考点03 三角函数应用（解析版）

考点03三角函数应用一、单选题1．音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器（如图1），各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时，在一定时间内，音叉上点P离开平衡位置的位移与时间的函数关系为.图2是该函数在一个周期内的图象，根据图中数据可确定的值为（）A．200 B．400 C． D．【答案】D【解析】【分析】根据函数图像，确定函数周期，从而可得的值.【详解】由图像可得，，，即，则.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的应用，考查正弦型函数的周期性，属于基础题型.2．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的橫向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为，测得某时刻频移为，则该时刻高铁的速度约等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先计算，再根据所给公式计算即可．【详解】，故，即，故．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．已知大正方形边长为10，小正方形边长为2.设较小直角边a所对的角为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由题意可知，利用勾股定理可求出，从而可求出的值.【详解】由题意可得，所以，解得或（舍去），故，所以，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题.4．如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断错误的是（）A．该弹簧振子的振幅为B．该弹簧振子的振动周期为C．该弹簧振子在和时振动速度最大D．该弹簧振子在和时的位移为零【答案】C【解析】【分析】由简谐运动图象可得出该弹簧振子的振幅、最小正周期，可判断AB选项的正误，再根据简谐振动的几何意义可判断CD选项的正误.【详解】由图象及简谐运动的有关知识知，该弹簧振子的振幅为，振动周期为，当或时，振动速度为零，该弹簧振子在和时的位移为零.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：C.【点睛】本题考查简谐振动图象的应用，考查振幅、周期、振动速度和位移的理解，属于基础题.5．2020年7月31日上午，中共中央总书记、国家主席、中央军委主席习近平宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通并提出“新时代北斗精神”.已知组成北斗三号全球卫星导航系统的卫星中包含有地球静止轨道卫星，它的运行轨道为圆形轨道，角速度约为15度/小时，若将卫星抽象为质点，以地球球心为原点，在卫星运行轨道所在平面建立平面直角坐标系，则以下函数模型中最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是（）A．指数函数模型 B．对数函数模型 C．幂函数模型 D．三角函数模型【答案】D【解析】【分析】设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点处，与x轴正半轴的夹角为，经过t小时后，卫星在点P处，则与x轴正半轴的夹角为，根据三角函数知识，可得出点P的纵坐标的关系式，进而可选出答案.【详解】如图，不妨假设卫星与地球球心的距离为R，卫星运行方向为顺时针，初始位置在点处，与x轴正半轴的夹角为，经过t小时后，卫星在点P处，则与x轴正半轴的夹角为，则点P的纵坐标.所以最适合用来刻画地球静止轨道卫星的纵坐标与运行时间的关系的是三角函数模型.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的实际应用，考查学生的推理能力，属于基础题.6．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到点，其纵坐标满足，，则函数的解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据点求出圆的半径，利用周期求出的值，通过三角函数解析式求出的值，即可得函数的解析式.【详解】易知，因旋转一周用时60秒，即，又由题意知∴，又∴，故选：A【点睛】本题主要考查了求函数的解析式，属于基础题.7．重庆誉为“桥都”，数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸，其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：桥拱部分（开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周期的图象）相结合．已知拱桥部分长，两端引桥各有，主桁最高处距离桥面，则将下列函数等比放大后，与主桁形状最相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】设余弦函数为，结合三角函数的图象与性质，求得，再结合选项，即可求解.【详解】设主桁（图中粗线）部分对应的余弦函数为，可得函数的周期为，即，又由，解得，所以函数的解析式为，按的比例等比变换，可得，对比选项，可得与函数相似.故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.8．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从（注：此时）开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间的函数关系式为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据条件先确定周期从而求解出的值，设出与时间的函数关系式（注意秒针是顺时针方向转动），根据初始位置计算出的值从而求解出关系式.【详解】由题意，函数的周期为，∴.设函数解析式为（秒针是顺时针走动）.∵初始位置为，∴时，.∴，可取.∴函数的解析式为.故选C.【点睛】本题考查利用三角函数的实际模型求解函数解析式，难度一般.钟表问题的三角函数实际模型中，由于分针、时针、秒针都是顺时针转动，因此在确定的时候要注意取负值，这里依据的是角的正负的定义.二、多选题9．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（）A．B．当时，函数单调递增C．当时，点到轴的距离的最大值为D．当时，【答案】AD【解析】【分析】求出函数的解析式，再分析选项，即可得出结论.【详解】由题意，R＝＝6，T＝120＝，∴ω＝，当t＝0时，y＝f(t)＝，代入可得＝6sinφ，∵，∴φ＝－.故A正确；所以，当时，，所以函数在不是单调递增的，故B不正确；因为，，所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；当时，，此时，点，，故D正确，故选：AD．【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果，属于中档题.10．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（）.A．B．当时，函数单调递增C．当时，的最大值为D．当时，.【答案】AD【解析】【分析】求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．【详解】解：由题意，，，所以；又点代入可得，解得；又，所以．正确；所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．故选：．