n维Euclid空间中的点集的初步知识

第五章多元函数微分学及其应用推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同第五章多元函数微分学及其应用推广一元函数微分学多元函数1第一节n维Euclid空间中

点集的初步知识第五章1.2中的点列的极限1.1n维Euclid空间1.3中的开集与闭集1.4中的紧集与区域第一节n维Euclid空间中

点21.1、n维Euclid空间1.1n维Euclid空间规定：加法数乘成为一个n维实向量空间。若定义内积成为一个n维Euclid空间。1.1、n维Euclid空间1.1n维Euclid3中的长度：中的长度：41.2中的点列的极限定义1.1

设是中的一个点列，其中又设是中的一固定点，若当时，即使得则称点列的极限存在，且称为它的极限，记作这时也称点列收敛于1.2中的点列的极限定义1.1设是5定理1.1则点设点列都有定理1.2设是中的收敛点列，则(1)点列的极限唯一；(2)是有界点列，(3)若则(4)若收敛于，则它的任一子列也收敛于定理1.1则点设点列都有定理1.2设是中的收6定理1.3中的有界点列必有收敛子列.(中的点列的收敛子列的极限也称为的极限点）设是中的点列，若使得则称是中的基本点列或Cauchy点列.定理1.4中点列收敛于中的点是中的Cauchy点列.定理1.3中的有界点列必有收敛子列.(中的点列的7定义1.2则称为设是中的一个点集，若存在中的点列使得的聚点.的所有聚点构成的集合称为的导集.记作集合称为的闭包.若但则称为的孤立点.若则称为闭集.注：(1)集合的聚点一定属于吗？(2)什么样的集合对极限运算封闭？1.3中的开集与闭集定义1.2则称为设是中的一个点集，若存在中的点8定义1.3设称点集，称为以为中心、为半径的开球或邻域，为点的去心邻域.注：收敛于可以描述为：点列使得定义1.3设称点集，称为以为中心、为半径的开球或9定理1.5设是中的一个点集，则即为的聚点证：存在中的点列且使得即的任意去心邻域包含中的点.当且仅当于是由取且于是定理1.5设是中的一个点集，则即为的聚点证：存10注：若则为闭集。单点集和有限集都是闭集。定义1.4设的内点.则称是集(1)若存在使由的所有内点构成的集合称为的内部，记作(2)若存在使则称是集定理1.5设是中的一个点集，则即为的聚点的任意去心邻域包含中的点.当且仅当的外点.由的所有外点构成的集合称为的外部，记作注：若则为闭集。单点集和有限集都是闭集。定义11(3)若对任何也含有不是中的点，由的记作中既含有中的点，则称是集的边界点.所有边界点构成的集合称为的边界，注：且三者不交。(3)若对任何也含有不是中的点，由的记作12对于中的任一点集必有特别的，开球与它的边界之并称为闭球。例1.2对于中的任一点集必有特别的，开球与它的边界之并称13n维Euclid空间中的点集的初步知识14定义1.5设，若即A中的点全是A的内点，则称A为开集.定理1.6

是开集是闭集.注：中的开区间中的闭区间注：一个点集是不是“非开即闭”？定义1.5设，若即A中的点全是A的内15定理1.7在n维Euclid空间中,开集有下列性质：(1)空集φ与空间是开集；(2)任意多个开集的并是开集；(3)有限多个开集的交是开集.利用对偶原理：(1)空集φ与空间是闭集；(2)任意多个闭集的交是闭集；(3)有限多个闭集的并是闭集.定理1.7在n维Euclid空间中,开集有下列性质：(161.4、中的紧集与区域设是中的一个点集，若存在一个常数使得对于所有的都有则称是有界集。否则称为无界集.定义1.6设是中的一个点集，若是有界闭集，则称为紧集。定义1.7设是中的一个点集，若中的任意连通的开集称为区域.两点都能用完全属于的有限个线段连接起来，则称是连通集.区域与它的边界的并称为闭区域.1.4、中的紧集与区域设是中的一个点集17设是中的一个点集，若连接中的任意两点的线段都属于，即若则称是中的凸集.凸集都是连通的.则设是中的一个点集，若连接中的任意两点的线段都属18欧几里得

中文名：欧几里得外文名：希腊文：Ευκλειδη?国籍：希腊出生日期：公元前300年（在世时期）职业：数学家主要成就：欧几里得几何代表作品：几何原本，已知数，圆形的分割，反射光学，现象，光学欧几里得中文名：欧几里得19欧几里德空间(EuclideanSpace)：简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的空间。这是有限维、实的内积空间的“标准”例子。欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。

