概率论与数理统计老师-第七章第2节

§2

正态总体均值的假设检验X的样本，x

,,x，X

,,X

为1

n

1

n2总体X

~

N

(,

)为观测值。（一）

方差

2

已知时均值

的假设检验当

2为已知时，在给定显著性水平下，关于的检验问题有以下三种：（1）

H0

:

0

,

H1

:

0（双侧检验）一、单个正态总体均值的检验(2)

H0

:

0

,

H1

:

0H0

:

0

,

H1

:

0（右侧检验）1

00

0H

:

H

:

(3)

H0

:

0

,

H1

:

0,（左侧检验）其中0为常数现H0

:

0

,

H1

:

0对于正态总体，X的是

。若XMLE0比较大，则应该认定H0为真时出现了小概率事件，应该取P{X

0

k

|

H0为真}

因为在H0下N

(~0,1

),nU

X

0(2)根据标准正态分布的分位数定义可得

z

,

nP

X

0所以检验的域为

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

再H0

:

0

,

H1

:

0在H0为真时，有X

kH

P00H0P当H

为真X

X

0

n

n由于

0

,00n

n

P

X

0

k

所以

n

n

nnX

k

X

k

:000

:由于总体X

~

N(,

2

)，因此nX

~

N

(0,1),

,

:0000X

k即

P当H

为真

H0

PH00

0n

Pn

PnX

k

nX

k

znk

0

分位点故有

z

z

P

:

P

nX

nX

0:n域为

是Hz0为真时的小概率事件，故X

0也就是说

:

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

根据类似的

可以得到问题（3）H0

:

0

,

H1

:

0

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

问题(1)的

z

.2nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

域为（1）

H0

:

0

,

H1

:

0Z检验法的域为试射，其初速度

Nvsm,经过较长时间

后，现取出9发例1：有一批

102

)，,(~其中950

sm，测其初速度，得样本值如下（单位：sm）914,

920,

910,

934,

953,

945,

912,

924,

940给定显著性水平

0.05，问这批是否起了变化（假定没有变化）？解：H0

:

950

H1

:

950此检验的

域为

z

.nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

有n

9，易算得x

928，则10u

x

0

928

950

6.6n

9查标准正态表可得

0.05

1.96因为

619..610n

9u

x

0

928

950

所以，应

原假设，认为这批经过较长时间的

后初速度已经发生了变化，变小了。（二）方差

2

未知时均值

的假设检验当

2为未知时，在给定显著性水平下，关于的检验问题有以下三种：（双侧检验）H0

:

0（1）

H0

:

0

,

H1

:

0,

H1

:

0,(2)

H0

:

0H1

:

0,

H1

:

0,

H1

:

0（右侧检验）(3)

H0

:

0H0

:

0其中0为常数（左侧检验）现H1

:

0H0

:

0v.s.对于正态总体，X的M是LE。若0

X比较大，则应该认定H0为真时出现了小概率事件，应该

H0。取P{0

X

k

|

H0为真}

因为在H0下~

t(n

1),T

X

0nS根据t分布的分位数定义可得

t

(n

1)

,

n

SP

X

0所以检验的域为

t

(n

1).nx

0W

x

,,

x

)

:(

1

n

S再在H0为真时，有

X

kP当H

为真

H

P0

0

H0

0X

X

0S

Sn

n由于

0

0,

n

SknS

P

X

0

H1

:

0H0

:

0v.s.所以n

n

SkSnS

:

:

X

k0X

Sn由于总体X

~

N(,

2

)，因此

,

:00n

Pn

PSn

S0

X

kknX

S

S即nS

k

t n

1nSX

~

t(n

1),0当HP为真0故有t n

1)

(

P

:0nSX

t n

P1:)(nX

Sn域为X

0

tSn

1)(是H0为真时的小概率事件，故也就是说

:x

0

t

(n

1).W

x

,,

x

)

:(

1

nns根据类似的可以得到问题（2）的域为x

0

t

(n

1).W

x

,,

x

)

