2023届高考数学压轴小题03 解密函数零点相关问题含答案

33/332023届高考数学压轴小题03解密函数零点相关问题解密函数零点相关问题一、方法综述新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．根据函数零点的定义：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题．二、解题策略类型一：函数零点的分布问题例1．【2020·河南高考模拟】已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，，则函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，对任意的，都有，又由是定义在上的单调函数，则为定值，设，则，又由，∴，所以，所以，所以，因为，所以零点所在的区间为（3，4）.【解题秘籍】判断函数零点所在区间有三种常用方法：①直接法，解方程判断；②定理法；③图象法．【举一反三】函数f(x)＝lnx＋x－eq\f(1,2)，则函数的零点所在区间是()A．B．C．D．(1，2)【答案】C【解析】函数f(x)＝lnx＋x－eq\f(1,2)的图象在(0，＋∞)上连续，且＝lneq\f(3,4)＋eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＝lneq\f(3,4)＋eq\f(1,4)＜0，f(1)＝ln1＋1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＞0，故f(x)的零点所在区间为．学科$网类型二函数零点的个数问题例2．【2020·陕西高考模拟】已知函数，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，设h（x）＝，则h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【举一反三】【2020·安徽高考模拟】已知函数若函数有两个零点，，则（）A． B．或 C．或 D．或或【答案】D【解析】当时，，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数，所以当时，的最小值为.又在上，的图像如图所示：因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的解即直线与有两个不同交点且交点的横坐标分别为，故或或，若，则，故，则，若，则.综上，选D.类型三已知函数零点求参数例3．【2020·天津高考模拟】已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解,则的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】关于的方程恰有三个不相等的实数解，即方程恰有三个不相等的实数解，即与有三个不同的交点.令，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；且当时，，当时，，，当时，，据此绘制函数的图像如图所示，结合函数图像可知，满足题意时的取值范围是.本题选择C选项.【举一反三】【2020·江苏高考模拟】已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．【答案】或【解析】函数0，得|x+a|a＝3，设g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，则函数g（x），不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a或﹣1．三、强化训练1．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】四川省成都市南开为明学校2020-2021学年高三上学期第二次调研考试数学（理）试题【答案】A【解析】令，则，则函数有个零点即直线与函数有个交点，将直线与函数的图像分别沿轴的正方向上移个单位，即直线与函数的图像有个交点，因为，满足，所以函数是奇函数，因为直线过点，所以只需满足直线与刚好有除点外的另一个交点即可，，，，故在点处的切线方程为，如图，将直线绕原点逆时针旋转，显然与只有一个交点，故实数的取值范围是，故选：A.2．已知函数，若函数在上恒有两个零点，则实数的取值范围为（）A． B．或C．或 D．【来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷I文科数学试题【答案】B【解析】作出和，如图所示，要使函数在上恒有两个零点，即函数与的图象有两个交点，易知当时，满足题意；当时，有三个交点，不满足题意；当时，考虑与相切时，设切点坐标为，所以，解得，所以当时，有两个交点，满足题意；当时，有四个交点，不满足题意；当时，无交点，不满足题意综上，实数的取值范围为或，故选.3．已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【来源】四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试数学理科试题【答案】C【解析】设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，所以，所以函数关于对称的函数为.由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，故函数与函数图象在区间有交点，所以方程在区间上有解，所以，即，所以.故选：C.4．已知函数，以下结论正确的是（）A．在区间上是增函数B．C．若方程恰有个实根，则D．若函数在上有个零点，则【来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题【答案】C【解析】由题意，作出函数的图象，如图所示，对于A中，当，若，即，可得，当时，为周期为的函数，作出在区间的函数，可知在区间上先增后减，所以A错误；对于B中，因为时，函数为周期为的函数，又由，所以，，所以，所以B错误；对于C中，直线恒过定点，函数的图象和函数的图象有三个交点，当，设与相切于点，则，解得，当，根据对称性可知，当与相切时，，则，即，综上可得，当函数的图象和函数的图象有三个交点时，，所以C正确．对于D中，又由函数在上有个零点，故直线与在上由6个交点，不妨设，由图象可知关于直线对称，关于直线对称，关于直线对称，所以，所以D错误.故选：C.5．为实数，表示不超过的最大整数.，若的图像上恰好存在一个点与的图像上某点关于轴对称，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】设，点关于轴对称，由题意可知在有一个解，故在有一个解设，写成分段函数形式即为作出函数图象可知与，只有一个交点，由图象可知，的取值范围为或故答案为：6．已知，，若函数(为实数)有两个不同的零点，，且，则的最小值为___________.【答案】【解析】，求导，在上单调递增.函数有两个不同零点，等价于方程有两个不等实根.设，则，又在上单调递增，作出函数的图像，则问题转化为在上有两个不同的实根，，则，则，，.