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，属于中档题．11．将函数向右平移个单位后得到函数，则具有性质（）A．在上单调递增，为偶函数B．最大值为1，图象关于直线对称C．在上单调递增，为奇函数D．周期为，图象关于点对称【答案】ABD【解析】【分析】化简得到，分别计算函数的奇偶性，最值，周期，轴对称和中心对称，单调区间得到答案.【详解】因为，则，所以单调递增，且为偶函数，A正确，C错误；最大值为，当时，，所以为对称轴，B正确；，取，当时满足，图像关于点对称，D正确；故选：ABD【点睛】本题考查了三角函数的平移，最值，周期，单调性，奇偶性，对称性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.12．如图，一个水轮的半径为，水轮轴心距离水面的高度为，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟转动圈，当水轮上点从水中浮现时的起始(图中点)开始计时，记为点距离水面的高度关于时间的函数，则下列结论正确的是()A．B．C．若，则D．不论为何值，是定值【答案】BD【解析】【分析】以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心为坐标原点，轴和轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，从而点的纵坐标为，逐一判断选项即可求解.【详解】如图，以水轮所在面为坐标平面，以水轮的轴心为坐标原点，轴和轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系，依题意得在内所转过的角度为，则.则点的纵坐标为，点距离水面的高度关于时间的函数；，选项A错误；，，，选项B正确；由得，解得，选项C错误；由展开整理得为定值，选项D正确；故答案为：BD.【点睛】本题考查了三角函数的应用、解三角不等式，两角和与差的正弦公式，属于基础题.第II卷（非选择题）三、填空题13．函数的振幅为____________，频率为____________，初相为_________.【答案】【解析】【分析】先求出函数的周期，根据振幅、频率、初相的定义，即可求出结论.【详解】函数的周期，函数的振幅为，频率为，初相为.故答案为：；；.【点睛】本题考查三角函数中参数的物理意义，属于基础题.14．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.【答案】【解析】【分析】由周期公式列方程，解方程即得结果.【详解】∵，∴∴.故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的周期公式的应用，属于基础题.15．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为________.【答案】25【解析】【分析】求出周期，利用周期与频率互为倒数可得．【详解】因为，所以0.5s内往复运动的次数为0.5×50＝25.故答案为：25．【点睛】本题考查的应用，掌握其物理意义是解题关键．16．下图为2018年某市某天6时至14时的温度变化曲线，其近似满足函数的半个周期的图象，则该天8时的温度大约为_______.【答案】13℃【解析】【分析】观察图像，由最值求得，，根据周期求得，再由函数图像过点即可求出，从而得到函数解析式，令，即可求得该天8时的温度.【详解】由题意得，∵，∴，∴，∴，将代入得，即，∵，∴，∴.∴当时，，即该天8时的温度大约为13℃.故答案为：13℃【点睛】本题考查正弦型函数的图像与单调性，观察图像，根据最值求得，，根据周期求得，代入特殊点求出，属于基础题.四、解答题17．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数.（1）求的值；（2）求这段时间水深（单位：）的最大值.【答案】（1）；（2）这段时间水深的最大值是.【解析】【分析】（1）由图可知，，而，从而可求出的值；（2）由函数关系式可求出其最大值即可【详解】（1）图知：，因为，所以，解得：.（2）.所以，这段时间水深的最大值是.【点睛】此题考查三角函数图像和性质的应用，属于基础题18．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.（1）画出它的图象；（2）回答以下问题：①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？③小球来回摆动一次需要多少时间？【答案】（1）图象见解析；（2）①3cm；②6cm；③1s．【解析】【分析】（1）计算出周期为1，在一个周期内，结合“五点法”中五点及区间端点，列表描点连线作出图象；（2）根据解析式作答．①令计算出即可；②即为函数的最大值；③即为函数的周期．【详解】解：（1）周期T＝＝1(s)．列表：t012πt＋π2π2π＋360－603描点画图：（2）①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3cm.②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm.③小球来回摆动一次需要1s(即周期)．【点睛】本题考查三角函数的应用，解题关键是正确认识函数式S＝6sin.由解析式研究函数的性质、画出函数的图象．19．已知函数其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．（1）求的解析式；（2）当，求的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据最低点M可求得A；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得ω；进而把点M代入即可求得，把代入即可得到函数的解析式．（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值．确定函数的值域．【详解】（1）由最低点为得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，即，由点在图象上的，，即，故又，故；（2），当，即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值，故的值域为.20．如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要分钟,其中心距离地面米,半径为米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:(1)求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数解析式.(2)当你第次距离地面米时,用了多长时间?【答案】（1）（2）分钟.【解析】【分析】(1)由已知可设由周期为分钟可知,当时,摩天轮第次到达最高点,即此函数第次取得最大值,即可求得答案;(2)设转第圈时,第分钟时距地面米,由,得,即可求得答案.【详解】(1)由已知可设,由周期为分钟可知,当时,摩天轮第次到达最高点,即此函数第次取得最大值,,即.所求的函数关系式为.(2)设转第圈时,第分钟时距地面米,由,得,或,解得或,时,第次距地面米,故第次距离地面米时,用了(分钟).【点睛】本题考查了求解正弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦型函数的图像特征和基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.21．建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数关系.（1）求函数的表达式；（2）请根据（1）的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】【分析】（1）根据函数图象可知周期T，进而根据求得的值；结