平面向量复习基本知识点及结论总结

平面向量学习方法：①理论意义、实际意义；基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧;五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习;TOC\o"1-5"\h\z基本考点：a、向量的运算及其几何意义；b、向量的线性运算；c、共线问题；e、基本定理应用及其向量分解；d、坐标表示及其运算；f、平行问题的坐标表示；g、数量积的运算；h、夹角问题；i、模长及垂直条件；j、在平面几何中应用；k、在解析几何中的应用；1、在解三角形中的应用；m、在物理中的应用；一、向量有关概念：向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移；零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；作用：1、解决矛盾；2、零向量和任何非零向量平行；3、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是+竺）单位化一IABI一④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关；相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a；平行向量（共线向量）：1、方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量；2、记作：a〃b零向量和任何非零向量平行；3、两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合;4、平行向量无传递性！（因为有0）;5、三点A、B、C共线oAB、AC共线；―►相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；a、向量的运算及其几何意义：例1、下列命题：若|a卜|b|，则a二b;②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同；—>―>—>―>③若AB二DC，则ABCD是平行四边形；④若ABCD是平行四边形，则AB二DC;⑤若a=b,b=c,则a二c;⑥若a//b,b//c,则a//c;其中正确的是例2、下列命题正确是:若a=0，贝U—a=0;若非零向量a与b方向相同或相反，则a+b与a,b之一的方向相同；―►―►―►若”卜0，则a=0；—►―►―►―►若a|=b，贝I」a=b或a=-b；若ab，则a=b；_►—A—►-->―►—►II若abc，则ac；—►—►IIIIIIa+b=a+b与乞与b方向相同；向量b与向量a共线的充要条件是有且仅有只有一个实数九，使得fff—►—►—►b=九a；―►—►AB+BA=0;⑥若九a=九b，贝Va=b;―►―►b、向量的线性运算:匸三角形法则”和“平行四边形法则”例3、已知AABC中，点D在BC边上，且=2D?,CZ?=rA/+s昴，则r+s的值是例4、已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线，且AD=a,BE=b，则BC可用向量a,b表示为例5、边长为1的正三角形abc中，设BC=2BD,CA=3CE，则AD•BE=c、共线问题：例6、已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设tgR,女口果3a=c,2b—d,e=t+b丿,那么t为何值时，►f►f►f►—►►f———_►———C、D、E三点在一条直线上例7、如图1,已知点G是AABC的重心，过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB，例2、①例3、解:用零向量解决矛盾例4、11124AD—a,BE—b.:.BC—BE+EC—b+AC—b+—(AD+DC)—b+—(a+—BC)/.BC=—a+—b22233例5、解：设CA—a,CB—b,贝Ua—b—1,(a,b)—60,由题意，得oAD—AC+CD——a+—b,BE—BC+CE——a—b,—-3一例6、懈：毛D—d—c=2b—3atcEv-c=(t—3)a+tb,C、D、E三点在一条直线上的充

要条件是存在实数k,使得CE=kCD,即(t-3)a+tb=3ka+2kb,整理得(t—3+3k)a—(2k—t)b；TOC\o"1-5"\h\z当a,b共线，则阿为任意实数；当a,b不共线，则有V—3*3k—0nt-6；综上，t任t—2k—05意，共线，t—6，不。…例7、点G是AABC的重心，知GA+GB+GC—0,得—AG+(AB—AG)+(AC—AG)—O,有AG—1(AB+AC)。又M^,_G三点共线(A不在直线MN上)于是存在^,,^3使得AG—九使得AG—九AM+卩AN(且九+卩一1),有AG-九xAB+卩yAC二1(AB+AC),于是得丄+丄-3。xy二、向量的表示方法：几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；—匸►符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a-xi+yj-(x,y),称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量

