2021-2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县高二（上）第一次月考数学试卷（附答案详解）

202L2022学年黑龙江省哈尔滨市宾县二中高二（上）第

一次月考数学试卷已知向量五=(3,-1),b=(1,-2),则一3五+2B=()2.A.(7,1)C2.A.(7,1)C.(-7,1)D.(7,-1)设a为平面，a，方为两条不同的直线,则下列说法正确的是（）3.A.若3.A.若a〃a,b//a,则a〃bC.若aJ.a,a//b,则b1a已知点2(1,-1,2),B(2,-l,l),值为()B.若ala,alb,则b〃QD.若a〃b,且a〃访则b〃Q0（332）,又点P（%,7,—2）在平面43。内，则x的4.5.A.11B.9D.-4已知平面Q内的两个向量2=（4.5.A.11B.9D.-4已知平面Q内的两个向量2=（1,1,1）,b=（0,2,-1）,且』=ma+nb+（4,-4,1）,若了为平面a的法向量，则〃的值分别为（）1,—21,2已知一组数据与，X2,--马的平均数为2,…，2与+1的平均数或与方差S2分别为（）方差为3,则数据2与+1,2小+1，A.x=4,s2=12B.x=2,s2=12x=5,s2=12D.x=5,s2=76.若空间四边形A8CD中，AB=CD,48与CD所成角为90。，E、尸分别是BC、AD6.中点，则E尸与A8所成角大小为（）30°45°60°90°30°45°60°90°7.8.则实数k的值为（）7.8.则实数k的值为（）D.--2出Ci己知向量五=（2,0）,b=（1,2）,若向量k五一方与五+2亍垂直,A.-sK--如图，在棱长为2的正方体4BCD-&B1GD1中，E为8c的中点，点P在底面A8CD上移动，且满足1DrE,则线段BiP的长度的最大值为（）A.延5B.2C.2y[2D.39.已知a,b是两条直线，a,夕是两个平面，则下列说法中正确的序号为（）A.若a〃b,baa,则直线a就平行于平面a内无数条直线B.若a〃氏qua,bu（3,则〃与b是平行直线C.若a〃夕，aca,则a〃夕D.若afln=b,aua,则a与0一定相交10.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是()A.若甲、乙两组数据的平均数分别为五，x2,则看〉石B.若甲、乙两组数据的方差分别为，，s2则C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定11.己知空间三点4(一1,0,1),8(—1,2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确的是()A.ABAC=3 B.AB//ACC.\BC\=2y[3 D.cos<AB,12.如图，在正方体ABC。一 中，点尸，。分别是棱BBr上异于端点的两个动点，且DQ=BP,则下列说法正确的是() '''] !BATOC\o"1-5"\h\zA.三棱锥C-APQ的体积为定值 任B.对于任意位置的点P,平面AP。与平面必8心。1 \XC所成的交线均为平行关系 以/DC.NPAQ的最小值为gD.对于任意位置的点P,均有平面4PQ1平面4GC4.已知A4BC中，A=45°,a=2,b=V2,那么4B=..已知一组数据一3,2a,4,5-a,1,9的平均数为3(其中aeR),则中位数为.已知点4(-1,1,0)，8(120),C(-2,-l,0),D(3,4,0),则而在话上的投影向量的长度为..已知球面上三点A,B,C满足4B=3,BC=4,AC=5,且球心到平面ABC的距离为6,则球的表面积为..如图，已知四棱锥P-4BCC的底面4BCO是菱形，PA_L平面ABC。，点F为PC的中点.(1)求证：PA〃平面8。尸；(2)求证：PC1BD..已知△ABC的内角A、B,C所对的边分别为a、b、c,且cos"=l-cosA.(团)求角A的值.(回)若A/IBC的面积为3百，且b+c=7(b>c),求a的值..如图，在边长是2的正方体ABC"中，E,尸分别为A8,&C的中点.(团)求异面直线EF与CD1所成角的大小.(0)证明：七/_1_平面4仔。..△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=2acos4(1)求角4的大小；(2)若a=2,求△ABC面积的最大值..