欧几里德空间(EuclideanSpace)：简称为欧氏空20第五章多元函数微分学及其应用推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同第五章多元函数微分学及其应用推广一元函数微分学多元函数21第一节n维Euclid空间中

点集的初步知识第五章1.2中的点列的极限1.1n维Euclid空间1.3中的开集与闭集1.4中的紧集与区域第一节n维Euclid空间中

点221.1、n维Euclid空间1.1n维Euclid空间规定：加法数乘成为一个n维实向量空间。若定义内积成为一个n维Euclid空间。1.1、n维Euclid空间1.1n维Euclid23中的长度：中的长度：241.2中的点列的极限定义1.1

设是中的一个点列，其中又设是中的一固定点，若当时，即使得则称点列的极限存在，且称为它的极限，记作这时也称点列收敛于1.2中的点列的极限定义1.1设是25定理1.1则点设点列都有定理1.2设是中的收敛点列，则(1)点列的极限唯一；(2)是有界点列，(3)若则(4)若收敛于，则它的任一子列也收敛于定理1.1则点设点列都有定理1.2设是中的收26定理1.3中的有界点列必有收敛子列.(中的点列的收敛子列的极限也称为的极限点）设是中的点列，若使得则称是中的基本点列或Cauchy点列.定理1.4中点列收敛于中的点是中的Cauchy点列.定理1.3中的有界点列必有收敛子列.(中的点列的27定义1.2则称为设是中的一个点集，若存在中的点列使得的聚点.的所有聚点构成的集合称为的导集.记作集合称为的闭包.若但则称为的孤立点.若则称为闭集.注：(1)集合的聚点一定属于吗？(2)什么样的集合对极限运算封闭？1.3中的开集与闭集定义1.2则称为设是中的一个点集，若存在中的点28定义1.3设称点集，称为以为中心、为半径的开球或邻域，为点的去心邻域.注：收敛于可以描述为：点列使得定义1.3设称点集，称为以为中心、为半径的开球或29定理1.5设是中的一个点集，则即为的聚点证：存在中的点列且使得即的任意去心邻域包含中的点.当且仅当于是由取且于是定理1.5设是中的一个点集，则即为的聚点证：存30注：若则为闭集。单点集和有限集都是闭集。定义1.4设的内点.则称是集(1)若存在使由的所有内点构成的集合称为的内部，记作(2)若存在使则称是集定理1.5设是中的一个点集，则即为的聚点的任意去心邻域包含中的点.当且仅当的外点.由的所有外点构成的集合称为的外部，记作注：若则为闭集。单点集和有限集都是闭集。定义31(3)若对任何也含有不是中的点，由的记作中既含有中的点，则称是集的边界点.所有边界点构成的集合称为的边界，注：且三者不交。(3)若对任何也含有不是中的点，由的记作32对于中的任一点集必有特别的，开球与它的边界之并称为闭球。例1.2对于中的任一点集必有特别的，开球与它的边界之并称33n维Euclid空间中的点集的初步知识34定义1.5设，若即A中的点全是A的内点，则称A为开集.定理1.6

是开集是闭集.注：中的开区间中的闭区间注：一个点集是不是“非开即闭”？定义1.5设，若即A中的点全是A的内35定理1.7在n维Euclid空间中,开集有下列性质：(1)空集φ与空间是开集；(2)任意多个开集的并是开集；(3)有限多个开集的交是开集.利用对偶原理：(1)空集φ与空间是闭集；(2)任意多个闭集的交是闭集；(3)有限多个闭集的并是闭集.定理1.7在n维Euclid空间中,开集有下列性质：(361.4、中的紧集与区域设是中的一个点集，若存在一个常数使得对于所有的都有则称是有界集。否则称为无界集.定义1.6设是中的一个点集，若是有界闭集，则称为紧集。定义1.7设是中的一个点集，若中的任意连通的开集称为区域.两点都能用完全属于的有限个线段连接起来，则称是连通集.区域与它的边界的并称为闭区域.1.4、中的紧集与区域设是中的一个点集37设是中的一个点集，若连接中的任意两点的线段都属于，即若则称是中的凸集.凸集都是连通的.则设是中的一个点集，若连接中的任意两点的线段都属38欧几里得

中文名：欧几里得外文名：希腊文：Ευκλειδη?国籍：希腊出生日期：公元前300年（在世时期）职业：数学家主要成就：欧几里得几何代表作品：几何原本，已知数，圆形的分割，反射光学，现象，光学欧几里得中文名：欧几里得39