:(

1

nns问题(1)的域为

t

(n

1).2W

x

,,

x

)

:(

1

nnsx

0T检验法解：根据题意做检验例2：某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布，其均值设定为240cm,现从该厂抽取5件产品，测得其长度为（单位：cm）239.7

239.6

239

240

239.2试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定要求？（取显著性水平为

0.05）。H0

:

2401域为1

t n

1)(.2W

x现由样本计算可得nx

0

xn

),:,(

ss

0.4，故x

239.5,5

|

239.5

240

0.4

2.795|

t

|

|

x

0

|

sn查表可得t0.025由于2.795>2.776，故

原假设，认为该厂生产的铝材的长度不满足设定要求。例3某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品，其长度X假定服从正态分布

N

(,

2

),

2

未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件,

得尺寸数据如下:32.56,

29.66,

31.64,

30.00,

31.87,

31.03问这批产品是否合格?(

0.01)第八章假设检验H0

:

32.5,

H1

:

32.5T

X

32.5

~

t(5)S

6解:§2

正态总体均值与方差的假设检验第八章假设检验T

X

32.5

~

t(5)S

6t

2n

§2

正态总体均值与方差的假设检验域为t

/

2

(n

1)W

x

,,

x

)(

1

nx

0s

/

n其中n

6

,

0.01

,

0

32.5

,将样本值代入算出统计量

T

的值,|

T

|=2.997<4.0322所以接受H0

,即认为这批产品合格.例3（续）第八章假设检验例4

某织物强力指标X

的均值0

=21公斤.

改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得

x

=21.55公斤.

假设强力指标服从正态分布

N

(,

2

),

且已知=1.2公斤，问在显著性水平=0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?~

N

(0,1)Z

X

0

n解:H0

:

21,

H1

:

21取统计量§2

正态总体均值与方差的假设检验第八章假设检验这里0

21，

1.2,nZ=2.51,所以

原假设H0，即认为新生产织物比过去的织物强力有提高.域为

W

x

,,

x

)(

1

nzx

0

/

n而z0.01Z=2.51>2.33，§2

正态总体均值与方差的假设检验二、两个正态总体均值差的检验1

1

1

n1X

~

N

(

,

2

),X

,,X

为X的一个样本为Y的一个样本n2122

2,

),Y

,,YY

~

N

(（一）当方差已知时1

2

的假设检验考虑1

22221下，

的假设检验问题当

,

已知时，在水平(1)H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

（双侧检验）(2)

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

（右侧检验）(3)

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

H0

:

1

2

v.s.H1

:

1

2

（左侧检验）其中为任意已知的常数现H1

:

1

2

H0

:

1

2

v.s.H0，于是YX)(比较大就应该当H0为真时，P{(X

Y

)

k

|

H0为真}

，其中k为适当大的正数当H0为真时~

N

(0,1),n1

n2

2

2 1

2

U

(

X

Y

)

22

2

1

1

2

由N(0,1)的分位数知，当H0为真时

nnP

X

Y

z

,域为22

2

1

1

所以，此检验的

2nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.

再v.s.H0

:

1

2

H1

:

1

2

n1

n2n1

n2

2

2

2

2 1

2

1

2

当H0为真时，有

X

Y

(

X

Y

)

(1

2

)由此可得

z

nn

znn

X

Y

2221

2112(

X

Y

)

(

)2221

21所以，在H0为真时

,2221121221

21

2

2

z

nn(

X

Y

)

(

)

P

znn

X

Y

P域都是22

2

1

1

因此，右侧检验的

2nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.

同样，检验（1）的域为22

2

12

1

2

nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.域为22

2

1

1

检验（3）的

2nn1

nW

(

x

,,

x

)

:

X

Y

z

.