的坐标与向量的终点坐标相同。d、坐标表示及其运算；例1、若a=(l,l)b=(1,-1),c=(-1,2)，贝Uc=例2、如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,l),B(-l,3)，若点C满足OC=九OX+XOB,12其中X,XeR且X+X=1，则点C的轨迹是1212e、基本定理应用及其向量分解：例3、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC二xOA+yOB，其中x,yeR，则x+y的最大值是例4、已知O是AABC的外心，AB=2,AC=1,ZABC=120•若AO二XAB+XAC，则"»»12X+X=12X--例1、解：c=Xa+|ixb,a—例1、解：c=Xa+|ixb,a—(1,1),b—(1,-1),c22P—-2例2、向量pa.PB、PC中三终点A、B、C共线o存在实数％P使得PA—aPB+卩PC且a+B—1・直线ab例3、++60)++60)11解：方法一、设ZAOC=a,则｛0C-0A=xOA-0A解：方法一、设ZAOC=a,则｛0C-OB=xOA-0B+yOB-0Bcosa=x一y2cos(120—a)=——x+y方法二将向量式0C=xOA+yOB两边cosa=x一y2cos(120—a)=——x+y方法二将向量式0C=xOA+yOB两边平方)2=(x+y)2—3xy,因为—xy>——(x+y)2，故1>一(x+y匕，.•.一2<x+y<2.44方法三、以直线0A为x轴，过0垂直于0A的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0),B——，£]C(人卩)代入0C=xOA+yOB可得代入0C=xOA+yOB可得(1也x—一y,——22九2+卩2=1,Xe,»e[0,1]，所以由柯西不等式，得x+y=X+⑶<\1+(：3)就2+»2=2.方法四、设ZAOC=a，作平行四边形OECD，则OC=OE+OD•设OE二x,OD二y,在AOCE中使用正弦定理得

-f-Xsinx+60)=sin-f-Xsinx+60)=sinxsin60sin60sinCx+60)+sinx]=2sin设OC与AB的交点为M方法五、OA-OB=|OA|-设OC与AB的交点为MOM=（1-九）OA+九OB，贝I」由OC=tOM=t（1-九）•OA+XOB］（t>0）,得x+y=t，且两边取模并平方整理得故t=t(九)=t(九)=2.maxmax/「2/「2方法六、设C(cos0,sin0)0g0,—兀=cos0+73sin0=2sin0+一<2,6丿例4、已知O是AABC的外心,例4、已知O是AABC的外心,AB=2,AC=1,AABC=120・若AO=XAB+九AC，则12九+九12解：方法一、点乘法：AO=XAB+九AC两边同时乘以AB,AC得12AO•AB=XAB2+九AC•AB12AO•AC=XAB•AC+九AC212口口2RcosZOAB=4九一九即212—、RcosZOAC=—九+九12所以例例3、若D为AABC的边BC的中点，AABC所在平面内有一点P,满足PA+BP+CP=0,2R•丄=2R•丄=4九—九R12R•=一九+九2Ri216n九+九1213~6方法二、坐标法：以A点为原点，以CA及其垂直平分线所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系•由余弦定理得BC冷，再由正弦定理得■K=2RnsinAAO=R=AD卜2,所以OD_■K=2RnsinAAO=R=AD卜2,所以OD_5/3-~6nAO_6BC1&3),AC_(1,0),AB_Cl八3),X—X_—2i2V3X_—忑I16三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理厂5一6，所以X+X412X_—313"6①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数X，使得b_Xa。i、提供证明共线或平行的方法。ii、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。f、平行问题的坐标表示；例1、已知AABC和点满足MA+MB+MC_0,若存在实数m使得AB+AC_mAM成立，则m_3►►►—►►►►例2、已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，若AP_AB+XAC(XgR),则当X=时，点P在第、三象限的角平分线上。|AP|设竺—，则九IPDI例1解：由MA+MB+MC=0知，点M为AABC的重心，设D为边BC的中点，则向量加法可矢知AB+AC=2AD。2由重心的>质可知：m卜-IAD'而且AM与AD同向’故AM=IAD=1（AB+AC）（AB+AC）=^M例毘、答：1;一——一———>2例3、（答：2）；②共线定理应用：1、定比分点的概念：设点P是直线p,p上异于p,p的任意一点，若存在一个实数九,1212使PP=九PP,则九叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做1212有向线段PP的以定比为九的定比分点；122、九的符号与分点P的位置之间的关系:当P点在线段PP上时o九〉0；当P点在线段PP的延长线上时o1212九<—1；当P点在线段PP的延长线上时o-l<X<0；21当P分有向线段PP所成的比为九,则点P分有向线段PP所成的比为1221

