新人教版初中数学9年级下册28章教案学案

28章：锐角三角函数定义：如图在△ABC中，∠C为直角把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA；sinA=sinAc把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦cosAcosAcb把锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切记作cosA。cosAa2、三角函数值特殊角的三角函数值012223211322212003313在0A90A的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小.sinA是增函数，cosA减函数。 锐角三角函数值都是正数。2、同角三角函数关系：sin2Acos2A1tantancot

sin；cotcos

cos；sin、互余锐角的三角函数关系 sinAcosBcos(90A)cosAsinBsin(90A)解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型斜边c和锐AB=90°-A 1B=90°-A，b=acotA，c ，s acotsin c 2b2，由tanAa，求角A，B=90°-b1S=2直角边a和斜b c2a2，由sinAaA，B=90°-c S=ac2第一部分：锐角三角函数的运算例 ，则sinD,cosD,sinE,cosE2[考 ]本例主要是考查锐角三角函数的概2[参考答案

33

22

，cosE= 例：（A）都没有变 （B）都扩大4（C）都缩小4 （D）不能确[考点本例主是考查锐三角函的义和性质，过计算以知道[参考答案].故应选例3：已知：A为锐角，并且sinA5，则cosA的值 [考点]本例主要是考查锐角三角函数的定义[参考答案]cosA4：（08年密云一模）6．正方形网格中，∠AOBtan∠AOBＡ．

Ｂ．2AOB AOB1 Ｄ．2[参考答案]D刻光与地面的夹角最小为a,夏至这一天的正午时刻光与地面的夹角最大为(如图1-15-23.想为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷BCD.要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内.查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:∠α=24°36′,∠β=73°30′,又得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件,(1)当光与地面的夹角为α时,要想使光刚好全部射入室内;(2)当光与地面的夹角为β时,要想使光刚好不射入室内,请你借助下面的图形(如图),帮助算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m)[考点]本例主要是考查数形结合，构建直角三角形，再应用转化思想，使已知角得到转化，即可求得BC、CD的长[参考答案].解:在Rt△BCD中 3[说明]求解时应特别注意发挥数形结合的作3

x25xsin10的一个根，求cos的值（为锐角[考点]这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．[参考答案]cos 5例7：求下列各

450

；

sin600

4sin

cos300[考点]本例主要是考查特殊角的三角函数值，注意sin90°=1[参考答案]（1）3（2） （连结CE．求sinACE和tanACE[考点]本例主要是考查角的三角函数值的定义及在四边形中应用EEFACFF∵四边形ABCD是正方形 FBAD90D90,AC平分ADDC∴CAD45，AC1

∴AEDE

12设AEDEx，则ADDC2x，AC22x，CE Rt△AEFEFAEsinCAD

x，AFEF222

x．……2222CFACAF22x 2x 2x 3 2∴sinACEEF2 tanACEEF

2x22x 3

10 41 5 2宣传条BC，F处，看条幅顶B，测得仰角为30.再往条幅方20米到达点E处，看条幅顶端B，测得仰角为60，求宣传条幅BC的长.(的身高不计，结果321米;可能用到的数据1.73,1.4132[考点]主要解直角三角形中仰角俯角的应320=10173到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度．[考点]主要解直角三角形中方向角的应NPBC且有PB⊥AC，ANPBCAB＝PB＝AP ＝k k BC＝PBA ＝ k 2 k22

6k32

6k632 6可知船的航行速度为v 32 第二部分：锐角三角函数的应用例11．，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小200km的速度沿北偏60°BF移动500km的范围内是受台风影仰角为60；爬到楼顶D处测得大楼AD的高度为18米，同时测得[考 ]主 解直角三角形中仰角俯角的应3解:BE=xRt△BDE中，∵tan30BE，∴x3

．∴DE=3x3x3x∵tan60BC，

例2（08年平谷一模）17．，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：身高1.78米，她乘电梯会有碰头吗？ 0.45cos270.89，tan270.51[考点]主要解直角三角形中仰角俯角的应解：作CDACABD则∠CAB27 1在Rt△ACD中 2

·4二、综合问题

二楼 4m 一 例 236 1.414 1.732 2.449236[考点]主要解直角三角形中坡度、坡脚、坡距的应AFABsin45

1022222BFAF 23EFAFtan60102 1063BEEFBF

6

2)10(2.4491.414)10.4（米62 62 DA418.已知：如图5，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=120°，AD=5，CD=6，tanB=3，求：梯形ABCD的面积DAC解：过DDM⊥BC于M，过AAN⊥BC于N则∠DMC=∠ANB=90°∴四边形ANMD3333 Rt△ABN,(535(535 3)3393

