同济高数127傅里叶级数课件

第七节第十二章傅里叶级數三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数HIGHEREDUCATIONPRESS008第七节1三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:y=Asin(ot+φ)谐波函数)(A为振幅,o为角频率,为初相)复杂的周期运动:y=Ao+∑An,sin(not+n)Ansingncosnot+Ancosnsinnye波迭A=Ao,an=Ansinn,bn=Ancospn,ot=x得函数项级数+∑(a.cosnx+hsinx称上述形式的级数为三角级数HIGHEREDUCATIONPRESS008三角级数及三角函数系的正交性2定理1.组成三角级数的函数系1.cosxsinx.cos2x.Sin2x.A.cosnx.sinnx.A在[-π,m上正交,即其中任意两个不同的函数之积在-兀,π]上的积分等于0证:∫1cosnxdx=∫sinx=0(m=12,A)coskxcosnxdxcoskxcosnx=,[cos(k+n)x+cos(k-n)x[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k+ny同理可证:Sinkxsinnxdx=0(k≠n)「"coskxsinnxdx=0HIGHEREDUCATIONPRESS008定理1.组成三角级数的函数系3但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[-π,π上的积分不等于0.且有ldx=2cOS2nxdx=汇(n=1,2,A)sinnmax=兀1+cos2nx1-cos2nxcosnxSinnxHIGHEREDUCATIONPRESS008但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[-π,π4函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2π的周期函数,且f(x)=5+∑ansx+sin)n-=1右端级数可逐项积分,则有=lf(x)cosndx(n=0,1,A)1b2=/(xd012.A)证:由定理条件,对①在[-π,π逐项积分,得ffc)dx=ofax+2a,Scosnxdx+bn]sinndxdo7tHIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返函数展开成傅里叶级数5f(rdxf(r)coskxdxcoskxdx+coskxcosnxdx+coskxsinnxdxcosKX(利用正交性)f(r)coskxdx(k=1,2,A)类似地,用sinko乘①式两边,再逐项积分可得f(rsinkxdx(k=1,2,A)THIGHEREDUCATIONPRESS008f(rdx6f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnxf(x)cosnxdx(n=0,1,A)②f(r)sinndx(n=1,2,A)由公式②确定的an,b称为函数f(x)的傅里叶系数;以f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数①称为f(x)的傅里叶级数HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返回结束f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnx7定理3收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2π的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有注意:函数展成傅里叶级数的条+∑(ancosnx+b,sinn)件比展成幂级数的条件低得多f(x),x为连续点f(r)+f(x为间断点2其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.(证明略)HIGHEREDUCATIONPRESS0日求上下返回结束定理3收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2π的8例1.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-兀,π)上的表达式为1,-兀≤x<0f(r)1.0<x<汇将f(x)展成傅里叶级数解:先求傅里叶系数-π0本f(x)G1)cosnxdx+1.cosnxdx=0(n=0,1,2,A)HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返例1.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-兀,π)9f(x)sinndx1)sinnxdx+1.sinnxdxT1cosnxcoSnxCOSnTT当n=1,3,5,AnTTsinx+-sin3x+a+2k-1Sm(2k-1)x+A00<x<+∞0,x≠0,土π,±2π,L)HIGHEREDUCATIONPRESS008f(x)sinndx10同济高数127傅里叶级数课件11同济高数127傅里叶级数课件12同济高数127傅里叶级数课件13同济高数127傅里叶级数课件14同济高数127傅里叶级数课件15同济高数127傅里叶级数课件16同济高数127傅里叶级数课件17同济高数127傅里叶级数课件18同济高数127傅里叶级数课件19同济高数127傅里叶级数课件20同济高数127傅里叶级数课件21同济高数127傅里叶级数课件22同济高数127傅里叶级数课件23同济高数127傅里叶级数课件24同济高数127傅里叶级数课件25