3、线段的定比分点公式：设P(x,y)、P(x,y),P(x,y)分有向线段PP所成的比为九,11122212x+九xT21+九

y+九y

^i+Vx+xx——122当九当九=1时，就得到线段PP的中点公式12。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x,y)、(x,y)的意义，即分别为分点，起点，终点1122的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比九。ii、若P分有向线段PP所成的比为九，点M为平面内的任一点，则MP—MP+九mp2,121+九特别地P为PP的中点oMP—MP1+MP2；一—12>2——例1、若M(-3,-2),N(6,-1)，且MP—1MN，利点P的坐标为3例2、己知例2、己知A(a,0),B(3,2+a)，直线y—ax2与线段交于M，且AM—2MB，则a等于NAM与NAM与BN相交于点P，求AP:PM的值例3、如图，在AABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN—2NC,例1、解:法一：设P(x,y),M(-3,-2),N(6,-1)/.MP—(x+3,y+2),MN—(9,1)解法解法7解法解法7-3--x6

-3--x6

x=4--61--4-2--x(-2)4

口4x-例2、A(a,0),B(3,2+a),M(x,y),AM-2MB.•.<y-a+2x3a+61+23_0+2x(2+a)

1^・・・MP二一1MN・•・MP二一1MN・・・P(x,y),M(-3,-2),N(6,-1)/.<34例3、设BM-e,CN-e，贝UAM-AC+CM--3e-e,BN-2e+e,122112A,P,M和B,P,N分另I」共线，・存在九、R，使AP-九AM--九e—3九e12BP-pBN-2pe+pe,故BA-BP—AP-(九+2p)e+(3九+p)e1212BA—BC+CA—2e+3e,12即AP:即AP:PM—4:15、平行四边形法则:分析：例1、已知a,b是两个非零向量，且a—b|—|a-，则a与a+b的夹角例2、已知回亍2,b—5,a-b—-3，贝Va+b等于—►—►—►—►———例3、若向量a与向量b的夹角为60,一b=4,(a+2b)・C-3b)--72，则向量模a—例4、若正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c，则Ia+b+c丨=例5、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么Ia+3bI=__O例6、若O是AABC所在平面内一点，且满足|OB-OC彳OB+OC-2OA|，则AABC的形状例1、30；例2、*23；例3、6；例4、242；例5、帀；例6、直角三角形；③如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有12一对实数九,九,12―►使a二九e+九e。1122应用：1、解释平面直角坐标系中的任意点坐标(x,y)的来由。—>>>2、共＋平=不共分析：例1、下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是()13131313A、e=(0,0),e=(1,-2)B、e=(—1,2),e=(5,7)1212C、e=(3,5),〜=(6,10)D、e=(2,—3)q=)121224例2、平面上三个不同点O,A,B不共线，问：是否存在实数k,k满足k2+k2>0，且1212kOA+kOB=0。12飞怵|b「+(a-b)2例3、平面上O,A,B三点不共线，设OA=飞怵|b「+(a-b)2(A){a2b2—(a-b)2(B)(C)1』a冃b|2-(a•b)2(D)*』a|芈|2=“b)2例1、解：不共线，非零向量。用共线定理否定的方法（答：B）;例2、反证法：假设存在k,kgR,k2+k2>0表示k,k不全为零，可设k丰0,由kOA+kOB=0,121212212kOB=-矿-OA,〈丰0，若不然，勺二0时，OB二0,O,B重合，与已知“三点”2矛盾，可见k主0,A1・丰0,这表明存在九k丰0,这表明存在九二-才丰0，使OB=九OA。可知O,A,B共线，这与“O,A,B2不共线“矛盾”，表明不存在满足全部条件的实数k,k。注：a—Xe+Xe，当a=0时，共线121122定理。例3、解析：选C.