第八章立体几何初步 综合训练（二）-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

班级_________座号________姓名____________________1(PAGE5)1(PAGE4)第八章综合训练（二）一、选择题1.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A.πB.3π4C.π22.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为()A.π2B.π3C.π43.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是()A.4π B.9π2 C.6π D4.在如图所示的三棱锥容器S-ABC中,D,E,F分别为三条侧棱上的小洞,SD∶DA=CF∶FS=2∶1,BE=SE,若用该容器盛水,则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的()A.89B.79C.235.（多选题）已知正三棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,侧棱长为2,则下列说法正确的是()A.棱台的侧面积为93B.棱台的高为3C.棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为3D.棱台的侧面与底面所成二面角的余弦值为2二、填空题6.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.

7.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面,其棱长为.

三、解答题8.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,DC=2AD=2AB=2PB,∠DAB=∠ADC=90°,△PDC为等边三角形.(1)证明:平面PBC⊥平面PBD;(2)若△PBC的面积为1,求点B到平面PCD的距离d.9.如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°.(1)证明:AB⊥PC;(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.第八章综合训练（二）解答一、选择题1.答案B解析如图,画出圆柱的轴截面,AC=1,AB=12,设圆柱的底面圆面半径为r,所以r=BC=32,那么圆柱的体积是V=πr2h=π×322×1=34π2.答案D解析如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为1,则BC1=2,C1P=12A1C1=22而BP=BB可得C1P2+BP2=BC12,故C1P⊥则在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=C1于是∠PBC1=π6,即直线PB与AD1所成的角等于π3.答案B解析要使球的体积V最大,必须球的半径R最大.由题意知球与直三棱柱的上下底面都相切时,球的半径取得最大值32,此时球的体积为43πR3=43π323=9π2,4.答案A解析因为SD∶DA=2∶1,所以SD=23SA.又因为BE=SE,所以SE=12SB.所以△SDE的面积为S△SDE=12SD·SE·sin∠ASB=12×23SA×12SB×sin∠ASB=13S△SAB.又CF∶FS=2∶1,所以SF∶SC=1∶3,设点F,C到平面SAB的距离分别为h1,h2,所以h1∶h2=1∶3,所以V5.答案AC解析由题意作图如下,在平面ABB1A1中由点A1向AB作垂线,垂足为D,取线段BC的中点E,连接AE,在平面AEA1中由点A1向AE作垂线,垂足为F,连接DF,在等腰梯形ABB1A1中,AB=4,B1A1=2,AA1=2,则AD=(4-2)÷2=1,A1D=22-12=3,故棱台的侧面积为3×12(2+4)×3=93,故A正确;易知A1F为棱台的高,则AD⊥平面A1DF,则AD⊥DF在Rt△ADF中,DF=AD·tanπ6=33,AF=12+13=233,在Rt△A1DF中,A1F=A1D2-DF2=263≠3,故B错误;棱台的侧棱与底面所成角为∠A二、填空题6.答案23解析易知半径最大的球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切球的球心为O,由于AM=32-12=22,故S△ABC=12×2×22设内切球半径为r,则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12×AB×r+12×BC×r+12×AC×r=12×(3+3+2)×解得r=22,其体积V=43πr3=27.答案262-1解析由图可知第一层与第三层各有9个面,计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.将该半正多面体放入正方体部分图示如下,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长BC与FE交于点G,延长BC交正方体棱于H,由半正多面体对称性可知,△BGE为等腰直角三角形.∵BG=GE=CH=22x∴GH=2×22x+x=(2+1)x=∴x=12+1=2-1,即该半正多面体棱长为三、解答题8.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,DC=2AD=2AB=2PB,∠DAB=∠ADC=90°,△PDC为等边三角形.(1)证明:平面PBC⊥平面PBD;(2)若△PBC的面积为1,求点B到平面PCD的距离d.(1)证明∵在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是直角梯形,DC=2AD=2AB=2PB,∠DAB=∠ADC=90°,△PDC为等边三角形,设AB=x,则BC=BD=x2+∴BD2+BC2=4x2=CD2,PB2+BC2=4x2=PC2,∴BD⊥BC,PB⊥BC.∵BD∩PB=B,∴BC⊥平面PBD.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PBD.(2)解∵SRt△PBC=1,∴12PB·PC=x2=1,即x=由(1)知,S△PCD=34×4=3∵BD2+BP2=DP2,BD=2,PB=2,∴S△PBD=12×∴V三棱锥B-PCD=V三棱锥C-PBD,即13×3·d=13×1×2,∴点B到平面PCD的距离为639.如图,在三棱锥P-ABC中,△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°.(1)证明:AB⊥PC;(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱锥P-ABC的体积.(1)证明因为△PAB是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90°,所以Rt△PBC≌Rt△PAC,可得AC=BC.如图,取AB中点D,/