（二）方差未知但相等时1

2

的假设检验当

2

,

2为未知，但

2

2时，均值差

－

的1

2

1

2

1

2常见的假设检验问题，与

2

,

2为已知时的情况1

2一样，仍然是那三个问题。统计量应选为~

t(n1

n2

2).1

121nnT

1

2

X

Y

(

)SW其中21

1

1

2

2

n

n

2(n

1)S

2

(n

1)S

2S

W域把T作为检验统计量，可得下面的水平为的（1）双侧检验112

t

n

n

2()211W

x（2）右侧检验n

nS

Wn

12

X

Y

||)(

x

),:,(

t

(n1

n2

2)W

x

,,

x

)

:(

1

n1

1

(

X

Y

)

n1

n2SW（3）左侧检验

t

(n1

n2

2)W

x

,,

x

)

:(

1

n1

1

(

X

Y

)

n1

n2SW例5：在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率，试验是在一个平炉上进行的。每炼一炉钢时，除操作方法外，其它条件都尽可能做的相同。先用标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉，各炼了10炉其得率分别为(1)标准方法：78.1

72.4

76.2

74.377.4

78.4

76.0

75.5

76.7

77.3(2)新方法：79.1

81.0

77.3

79.1

80.079.1

79.1

77.3

80.2

82.1设这两个样本独立，且分别来自正态总体N

(1

,

)2和N

(2

,

)，

,

,

均未知，问建议的新操作方2

21 2法能否提高得率？(取

0.05。)解：需要检验假设H1

:

1

2

0H0

:

1

2

0分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差如下2211s2

2.225x

76.23,

s2

3.325n

10,

y

79.43,n

10,

101020.05t

(1,78752.

7341

1 2

(10

s2

11()0

1)s2w又s2

4.295

1.7341s2x

-

y由于

t

w1

110

10所以

H0，即认为建议的新操作方法较原来的方法为优。三、基于成对数据的检验逐对比较法：在相同的条件

对比试验，得到一批成对的观察值，然后分析观察数据作出判断。举例说明：1.比较甲、乙两种橡胶轮胎的耐磨性的试验：从甲乙两种轮胎中各抽取n个，各取一个组成一对。

再随机抽取n架飞机，将n对轮胎分配给n架飞机，飞行了一定时间的起

，测得轮胎磨损量的n对数据。2.比较两种测量方法所得的结果是否有显著性的差异。对同一试验品分别用两种方法测量得到成对数据。设有n对相互独立的观察结构：(X1

,Y1

),(X

2

,Y2

),,(Xn

,Yn

),令D1

X1

Y1

,,Dn

Xn

Yn

,则D1

,D2

,,Dn相互独立，又由于D1

,

D2

,,

Dn是由同一因素所引起的,可认为它们服从同一分布.假设D

~

N

(

,

2

)，i

D

Di

1,2,,n。这就是说D1

,D2

,,Dn构成正态总体N

(

,

2

)的一个样本，其中

,

2

未知。D

D

D

D基于这一样本检验假设：H1

:

D

0;H1

:

D

0;H1

:

D

0.H0

:

D

0,H0

:

D

0,H0

:

D

0,)的3(

域分别为(检验值为,sd2

，则此问题转化为关于单个正态总体均值D的t检验。检验问题

1)(,

2(),水平为

:)21

,,D,

nD的D样本均值和样本方差的观察分别记

t

(n

1)

t

(n

1),|

t

|2

t

(n

1),t

t

s

nds

ndsD

ndDD第八章假设检验§2

正态总体均值与方差的假设检验例6有两台光谱仪，用来测量材料中某种金属的含量，为鉴定他们的测量结果有无显著的差异，

了9件试块（它们的成份、金属含量、均匀性等均各不相同），现在分别用这两台仪器对每一试件测量一次，得到9对观察值如下：x%

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00y%

0.10

0.21

0.52

0.32

0.78

0.59

0.68

0.77

0.89d=x%

-y%0.10

0.09

-0.120.18-0.18

0.11

0.12

0.13

0.11问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异？）（取

0.01）第八章假设检验§2

正态总体均值与方差的假设检验H0

:

0

0,

H1

:

0

0取统计量查表得t

2n