同济高数127傅里叶级数课件26同济高数127傅里叶级数课件27同济高数127傅里叶级数课件28同济高数127傅里叶级数课件29同济高数127傅里叶级数课件30同济高数127傅里叶级数课件31同济高数127傅里叶级数课件32同济高数127傅里叶级数课件33同济高数127傅里叶级数课件34同济高数127傅里叶级数课件35第七节第十二章傅里叶级數三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数HIGHEREDUCATIONPRESS008第七节36三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:y=Asin(ot+φ)谐波函数)(A为振幅,o为角频率,为初相)复杂的周期运动:y=Ao+∑An,sin(not+n)Ansingncosnot+Ancosnsinnye波迭A=Ao,an=Ansinn,bn=Ancospn,ot=x得函数项级数+∑(a.cosnx+hsinx称上述形式的级数为三角级数HIGHEREDUCATIONPRESS008三角级数及三角函数系的正交性37定理1.组成三角级数的函数系1.cosxsinx.cos2x.Sin2x.A.cosnx.sinnx.A在[-π,m上正交,即其中任意两个不同的函数之积在-兀,π]上的积分等于0证:∫1cosnxdx=∫sinx=0(m=12,A)coskxcosnxdxcoskxcosnx=,[cos(k+n)x+cos(k-n)x[cos(k+n)x+cos(k-n)x]dx=0(k+ny同理可证:Sinkxsinnxdx=0(k≠n)「"coskxsinnxdx=0HIGHEREDUCATIONPRESS008定理1.组成三角级数的函数系38但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[-π,π上的积分不等于0.且有ldx=2cOS2nxdx=汇(n=1,2,A)sinnmax=兀1+cos2nx1-cos2nxcosnxSinnxHIGHEREDUCATIONPRESS008但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[-π,π39函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x)是周期为2π的周期函数,且f(x)=5+∑ansx+sin)n-=1右端级数可逐项积分,则有=lf(x)cosndx(n=0,1,A)1b2=/(xd012.A)证:由定理条件,对①在[-π,π逐项积分,得ffc)dx=ofax+2a,Scosnxdx+bn]sinndxdo7tHIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返函数展开成傅里叶级数40f(rdxf(r)coskxdxcoskxdx+coskxcosnxdx+coskxsinnxdxcosKX(利用正交性)f(r)coskxdx(k=1,2,A)类似地,用sinko乘①式两边,再逐项积分可得f(rsinkxdx(k=1,2,A)THIGHEREDUCATIONPRESS008f(rdx41f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnxf(x)cosnxdx(n=0,1,A)②f(r)sinndx(n=1,2,A)由公式②确定的an,b称为函数f(x)的傅里叶系数;以f(x)的傅里叶系数为系数的三角级数①称为f(x)的傅里叶级数HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返回结束f(x)=2+2(a,osnx+b,sinnx42定理3收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2π的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点2)在一个周期内只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,且有注意:函数展成傅里叶级数的条+∑(ancosnx+b,sinn)件比展成幂级数的条件低得多f(x),x为连续点f(r)+f(x为间断点2其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.(证明略)HIGHEREDUCATIONPRESS0日求上下返回结束定理3收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2π的43例1.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-兀,π)上的表达式为1,-兀≤x<0f(r)1.0<x<汇将f(x)展成傅里叶级数解:先求傅里叶系数-π0本f(x)G1)cosnxdx+1.cosnxdx=0(n=0,1,2,A)HIGHEREDUCATIONPRESS日求上下返例1.设f(x)是周期为2π的周期函数,它在[-兀,π)44f(x)sinndx1)sinnxdx+1.sinnxdxT1cosnxcoSnxCOSnTT当n=1,3,5,AnTTsinx+-sin3x+a+2k-1Sm(2k-1)x+A00<x<+∞0,x≠0,土π,±2π,L)HIGHEREDUCATIONPRESS008f(x)sinndx45同济高数127傅里叶级数课件46同济高数127傅里叶级数课件47同济高数127傅里叶级数课件48同济高数127傅里叶级数课件49同济高数127傅里叶级数课件50同济高数127傅里叶级数课件51同济高数127傅里叶级数课件52同济高数127傅里叶级数课件53同济高数127傅里叶级数课件54同济高数127傅里叶级数课件55同济高数127傅里叶级数课件56同