设AN=3k3 3 举，关键是掌握这种处理实际问题的思路，达到举一反三的效果，不管题目背景如何变化，但它万变不离其宗，只要有了这种方法，任何问题都可以迎刃而解．三．适时训练（一）精心选一选AC=6,则sin∠ABD的值为 23

3

3

2

3，

3，

3，-

，- 每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让感受到了国旗的神圣．某同学站在离的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．6.9米B．8.5C．10.3D．12.0某地夏季中午，当移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，（如6所示AC的宽度应为（）

如图,测量在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿着倾角为30°的山坡前进1到达D处,在D处测得山顶B的仰角为60°,则山的高BC大约是(精确到 366.00m;B.1482.12m;C.1295.93m;D.160°，CD（ 8（08年西城二模）.在RtABC中C

,cosB=（5 9（07年昌平一模）5.三角形在正方形网格中的位置，则的值是 B. C.D.10（07年昌平二模）7ABCAB12 312sinA2

cosB

0，则C 5A．D．345512.如图,P的海拔高度,M点作为观测点,从M点测量山顶P的仰角(视线在水平线上方,与水平线所夹的角)为30°,在比例尺为1:50000的该地区等高线地形图上,量得这两点的图上距离为6cm,则山顶P的海拔高度为()732m;B.1982m;C.3000m;D.3如图2，假设赤道上一点D在AB上，∠ACB为直角，可以测量∠A的度数，则AB等于 cos

cos

sin

sin A

C、800 D、800

（二）细心填一填

45272 2723如图2所示，光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角， 约为10米，则大树的高约 （

2≈1.41，3≈1.73）17 后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图3所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为30°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少3 322（073. 2 则ΔABC三个角的大小关系 。答案：三、认真答一答如图,在△ABC中,ADBC边上的高,tanB=cos∠DAC.若sinC=,BC=12,求AD的长答案.(1)证明:在Rt△ABD和Rt△ADC中,∵tanB=,cos∠DAC=,又 (1)知BD=AC=13k,∴13k+5k=12,解得k=,23．.已知,如图,A、B、C三个村庄在一条东南的公路沿线上,AB=2km.在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°,今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5km2的水塘外准备把剩余的一半作为绿化用地试求绿化用地的面积.(结果精确到答案:在Rt△ABD中,∵∠ABD=90°,∠DAB=45°,在Rt△BCD中,∵cot∠ ,∠DCB=28°,∴BC=BD.cot∠BCD=2cot28∴S△ACD=AC·BD≈5.76(km2).∴S绿地≈2.6km2.答:绿化用地的面积约为24．我市某区为提高某段海堤的防海潮能力,96m的一堤段(原海堤的横断面如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m,背水坡度由原来的1:1改成1:2,已知原背水坡长AD=8.0m,求完成这一工程所需的土方,要求保留两个有效数字.(注:坡度=坡面与水平面夹角tan∠DAH=1:1=1,,∴AH=DH=tan∠F=EG:FG=1:2,,=+1.6, F翻折梯形ABCD，使点C重合于点A，折痕分别交边CD、BC于点F、E，若AD=3， ADF 1过DDM⊥BCBCM∴∵等腰梯形 2 ∴ 3 4 在△BAE中 5 100C处，测得ACB68.（1）求所测之处的河宽（sin680.93,cos680.37,tan682.48.22（1）RtBAC中ACB68ABACtan681002.48248（米BD⊥ABCOBCOB答案（1）证明:如图,AO并延长交⊙OE,BE,COB∴ COB∵∠E=∠C, ∴∠EAB+∠BAD∴AD是⊙O的切 25∵AE=2AO=6, 5AE2∴AE2

3∵∠E=∠C=∠BAD,∴cosBAD∴ABBE

4 425 ∴AD12 55B到DCAE 在小亭子和一棵小树的B到DCAE°B的仰角∠BAC＝60D的仰角∠DAE＝45°23 1.41 23∴∵ 1ACE的中点 23∴tanBACBC3

33 43 5COB求证：PD是⊙OCOB3 ，求PD的长 1∴弧CD=1∴12 PAB∵2

PCD1E2OPCD1E2O2∴PABBOD 1 即∴PD是⊙O的切 2∵AB为⊙O∴∠ACB∴PDCE，∠CED 3∴EB= 4在Rt△ABC中 =∴cosA 3∵AC=6,cosA 5∴AB=10∴BC=8∴CE=PD=2