当当0为锐角时，a•b>0，且a,b不同向，a•b>0是0为锐角的必要非充分实数与向量的积：实数九与向量a的积是一个向量，记作九a,它的长度和方向规定如下：(1)卜=|九閘，(2)当九＞0时，九a的方向与a的方向相同，当九〈0时，九a的方向与a的方向相反，当九=0时，九a=0，注：九a#0o分析：―►―►平面向量的数量积：(1)两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作OA=a,OB=b,ZAOB=0(0＜0＜兀)称TOC\o"1-5"\h\zi—¥—h,”f兀为向量a,b的夹角，当0=0时，a,b同向，当0=兀时，a,b反向，当0=—2时，a,b垂直。.,..,4i—ir(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为0,我们把数量IaIIbIcos0—F—B-i,叫做a与b的数量积(或内积或点积))记作：a-b,即a-b=abcos0。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。ffcFb在a上的投影为IbIcos0,它是一个实数，但不一定大于0oa-b的几何意义：数量积a-b等于a的模IaI与b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a,b，其夹角为0,则:—►—►―►―►i、a丄boa-b=0；ii、当aii、当a,b同向时,特别地a2当a与b反向时，a・b=-ab；条件；条件；当0为钝角时，a•b<0且a、b不反向，a当0为钝角时，a•b<0条件；cos0a•b—<rcos0a•biii、非零向量a,b夹角0的计算公式:iv、|a•bIValibI；IIaI—IbIIVa土bIVaI+1bI；当a、同向或有0OI_a+bJ=IaI+IbI>IIaI—IbII=Ia—bI；当a、b反向或有0OIa—bI=IaI+IbI>IIaI—IbII=Ia+bI；TOC\o"1-5"\h\z—►—►—»~~~~—►—>—►—►当a、b不共线OIIaI—IbIIvIa土bI<IaI+IbI；—►—►——►ffff—►—►—►—►g、数量积的运算I例1、已知IaI=3,I韦I=5，且方•方=12，则向量a在向量方上的投影为,•li例2、AABC中，IABI二3,IACI二4,IBC1=5，则AB•BC=例3、已知a=（1,丄）,b=（0,-丄）,c=a+kb,d=a—b，c与d的夹角为—，则k等于224例4、已知非零向量a,b满足a+3b与7a—5b互相垂直，a—4b与7a—2b互相垂直，则a与b的夹角—A―A—►—►—►—►—►—►—»►—►—►例5、已知圆O的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA•PB的最小值为例6、a,b为非零向量，“a丄b是“函数f(x)=Ca+b)・Cb-a)为一次函数”的条件。—►—►h、夹角问题；例7、已知a=（九2）,方二（3九,2），如果方与b的夹角为锐角，则九的取值范围例8、已知AOFQ的面积为S，且亦・FQb=1，若2<S〈斗，则01F,FQ夹角0的取值范围例9、若两向量e,e12满足e=2,e12所成的角为钝角，求实数t的取值范围=1,e,e所成的角为60,若向量2te+7e与向量e+te121212例10、已知a=(cosx,sinx),b=(cosy,siny),a与b之间有关系式|a-kb=-J3ka+b,其中k>0,①用k表示a-b;~*"~*"—>—►—>—►—>—>②求a-b的最大值，并求此时a与b的夹角0的大小最小值一一当a-b取得最大值时，求实数九，使a+九b的值最小，并对这一结果做出几何解释；例11、已知a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx),①求函数f（x）的最小正周期;例例10、例例10、coscos0=冗②当xe0,—时，求函数f(x)的最大值及最小值;厶例1、¥例2、AB•BC=|AB|.|Bc|.cos(兀-B)=—卜卜cosB=—9；例3、1；解：\a+3b)解：\a+3b)•(7a—5b)=0(a—4b)•va—2b)=0=b,cos0=2,0=^1沧+16ab-曲=0=b,cos0=2,0=^17a2—30a•b+8b2=0例5、解析1、如图所示：设PA=PB—x(x>0).ZAPO=a,则—►—►—►—►―►—►―►—►上APB=2a,PO=\;1+x2,sina=—-1+x2x4—x2x4—x2PA•PB二PA•PB•cos2a=x2(1—2sin2a)二，令PA•PB=y，贝Uy二x2+1x2+1即(1+7)y=0,由x2是实数，所以A=[—(1Fy)]2—4x1x(—y)>0,解得y<—3—2迈或y>—3+2迈.