某种零件的质量指标值以分数(满分100分)来衡量，并根据分数的高低划分三个等级，如表：分数XXV9292<X<9696<X<100等级不合格合格优秀为了监控某种零件的一条生产线的生产运t程，检验员随机抽取了100件零件，进行质量指标值检查，将检查结果进行整理得到如下的频率分布直方图：(1)若该生产线的质量指标值要求为：第一条：生产线的质量指标值合格和优秀的零件至少要占全部零件的75%；第二条：生产线的质量指标值平均分不低于95分.如果同时满足以上两条就认定生产线的质量指标值合格，否则为不合格，请根据以上抽样调查数据，判断该生产线的质量指标值是否合格？(2)在样本中，按质量指标值的等级用分层抽样的方法从质量指标值不合格和优秀

的零件中抽取5件，再从这5件中随机抽取2件，求这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率..如图，在直三棱柱4BC-&B1C1中，。为棱的中点.(@)证明：4W〃平面86。：(@)若G。，A/1，且GD=：AiBi，AC=V2,44i=l,求二面角B-CD-Q的正弦值.答案和解析.【答案】B【解析】解：va=(3,-1),b=(1,-2),•••-3a=(-9,3),2b=(2,-4),•.-3a+2b=(-9+2,3-4)=(-7,-1).故选：B.本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题.根据向量的坐标运算求解即可..【答案】C【解析】解：设a为平面，a,6为两条不同的直线，对于A,若a〃a,b//a,则。与方相交、平行或异面，故A错误；对于8,若a1a,alb,则b〃a或bua,故8错误；对于C,若a1a,a//b,则由线面垂直的判定定理得b1a,故C正确；对于。，若a〃匕，且a〃a,则b〃a或bua,故。错误.故选：C.对于A,a与b相交、平行或异面；对于B,b〃a或bua；对于C,由线面垂直的判定定理得bJ.a：对于。，b//a或bua.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是基础题..【答案】B【解析】解：因为点4(1,-1,2),B(2,-1,1),C(3,3,2),P(x,7,-2),则而=(x-1,8,-4),AB=(1,0,-1),而=(2,4,0),因为点P(x,7,—2)在平面ABC内，则方=aAB+bAC,所以(x-1,8,-4)=a(l,0,-l)+6(2,4,0),俨-1=q+2b贝力8=0+4b ,解得x=9.-4=-Q4-0故选：B.由题中点的坐标，先求出而，而，正的坐标，然后利用空间向量的共面定理，列式求解即可.本题考查了空间向量的坐标运算，空间向量共面定理的理解与应用，属于基础题.TOC\o"1-5"\h\z【解析】解：=(1,1,1),b=(0,2,-1),t t T・•・c=mq+nb+(4,—4,1)=(m,m,m)+(0,2n,—n)+(4,—4,1)=(m4-4,m4-2n—4,m—n4-1).由了为平面a的法向量，得g.5=3m+n+l=0 =-1(cb=m+5n—9=0 5=2故选：A.由已知利用向量的数乘与加法运算求得乙再由数量积为0列方程组求解机与〃的值.本题考查向量的数乘与加法运算，考查平面法向量的求法，是基础题..【答案】C【解析】解：由题意，；，=生汽二±±=2,s'?=；£上式々一J)2=3,_2X1+1+2X2+1+ +2Xy|+ln=2.必+如+……+%+1=2・2+1=5,nn ns2=•W(2Xj+1—x)2=•W(2%i+1-2x'-l)2i=l i=l=：Nki(Xi—/)2=4x3=12,故选：C.由平均数及方差的定义写出原数据的平均数与方差，再写出新数据的平均数与方差公式,化简即可.本题考查了平均数及方差的定义，同时考查了化筒运算的能力，属于中档题..【答案】B【解析】解：取AC的中点G,连接EG,FG,则EG〃AB,GF//DC,且由ZB=CD知EG=FG,C所以NGEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，△EGF(或它的补角)为C。与A8所成的角，因为AB与CQ所成角为90。，所以4EGF=90。,所以AEFG为等腰直角三角形，••/GEF=45。，故EF与A8所成角的大小为45。.

