【教学课件】等式与不等式性质基本不等式习题课示范教学课件

等式与不等式性质、基本不等式习题课

复习回顾不等式性质及注意事项问题1

前面我们学习了不等式的基本性质和基本不等式，不等式有哪些性质？基本不等式能解决哪些问题？使用时需注意哪些条件？

基本不等式可以证明不等式或解决最值问题：复习回顾（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；（2）如果正数x，y的和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．

典例研究A．B．C．D．（2）已知x∈R，下列说法中正确的是（

）A．

的最小值是2B．

，

的最小值是2C．D．函数

的最小值2DC例1（1）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（

）问题2

每个题对应的知识点和方法分别是什么？36例1（3）已知函数

在x＝3时取得最小值，则a＝________．

问题3

如何求上式的范围？用到哪些不等式性质？解答：∵1＜a＜4，2＜b＜8，∴2＜2a＜8，6＜3b＜24，∴8＜2a＋3b＜32．典例研究例2

已知1＜a＜4，2＜b＜8，求2a＋3b的取值范围．

变式：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，求a－b的取值范围．思考：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？小明是这样解的：由－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，得所以错在哪里？注意：由a＋b及a－3b的范围，可以得到a，b的范围，但这个命题不是充要条件．典例研究

变式：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，求a－b的取值范围．思考：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？解答：设a－b＝m（a＋b）＋n（a－3b）＝（m＋n）a＋（m－3n）b，解得所以则由以上两式相加，得

．典例研究

变式：已知－1≤a＋b≤1，1≤a－3b≤2，求a－b的取值范围．思考：上式如何求范围？和例2比较，在方法上有什么异同？需要注意什么？总结：利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），但是这种转化不是等价转化，如果在解题中多次使用，就有可能扩大取值范围．典例研究

（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．解答：（1）

当且仅当

，即x＝1时取等号．配凑使积为定值典例研究例3（1）已知，求函数

的最大值．

解答：（1）

即

故当x＝1时，y取最大值1．典例研究（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．例3（1）已知，求函数

的最大值．

解答：（2）法1：由x＋y＝1，得y＝1－x，

且0＜x＜1，则

当且仅当x＋1＝2－x

，即x＝y＝时等号成立，即

的最大值为

．典例研究（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．例3（1）已知，求函数

的最大值．使得和为定值解答：（2）法2：由x＋y＝1，得y＝1－x，

且0＜x＜1，则即

的最大值为

．当且仅当

，即x＝y＝时等号成立，典例研究（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．例3（1）已知，求函数

的最大值．

则即

的最大值为

．当且仅当

，即x＝y＝时等号成立，典例研究（2）已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求（x＋1）（y＋1）的最大值．例3（1）已知，求函数

的最大值．解答：（2）法3：∵x＋y＝1，∴

变式1：已知x＞0，y＞0，且

，求x＋y的最小值．追问1

上面变式和例3比较，在解题思路上什么相同之处，你还有什么发现？小丽是这样解的：由

，及

，得xy≥36，当且仅当

即x＝2，y＝18时取等号，所以

，

取得最小值12．错在哪里？典例研究

变式1：已知x＞0，y＞0，且

，求x＋y的最小值．且x＞1，则当且仅当

，即x＝4时取等号，∴时，

取得最小值16．减元，使得和为定值典例研究解答：法1：由

得

，

变式1：已知x＞0，y＞0，且

，求x＋y的最小值．∴∴时，

取得最小值16．∵x＞0，y＞0时，∴则x＋y≥16，当且仅当，又，1的代换，把代数式构造成倒数形式，使得积为常数典例研究解答：法2：∵

，

变式2：已知

，且

，求

的最小值．∴

当且仅当

时取等号，又

，∴，取得最小值8．典例研究解答：∵

，

变式3：已知

，，求

的最小值．所以所求式子的最小值为2．则

当且仅当

，即

时取等号，典例研究解答：由

，得

*变式4：已知

x＞0，y＞0，且

x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．解答：法1：由

，可得

．∴，∴

的最小值是5．当且仅当时取等号，又

，

典例研究∴

*变式4：已知

x＞0，y＞0，且

x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．解答：法2：由

，可得

，∴

的最小值是5．当且仅当时取等号，即

典例研究∴

*变式4：已知

x＞0，y＞0，且

x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值．解答：法3：由

，可得

，典例研究即∴∴

的最小值是5．当且仅当时取等号，即等号成立，

解析：设一年的总费用为y万元，故一年的总运费与总存储费用之和最小时x的值是30．由题知

，而当且仅当，即

吨时取等号．30典例研究例4

某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

x＝________吨．

归纳小结（1）如何利用作差（商）法比较两个实数的大小？作差法步骤：作差、变形、定号、定论，适合所有的数或式作商法步骤：作商、变形、定号、定论，适合同号的数或式问题6

回顾本节学习过程，回答以下问题：

归纳小结问题6

回顾本节学习过程，回答以下问题：（2）不等式的基本性质有哪些？需要注意哪些条件？基本不等式是：

归纳小结可以证明不等式或解决以下最值问题：（1）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值；（2）如果正数x，y的和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值．问题6

回顾本节学习过程，回答以下问题：（3）基本不等式是什么？能够解决什么问题？在解决问题时应注意什么？

归纳小结会将问题中的条件进行变形或转化，使其满足基本不等式的条件．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．问题6

回顾本节学习过程，回答以下问题：（3）基本不等式是什么？能够解决什么问题？在解决问题时应注意什么？

作业：教科书复习参考题2第1，2，3，4题．作业布置

目标检测A．c－a＜c－bB．C．D．

A取a＝1，b＝－1，B，C选项都错了．对于D，取a＝－1，b＝－2，D也错了．由不等式的性质4可乘性知－a＜－b，再根据可加性得c－a＜c－b选项正确，故选A．设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（

）1分析：利用不等式的性质或者举反例判断．

目标检测A．2B．C．4D．5C即a＝b时，取“＝”号．当且仅当，且

，分析：因为已知a＞0，b＞0，则

的最小值是（

）2

目标检测（2）若0＜x＜1，则

的最小值为_______．89（1）若a＞0，b＞0，ab＝2a＋b，则a＋b的最小值为________，ab的最小值为_______．3

目标检测∵x2＋6＞0，∴当

时，

，即

；当x＝1时，

，即

；当x＜1时，

，即．已知x∈R，试比较x3＋6x与x2＋6的大小．4解：

目标检测当且仅当

时取等号，又

的最大值是

．设a＞0，b＞0，a2＋＝1求

的最大值．5解：

目标检测∴以上三个不等式相加，得

即已知a，b，c为不全相等的正实数，且abc＝1．求证：