故(PA•PB)=—3+2迈，此时x=二远-1.minZAPB=0,0<0v兀PA•PB=|pa|PA•PB=|pa|•|pb|•cos0=(、1tan—\2丿仁.0、"1—sin2—I2[0)1—2sin2_八2丿7_0sin2—2换元：x=sin2-,0<X<1,PA-PB=-航-2X)二2x+--3>2迈-3；xx解析3、建系：圆的方程助F2+y2=1,设A(x,y),B(x,-y),P(x,0)11110PA-PB=x2-2xx+x2-y211001例6、必要不充分;解：①a丄boa-b=0；②f(x)=C-b^x2+C2-a21-a-b为一次函数oa-b=0且b2丰a2；③a-b=0且b2丰a2na-b=0；―►-—>―>―>—►―►―►―►—►―►―►―►“积木式问题”的解题策略：—►—►—►―►—►―►i、先分别对每个条件进行推理，直至得出认为有作用的结果；再认真分析这些结果,探索它们之间的联系；若仍然不能找到解决问题的途径则可以调整以上推理结果；ii、如果某个“积木”恰好是知识的盲点，不要放弃，要对每个条件进行独立推理,可以得到可观的部分分数；例7、九<—4或例7、九<—4或九>0且九丰-；33例8、严兀）（4?3）；例9、-7<t<-1,t工—卫224k例例1、120；例例1、120；12②最小值为--,6=3-a*b———,a*b———,a+九b2_1'2V2丿③23+,4a+九b的值最小，此时即说明(a+即说明(a+1b［丄b=0--I2丿例11、①f(X)=a•b=cos2x-sin2x+2sinxcosx2分y/2sin2y/2sin2x+—4丿••・f(x)的最小正周期T=kTOC\o"1-5"\h\z②0<x<-2当2x+=，即x=时，f(x)有最大值；10分28当2x+=5兀，即x=时，f(x)有最小值-1；12分442细节决定一切”：所得分数与自己估计的相差很大时，说明细节出了问题。向量的运算：、几何运算：1、向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，向量加法还可利用“三角形法则”设AB=a,BC=b，那么向量AC叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC；►—►►—►2、向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由—►—►►►►减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。f-一一一ii、坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，贝U：11221、向量的加减法运算：a土b=(x土x,y土y)。12122、实数与向量的积：九a=X(x,y)=(九x,九y)。iiii—>—>3、若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x-x,y-y)，即一个向量的坐标等于表示这个向1122-2121量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。4、平面向量数量积：a•b=xx+yy。12125、向量的模：Ia1=\；x2+y2,a2=1a|2=x2+y2。—>—>6、两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)，则IABI=(x-x)2+(y-y)2。11222121例1、若点O是△ABC的外心，且OA+OB+CO=0，贝0△ABC的内角C为例2、已矢口A(2,3),B(1,4)，且1AB=(sin^込y),x,yg(--,-)，则x+y=222例例3、设PA亠(k,12),PB=(4,5),PC亍(10,k)，则k=^时，一A、B、C共线；九C九Ca)=(九p)a,1、交换律：a+b=b+a2、结合律：3、分配律:a+b+c=(a+b)+c,a-b-c=a-(b+c),(a)・b=九(a-b)=a-(X2、结合律：3、分配律:(九+p)a=Xa+pa,九C+b)=九a+九b,(a+b)•c=a-c+b-c。TOC\o"1-5"\h\z—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►-例1、下列命题中正确的是—►—►—►—►—►—►—►—►—►—►—A—►—►—►①方•(方-C)=~a•方一方•C；②方•(方•C)=(方•方)•C；③(方一方)2=|方|2-21aI•I方I+1方|2；④若a-b=0，则a=0或b=0；⑤若a•b=c•b,则a=c；⑥|a|2=a2；⑦aj^=b；f〜⑧飞ab)2=a2•b2；〜〜⑨a2a(a-b)2=a2-2a-b+b2。—>―>―>■―►—>—>例1、(答：①⑥⑨)—>—>—>—>—>—>向量平行(共线)的充要条件：a//bOa=Xbo(a-b)2=(IaIIbl)2oxy-yx=0。1212例1、若向量a=(x,l),b=(4,x)，当x=一_时a与共线且方向相同；例2、已矢口a=(1,1)b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b，且u//v，贝Ux=;—►—►