故选：B.取AC的中点G,连接EG,FG,贝i]EG〃AB,GF//DC,NGEF(或它的补角)为E/与48所成的角，求解即可.本题考查异面直线所成的角，注意分类讨论的应用，属中档题..【答案】B【解析】解：a=(2,0)»b=(1,2),.ka=(2k,0),2b=(2,4),ka-b=(2/c-l,-2),a+2b=(4,4),.,向量-方与五+2方垂直，••(fca-b)•(a+2d)=4(2k-1)+(-2)x4=0,即2k—3=0,解得k=1故选：B.根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解.本题主要考查向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，属于基础题..【答案】D【解析】【分析】本题考查线段长的最大值的求法，涉及向量模的计算,二次函数最值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题.以。为原点，D4为x轴，。(7为丫轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长度的最大值.【解答】解：以。为原点，D4为x轴，0c为)，轴，DC1为z轴，建立空间直角坐标系,设P(a,b,0)(a20涉20), (0,0,2),E(l,2,0), (2,2,2),聒=(a-2,b-2,-2),D^E=(1,2,-2),B]P_LDjE, B^P•D^E=a—2+2(b—2)+4=0,・•・a+2b—2=0,由Q=2-2bN0,得OWbWl,|丽=V(a-2)2+(Z?-2)2+4=V5b2-4b+8=(5(6-|)2+y,当匕=0时，|造|=2伍当b=1时，|瓦?|=3,当b 时，|瓦?|=卓，由二次函数性质可得|瓦司G[第,3],.••线段B】P的长度的最大值为3.故选D..【答案】AC【解析】解：a,b是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，对于4,若a〃b,bua,则直线a与平面a内与6平行的无数条直线都平行，故A正确；对于B,若《7/0,aua,buB，则a与。是相交、平行或异面，故8错误；对于C,若a〃氏aua,则由面面平行的性质得a〃夕，故C正确；对于。，若aD0=b,aua,则a,6相交或平行，故。错误.故选：AC.对于4,直线a与平面a内与6平行的无数条直线都平行；对于B,。与人是相交、平行或异面；对于C,由面面平行的性质得a〃0；对于。，a,b相交或平行.本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题..【答案】ACD【解析】解：对于A,由折线图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试成绩都高于乙同学，所以兀〉石，故选项4正确：对于BD,由折线图的变化趋势可知，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，所以“<sj,故选项B错误，选项。正确；对于C,极差为数据样本的最大值与最小值的差，所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差，故选项C正确，故选：ACD.根据折线图，结合平均数、方差、极差的定义，逐个判断各个选项即可.本题主要考查了统计图表的应用，考查了平均数、方差、极差的定义，属于基础题..【答案】AC【解析】解：•••4(-1,0,1),B(-l,2,2),C(-3,0,4),AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(-2,-2,2),AB-AC=Ox(-2)+2x04-1x3=3,故A正确，不存在实数人使得而=4前，故荏，前不共线，故B错误，\BC\= 2/+(-2)2+22=2V3,故C正确，3〈屈，而"第=备=^,故0错洪故选：AC.由4,B,C坐标分别求出荏，AC,BC,即可依次求解.本题主要考查空间向量的相关运算，考查计算能力，属于基础题..【答案】BD【解析】解：对于A,VD_APQ=VP_ADQ,AACQ面积不定，而P到平面ADQ的距离为定值AB,；•力-apq不是定值，故A错误：对于8,由于PQ〃平面48传1。1，则经过直线P。的平面APQ与AiBiGA的所有交线均与PQ平行，根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故8正确；对于C,设正方体棱长为1,PB=DQ=aE(0,1),则4P=AQ=y/a2+1,PQ=y/2,rn.i r*A八Q2+l+O2+l—2 a2. 1,八1、则COS4Pg2(a2+1)-=K=1-亚S),MQ6故C错误;对于。，由题意得直线PQ与平面A1GC4垂直，对于任意位置的点P,均有平面4PQ1平面41cle4故。正确.故选：BD.对于4,VD_APQ=VP_ADQ,aADQ面积不定，从而不是定值；对于B,PQ〃平面为B1C1D1，经过直线尸。的平面APQ与41B1G&的所有交线均出PQ平行，根据平行的传递性，可得所有的交线也平行；对于C,LPAQ6(p^)：对于。，由题意得直线P。与平面AiGCA垂直，从而平面4PQ_L平面&C1C4本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题..【答案】O【解析】解：AABC中，A=45°,a=2,b=近,利用正弦定理：3=上，s\nAsinB解得：sinF=I，所以：B=看或等由于：a>b>故：A>B故：B=3,故答案为：p直接利用正弦定理，求出B的值，进一步判定三角形解的情况.本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形解的情况分析，属于基础题型..