：注：子空间的补空间一般不唯一，但正交补是唯一的.第六章 线性空间 判别方法：分解惟一子空间的直和：注：第六章 线性空间 线性空间V到线性空间V的同构映射： 同构同维任意dim(V)=n的线空V选定一组基 后：第六章 线性空间 线性空间V到线性空间V的同构映射：高等代数下半册复习概要课件补空间一般不唯一补空间一般不唯一7. 证明 的方法：1)证明是子空间，2)证明是和， 3)证明直和7. 证明 的方法：1

6、)证第七章 线性变换5. 值域与核第七章 线性变换5. 值域与核第七章 线性变换 如何判断一个线空V上的变换为线性变换？ 映射A ： A = A + A A A 第七章 线性变换 如何判断一个线空V上的变换为线性变换？ 第七章 线性变换 线性变换的运算两线变乘积：(AB) A (B 也为线变；两线变加法：(A+B) A +B 亦线变；数域P中的数与线变的数量乘法： kA=KA kA也为线变L(V)=数域P上线空V上的所有线变=构成P上一个线空在线空V中选定一组基后，每个线变都与一个矩阵对应L(V)与 同构，故维数是可逆的线变：若AB=BA=恒等变换，则B为A的逆变换第七章 线性变换 线性变换的

7、运算两线变乘积：(AB) 第七章 线性变换 线性变换的矩阵：A在线空V中选定一组基后，每个线变A都与一个矩阵A对应矩阵A或是可逆的，或是不可逆的 欧式空间中，正交变换在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，对称变换在一组标准正交基下的矩阵是实对称矩阵.第七章 线性变换 线性变换的矩阵：A在线空V中选定一组第七章 线性变换 利用线性变换的矩阵求向量的像 设A ，且 则A第七章 线性变换 利用线性变换的矩阵求向量的像 第七章 线性变换 同一线性变换在不同基下矩阵的关系：设A ， A ， 且则有 A相似于B，记为AB第七章 线性变换 同一线性变换在不同基下矩阵的关系：相似矩阵的性质：(1) 若AB，则f

8、(A)f(B)，其中 f(x)=amxm+am-1xm-1+a1x+a0是个多项式（2）相似的矩阵有相同的特征多项式，但反之不然相似矩阵的性质：（2）相似的矩阵有相同的特征多项式，但反之不第七章 线性变换线性变换的特征值与特征向量： A任选一组基：A矩阵A的特征多项式：如何确定线性变换的特征值和特征向量？矩阵A的特征值与特征向量： 第七章 线性变换线性变换的特征值与特征向量：任选一组基：A第七章 线性变换 特征子空间：维数就是属于特征值 的线性无关的特征向量的最大个数A的所有特征值的和=A的迹A的所有特征值的积=A的行列式A不可逆 0是A的特征值第七章 线性变换 特征子空间：维数就是属于特征值

9、 (1) k 是kA的特征值（k为任意常数），而且x 仍然是矩阵kA属于特征值 k的特征向量； (2) m是Am的特征值，而且x仍然是矩阵Am属于特征值 , m 的特征向量; (3)若A可逆，则1为A1的一个特征值，而且x仍然是矩阵A1的属于特征值 1的特征向量。若是A的特征值, x 是A的属于 的特征向量。则 (1) k 是kA的特征值（k为任意常数），而 判断线性变换在某组基下是否能为对角矩阵？ 判别准则是线性变换是否有n个线性无关的特征向量属于不同特征值的特征向量是线性无关的如何具体求出一组基，使线变在其下的矩阵是对角的？ 任选一组基：A求出A的特征值与相应的特征向量（应该共有n个）把这

10、n个特征向量按列写成矩阵T则基 即为所求线性变换在这个新基下的矩阵为对角的，对角线上是特征值第七章 线性变换 判断线性变换在某组基下是否能为对角矩阵？ 判别准第七章 线性变换 线性变换的值域AV：线性变换作用在线空V上的全体像集合线性变换的核：所有被变换成零向量的向量组成的集合值域与核都是子空间值域的维数称为线变的秩核的维数称为线变的零度值域的维数=线变的秩=线变在基下矩阵的秩值域一组基的原像与核的一组基合起来就是V的一组基线变的秩+线变的零度=线空的维数有限维线空的线性变换，单射满射设 为V的一组基，则值域=L(A , A )第七章 线性变换 线性变换的值域AV：线性变换作用在线空第七章 线

11、性变换 线性变换的不变子空间：W是线空V的子空间，如果W中的向量在线变下仍在W中如何判断或证明不变子空间第七章 线性变换 线性变换的不变子空间：W是线空V的子空间高等代数下半册复习概要课件第九章 欧几里得空间第九章 欧几里得空间高等代数下半册复习概要课件第九章 欧几里得空间 如何判定欧几里得空间？实数域R上的线空V，若定义了内积，满足 第九章 欧几里得空间 如何判定欧几里得空间？实数域R上第九章 欧几里得空间 向量的长度：向量的夹角：三角不等式：向量的正交或垂直：第九章 欧几里得空间 向量的长度：向量的夹角：三角不等第九章 欧几里得空间 基的度量矩阵：设 则其中A为基的度量矩阵，不同基的度量矩

12、阵是合同的设基 的度量矩阵为A， 基 的度量矩阵为B， 且有 则有度量矩阵是实对称正定的第九章 欧几里得空间 基的度量矩阵：设其中A为基的度量第九章 欧几里得空间 正交向量组：一组非零向量，两两正交正交向量组是线性无关的标准正交基：单位的、两两正交的基标准正交基下，第九章 欧几里得空间 正交向量组：一组非零向量，两两正第九章 欧几里得空间 会用Schimidt正交化算法(标正基II)=(标正基I)*正交矩阵由标正基到标正基的过渡矩阵是正交矩阵由标正基I及正交矩阵的过渡矩阵可得基II为标正基正交矩阵的行列式等于1（第一类的）或-1（第二类的）正交矩阵：第九章 欧几里得空间 会用Schimidt正

13、交化算法(标第九章 欧几里得空间 判断欧空V到欧空V的同构？ 在标正基下，每个n维欧空都与 同构两个有限维欧空，同构同维第九章 欧几里得空间 判断欧空V到欧空V的同构？ 第九章 欧几里得空间 正交变换：（线性）变换基础上保持内积不变 (A , A )=对于线性变换，以下四命题等价：正交变换保持长度不变标正基的像仍是标正基在任一组标正基下的矩阵是正交矩阵正交变换是一个欧空到其自身的同构映射第九章 欧几里得空间 正交变换：（线性）变换基础上保持内积第九章 欧几里得空间 两个子空间的正交向量与子空间的正交子空间两两正交，则其和为直和子空间V1的正交补V2：V1+V2=VV1V2子空间V1的正交补是唯一的第九章 欧几里得空间 两个子空间的正交向量与子空间的正交第九章 欧几里得空间 实对称矩阵的特征多项式的复根都为实数对称变换：(A , )=( , A )对称变换的不变子空间的正交补也是该对称变换的不变子空间实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交第九章 欧几里得空间 实对称矩阵的特征多项式的复根都为实数第九章 欧几里得空间