BC 5已知：如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为弦，点P为一点当点P与点C关于直线AB对称时（如图①），求PC长；（2）当点P为 求PC长．答案：(1)在⊙O中，如图①∵AB是直径，∴∠ACB＝90P与点CAB对称,CD＝DP．∴由三角形面积得CDABAC6

∵AB＝10ACBC34，∴由勾股理求得AC＝6，BC＝8．∴CD＝ 4.8．∴PC＝2CD＝9.6．(2)过点B作BE⊥PC于点E，连结 2＝BE＝ ∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠BEC＝90°，tan∠P=an∠A．∴ 2626222．∴EP

ACBE

22 22 P处，测得点C的仰角为45，已知OA1001（即tanPAB1）O PPE⊥OBPF⊥CO于点 1∴PFOE为矩形Rt△AOC中3 3（米 2∵tan∠PAB=PE 3PE=OF=x∴FC=OC－OF=1003∴ 分3∴1002x100 x，x100(31)（米）.333答：电视塔 高为 米，点 到 距离为100(333米 5COD求证：BE为⊙OCOD12

1AB⊥BE.∴BE是⊙O的切 2（2）∵MCD∴CM=12

=12∴3∴

=123 32∵CM⊥AB∴AMCM ∴CM2AMBM∴32AM32 4∴AB=AM+BM=6+3 5 即：⊙O的直径的长为152633（08年大兴区二模）17.如图,电线杆AB直立于地面上，它的 恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45角，A60，CD4m，BC(4 22)m，则电 62答 266

.32中，∠E=30°，所以AB=BEtan30°=66 323

（m）.∴电线杆AB62米34（本题满分5分）AB是半⊙OACAB30°的角ACCD若OA2AC长 ∠ACB=90Rt△ABC

332333AC=3在B镇的北偏西30方向．C镇周围20km的圆形区域内为保护区，有关部门3 3 答案：作CDABD，由题意知：∠CAB30∠CBA∠ACB90∠DCB30．Rt△ABCBC1AB30．在Rt△DBC=15=15 1533CDBCcos3032

36.如图，已知等边△ABCBCAB、AC分别交于点DE。过D作DF⊥AC，垂足为点F.（1）判断DF与圆O的位置关系，并证明你的结论；FDFDE O21题图答案：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，tanB4，∠ACB=4503过点A作AE⊥BC于EAF∥DC,交BC于F.在Rt△AEB中∠AEB=90, tanB= tanB4AE=4AE=4x, C AE2BE2AB2∴(4x)2(3x)2 C,Rt△AEF中,∠AEF=90由勾股定理得AF25∴DC2537（08年房山区一模）在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条河的宽．，（参考数值：tan595tan313sin311 DA东答案：过点C作CD⊥AB于D．---------1DA东设Rt△BCD中,∠CBD=45 2Rt△ACD中,∠DAC31 ∵tanDAC3 4 20∴x答：这条河的宽度约为30米 519（EBFOD如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交O于点BAC⊥DEF，AD、BE，若sinA1，∠EBFOD2 若OR2，试求CE答案：（1）连接OD 1∵BED30AOD60∵sinA2∴∠A=∴∠A+∠AOD=∴∠ADO=∴AD是⊙O的切线 2BC为OACDECECD 3BC是OBEC90BED30DEC60△DCE是等边三角形 4BC∴∠EDC=∴∠EBC=在Rt△BECsinEBCCE333CEBCsin6032

5B39（08年丰台区一模）AB点处有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1A点直接跳入海中；2号救生员5米/2米/秒，∠BAD=45°，请你通过计算说明谁先到达营救地点B．B2∴2

AD200 AB

BD＝ADtan45200．在△BCD中，CD20050150BD2BC BD22220022

（秒 35025010125135（秒 20020040100140（秒 4 2135140 2 5观察，测得银杏树顶部A30°、底部B45°.AB（1米）（32 1.73213024545ABDCDB 1∴CD=BD 2RtACMtan13∴AMCMtan3018333

3 AEFAC12453ACMABAMBM18AEFAC12453ACMAB28（米 541（07年昌平二模）24．△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，DBCA条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.AAAF 答案：（1）结论 112

BC AFE∵AFE∴BDE 3RtAEFEF2AE2AF

EF2BE2FC 6（3（1） 7∴∠3+∠5==90°，AE153AE153DFCBDE∽∴∠B=∠