【答案】3.5【解析】【分析】本题主要考查了求解一组数据的平均数及中位数，属于基础题.先由平均数公式求出4,进而可求中位数.【解答】解：由题意得，-3+2a+4+5-a+l+9=3x6=18,故a=2,数据按从小到大的顺序排列为-3,1,3,4,4,9,故中位数券=3.5.故答案为：3.5..【答案】当【解析】【分析】本题考查了空间向量投影的理解与应用，解题的关键是掌握空间向量投影的定义，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题.利用空间向量投影的定义求解即可.【解答】解：因为点4(-1,1,0),B(l,2,0),C(-2,-l,0),D(3,4,0),所以而=(2,1,0),CD=(5,5,0),则荏在而上的投影向量的长度为鬻=V篝=—.\CD\V25+25 2故答案为：当..【答案】1697r【解析】解：由题意48=3,BC=4,AC=5,得N4BC=90。，球心到平面ABC的距离为6,正好是球心到AC的中点的距离，所以球的半径R=肉百号,则球的表面积4ttR2=47rx竺^=169tt,4故答案为：1697r.由题意可知三角形ACB是直角三角形，球心到平面A8C的距离为6,可求出球的半径，然后求球的表面积.本题考查球的内接体问题，考查学生空间想象能力，是中档题..【答案】证明：（1）连接AC,80与AC交于点0,连接OF.「ABCD是菱形，。是AC的中点.•••点尸为尸C的中点，OF//PA....ofu平面BDF,PAC平面BDF,P4〃平面（2）vPA1平面ABCD,PA1BD.又♦.•底面ABCD是菱形，BD1AC.又=PA.ACPAC,BD1平面PAC.又•••PCu平面PAC,:.PC1BD［解析］（1）设BO与4c交于点O,利用三角形的中位线性质可得0F〃P4,从而证明PA〃平面BDF.（2）由PAJ_平面A8CO得P4BC,依据菱形的性质可得8。14C,从而证得BD1平面PAC,iirfuPC1BD.本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，直线与平面垂直的判定、性质的应用，取8。与AC交于点O,是解题的突破口.18.【答案】解：（回）由cos匕蛆=1一cosA,^cos（---）=1—cos4,BPsin-=2sin2sin-H0,2.A1asin-=2 2又*M），A-==,故A2 6 3（团）由448c面积S=-bcsinA=-bex—=3^3,得be=12,又b+c=7（b>c）,.・・b=4,c=3,由余弦定理M=b2+c2-2bccosA=16+9—2x4x3x-=13,aa=V13.【解析】（回）由三角形内角和为tt去掉B+C,二倍角公式化简可得sinT=%从而求出.n4=王（团）代入三角形面积公式可得be=12,结合条件解出b,C,余弦定理求a.本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理,三角函数恒等变换在解三角形中的应用,考查了转化思想，属于基础题..【答案】解：(回)建立以。为坐标原点，DA,DC,DDi分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图：则。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),4式2,0,2),为(0,0,2),"E,/分别为AB,41c的中点，则前=(-1,0,1),E=(0,-2,2),则罚―E=2,|EF|=V2,| |=V4T4=V8=2y/2,则"前西”踊=—即〈前，可>=；,即异面直线EF与CD1所成角为((团)证明：西=(2,0,2),DC=(0,2,0),则方■西=(-1,0,1)-(2,0,2)=-2+2=0,~EFDC=(-1,0,1)(0,2,0)=0,即前_L万小~EF1DC,则EFJ.DA1，EF1DC,"DA^DC=D,ZMi,DCu平面4CD,EF_L平面AiCC.【解析】本题主要考查空间线面垂直关系的判定，以及空间异面直线所成角的求解，建立坐标系，求出点的坐标，应用向量法是解决本题的关键，是中档题.（团）建立坐标系求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可解、（助求出坐标，利用直线垂直与向量数量积的关系结合线面垂直的判定定理进行证明即可..【答案】解：（1）由正弦定理知，= =、 •・•hcosC+ccosB=2acosA,

・•・sinFcosC+sinCcosB=2sin4cos4,:.sin(F4-C)=sinA=2sin4cos/l,ivsin71W0,acosA=2vAE(0,if),.%A=(2)由余弦定理知，cosA=^~a2>1、2bc-4-N ，22bc•••be<4,当且仅当b=c=2时，等号成立,・•.△・•.△ABC的面积S=-be-sin4<-x4xsin-2故44BC面积的最大值为次.=V3,【解析】(1)利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，推出cos4=点从而得解；(2)结合余弦定理和基本不等式，可得be44,再由S=[be•sinA,得解.本题主要考查解三角形，还运用了基本不等式，熟练掌握正弦定理、三角形面积公式和余弦定理是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.21.【答案】解：⑴利用频率分布直方图可得分数X292的概率为(0.100+0.150+0.125+0.025)x2=0.8>0.75,89X0.025X2+91x0.075x2+93X0.1X2+95x0.15X2+97x0.125X2+99x0.025x2=94.4<95.二不合格.(2)利用频率分布直方图可得不合格件数：(0.025+0.075)x2x100=2件，优秀件数：(0.125+0.025)x2