例］、2；例2、4；例3、一2或11；向量垂直的充要条件：a丄boa-b=0ola+b1=1a—bIoxx+yy=0.1212特别地(喘+特别地(喘+竺)丄(告-备)。ac|ab||ac|i、模长及垂直条性例1、已知OA=(-1,2),OB=(3,m),若OA丄OB，则m=例2、以原点o和A(42)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=90。，则点B的坐标例3、已知n=(a,b),向量n丄m，且n=m，则m的坐标是3例】、2；•例2、(1,3)或(3,-1)；一例3、(b,—a)或(—b,a)⑩平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x；y‘)，则］x'=x+h；yf=y+k曲线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲线f(x—h,y—k)=0。例1、按向量a把(2,—3)平移到(1,-2)，则按向量a把点(-7,2)平移到点—>例2、已知A(1,2),B(4,2)，则把向量AB按向量a=(1,3)平移后得到的向量是例3、函数y=sin2x的图象按向量N平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，则方=―>兀例］、(—8,3)；例2、解：A(l,2),B(4,2).・.AB=(3,0)例3、(--,1)四、平面向量的应用：向量在几何中的应用：向量的几何表示是有向线段，其加法和减法的几何意义、模长、平行、垂直等内容的结合。j、在几何中的应用“三角形“四心”向量”在AABC中：z....\若A（x,y）,B（x,y）,C（x,y），则其重心的坐标为G|汇*±4,人十*十乙。112233I33丿PG=3（PA十PB十PC）oG为AABC的重心，特别地PA十PB十PC=0oP为AABC的重心；PA-PB=PB-PC=PC-PAoP为AABC的垂心;向量九（_AB出）所在直线过AABC的内心（是ZBAC的角平分线所在直IABIIACI线）；一一IABIPC十IBCIPA+1CAIPB=0oPAABC的内心；1、重心（中线交点）►►>►►>—A①G是厶ABC的重心oGA十GB十GC=0；证明作图如右，图中gb+GC=GE，-连结BE和CE,则CE二GB,BE=GCoBGCE22C22C、重心D、AB边的中点22C22C、重心D、AB边的中点为平行四边形nD是BC的中点，AD为BC边上的中线•将GB+GC=GE代入GA+GB+GC=0，得GA+EG=0nGA=-GE=—2GD，故G是△ABC的重心。(反之亦然)②PG^1（PA+PB+PCf^"G为^ABC■的重心（P是平面上的点）.证明G=PB+BG=PC+CGn3PG二(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC)^G是AABC的重心••-GA+GB+GC=0nAG+BG+CG=0，即3PG=PA+PB+PC，由此可得PG=1(PA+PB+PC)。例1、向量op、opop满足op+op+op=0,|op|=]opI=Iop=1,12、3123I11I2丨I3求证APPP是123正三角形。例2、若O为AABC内一点，OA+OB+OC=0，则O是AABC的（）CA、内心B、外心C、垂心D、重心例3、A、B、C是平面上不共线三点，O是AABC的重心,动点P满足OP=3〔2OA+2OB+2OCJ，则点P一定为AABC的（A、AB边中线的中点B、AB边中线的三等分点（非重心）由由HA・HB=HB・HCoHB・(HC—HA)=0oHB・AC=0oHB丄AC,例1、证明由已知OP+OP=-OP，两边平方得OP•OP=-1，同理OP•OP=OP•OP=-112312223312.•・lPP1=1PPT=lpP1=£3'从而APPP宠正三角形。122331123反之厂若点o是正三角形△PPP的中心，贝I」显然有OP+OP+OP=0且|OP|=|OP|=|12312312OP3|.—即0是厶ABC所在平面内一点，OP+OP+OP=0且|OP|=|OP|=|OP|。点0是正123123△PPP的中心.123例2、解析：由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA，如图以OB、0C为相邻两边构作平行四边形，则OB七OC二OD，由平行四边形性质知OE=-OD,2OA|=2|OE|,同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。例3例3、解：B；取AB边的中点M,则OA+OB—2OM,由0P=—3可得30P—0M+20C,0P—-0M，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B；2、垂心（高线交点）只是厶ABC的垂心°HA-HB—HB-HC—HC-HA同理HC丄AB，—HA丄BC.故廿是△ABC的垂心.一—（反之亦然（证略））—若H是AABC（非直角三角形）的垂心，则S:S:S=tanA:tanB:tanC,ABHCAAHCAAHB故tanA•HA+tanB•HB+tanC•HC=0・例1、P是AABC所在平面上一点，寺PA-PB=PB-PC=PC-PA，贝UP是AABC的（）A、外心B、内心C、重心D、垂心例1、解析：由PA•PB二PB•PC得PA•PB—PB•PC二0・即PB•（PA—PC）=0,即PB•CA=0则PB丄CA,同理PA丄BC,PC丄AB所以P为AABC的垂心.故选D.，3、外心（边垂直平分线交点，外接圆圆心）O是AABC的外心oOA二OB二OC（或OA2二OB2二OC2）（点O到三边距离相等）o(9A+OB)•AB=(OB+OCiBC^CoA+OC)・PA=叶O为三边垂直平分线)若一◎一—AABC一価一外卜心,则S:S:S=sinZBOC:sinZAOC:sinZAOB=sin2A:sin2B;sin2CABOCAAOCAAOB故sin2A•OA+sin2B•OB+sin2C•OC=0.

例1、若O为AABC内一点，OA二OB二OC，则O是AABC的（）A、内心？B、外心C、垂心D、重心例1、解析：由向量模的定义知O到AABC的三顶点距离相等。故O是AABC的外心？,选B。4、内心（角平分线交点，内切圆圆心）O是AABC的内心充要条件是OA•（如—竺）二OB•（型—旦）二OC•（-CA--CB-）=0IABIIACIIBAIIBCIICAIICBID如果记ab，BC，CA的单位向量为e,e,严O是AABC内心的充要条件可以写成123DOA-^（e七）=OB•（e+e）=OC（e■+e）=0131223O是AABC内心的充要条件也可以是a^OA^b-OB+c-OC=0.若O是AABC的内心，则S:S:S=a:b:c,ABOCAAO^AAOB~»»_故a-OA+b-OB+c-OC=0或sinA-OA+sinB-OB+sinC-OC=0,IABIPC+IBCIPA+ICAIPB=0oP为AABC的内心；►►►—►►►►—►向量比斗必）狂0）所在直线过AABC的内心（是ZBAC的角平分线所在直线）;IABIIACI*设万是AABC所在平面内任意一点，I为AABC内心的充要条件是pi=aPA+bPB+cPCa+b+c例1、O是平面上一个定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足:例2、的(例3、OP=OA+嘀严⑺)外心AC),九"0,+8)，则P点轨迹一定经过AABC的()(B)内心(C)重心(D)垂心已知O是平面上的一定点,OP=OB+OC+九2(AB+ABcosB(A)外心(B)内心已知非零向量AB与AC满足例1、①ABACAB'ACB、C是平面上不共线的三个动点，动点P满足、ACACcosC丿,九e(0,+8)，则P的轨迹一定通过AABC(C)重心(D)垂心ABAC网+网丿■BC=0，且AB希=2，则aabc为分别表示AB,AC上的单位向量，因此②简+表示菱形AB'DC对角线AD；(设AB鬧E[AC，角平分线);③HABABAC)(X>0)表示九ADAC即起点A，终点在射线AD上的向量。AB④OP-OA+lABlACAC)表示以OA,九(AB等)为邻边的平行四边形的对角线上动点P为终点OP:因为P点总在ZBAC的平分线上,所以P点过AABC的内心。例2、因为ABABcosBACACcosC都点乘以BC后分母可以约去，且有ABACr0,ABcosBAC|cosC即动点即动点P满足OP了BC=OD-BC+九BC+BC),其中D是边BC的中点，移向并整理，得BC・(OP-OD)=0,BC-DP=0,PD是BC的中垂线，选B；例3、竺匸竺例3、竺匸竺f.BC顷•.角A的平分线垂直于BC;ABACIABAB馅=丄,.・.角A=60；网2。等边，选D;②向量在解析中的应用：条件以向量形式给出；定比分点公式以向量的形式给出；解决垂直问题时不用考虑斜率；k、在解析中的应用例1、O为直角坐标系XOY的原点，平面内A(3,1),B(-1,3),C点对应的向量OC=aOA+卩OB，其中a,卩wR,a+P=1，求C点轨迹方程例2、直线x=2与双曲线一-y2=1的渐近线交于E,E两点。记OE=e,OE=e,任取双4121122曲线上的点p,若满足OP=ae+1be(a,b若满足OP=ae+12

在AABC中，已知AB=出I-,cosB二工6,AC边上的中线BD=人；5，求sinA的值x=x=3d-P

y=d