设，，则，在上单调递增，且，由零点存在性定理知，在上有唯一零点，故在上单调递减，在上单调递增，所以.7．已知函数存在个零点，则实数的取值范围是__________.【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题【答案】【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即.当时，.所以，函数的定义域为，，令，由于，解得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即，若使得函数存在个零点，则直线与函数的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为、，作出函数的图如下图所示：由图象可知，.作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数在上的图象有两个交点，综上所述，实数的取值范围是.8．已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.【来源】中国人民大学附属中学2021届高三3月开学检测数学试题【答案】①②③④【解析】如上图分别为，和时函数的图象，对于①：当时，，图象如图关于原点对称，所以存在使得函数为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当时，，当时，，所以函数既无最大值也无最小值；故②正确；对于③：如图和图中存在实数使得函数图象与没有交点，此时函数没有零点，所以对任意实数和，函数总存在零点不成立；故③不正确对于④：如图，对于任意给定的正实数，取即可使函数在区间上单调递减，故④正确；故答案为：①②④9．已知是奇函数，定义域为，当时，（），当函数有3个零点时，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】当时，易知函数单调递减，且时，，时，，其大致图象如下，在的大致图象如下，又函数是定义在上的奇函数，故函数的图象如下，要使函数有3个零点，只需函数的图象与直线有且仅有3个交点，由图象可知，．10．设函数，若b，c，d分别为函数的三个不同零点，则的最大值是_______.【答案】【解析】有三个不同的零点，即与有三个不同交点，如图可知，，所以设令当单调递增；当单调递减；故答案为：多元问题的最值问题一、方法综述多元函数是高等数学中的重要概念之一，但随着新课程的改革，高中数学与大学数学知识的衔接，多元函数的值域与最值及其衍生问题在高考试题中频频出现，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有挑战性，成为最值求解中的难点和热点。解决问题的常见方法有：导数法、消元法、均值不等式法（“1”代换）、换元法（整体换元三角换元）、数形结合法、柯西不等式法、向量法等。二、解题策略类型一导数法例1．已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】的定义域为，，∴为奇函数，又在上单调递增，∴，∴，又，则，，∴恒成立；设，则，当时，∴在内单调递减，的最大值为从负数无限接近于，，∴，，故选：B.【举一反三】【2020·浙江学军中学高考模拟】）已知不等式对任意实数恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式可以化为，设f(x)=,所以，所以只有a+4>0，才能有恒成立.此时,设g(x)=，所以所以故选A类型二消元法例2．已知实数，，满足，，则的最小值是（）A． B． C． D．【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2021年3月测试理科数学（一卷）试卷【答案】B【解析】由，可得，，由可得所以，由可得即，解得，所以，令，，由可得，由可得或，，，，，所以的最小值为，即的最小值为.故选：B.【举一反三】【2020重庆高考一模】若实数a，b，c满足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，则c的最大值是．【答案】2﹣log23【解析】分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因为t≥4，所以，即，所以故答案为2﹣log23类型三基本不等式法例3．【2020宜昌高考模拟】已知变量满足，若目标函数取到最大值，则函数的最小值为（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】试题分析：因为（当且仅当时取等号）,所以.则,记,则在上单调递增,所以,应选D.【易错点晴】本题以线性规划的知识为背景考查的是函数的最小值的求法问题.求解时充分利用题设中所提供的有效信息,对线性约束条件进行了巧妙合理的运用,使得本题巧妙获解.解答本题的关键是求出函数中的参数的值.本题的解答方法是巧妙运用待定系数法和不等式的可加性,将线性约束条件进行了合理的运用,避免了数形结合过程的烦恼,直接求出的最大值,确定了参数的值.【举一反三】【2019湖南五市十校12月联考】已知正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正实数，，满足，得，当且仅当，即时，取最大值，又因为，所以此时，所以，故最大值为1【解题秘籍】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，然后再利用基本不等式，要注意条件：一正二定三相等．【2020·陕西西北工业大学附属中学高考模拟】已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若当时，恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，设t=ex，（t＞1），则m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，当且仅当t=2时等号成立，∴m≤﹣．故选B．类型四换元法例4．【2020浙江高考模拟】已知，则的最大值是__________．【答案】【解析】∵∴令，则.∵∴，∴又∵在上为单调递增,∴∴的最大值是，故答案为.【点睛】解答本题的关键是将等式化简到，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用对勾函数的单调性求出该函数的最值，从而使得问题获解.形如的函数称为对勾函数，其单调增区间为，；单调减区间为，.【举一反三】【2020阜阳市三中调研】已知实数满足,则有（）A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值和最大值D．最小值1,无最大值【答案】B【解析】由,可设,则=,故选B【2019山东济南期末考】已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函数的图象，由图像可知：函数在R上单调递减，，即，由函数在R上单调递减，可得：，变量分离可得：，令，则，又，∴，∴，故选B．三、强化训练1．已知函数对，总有，使成立，则的范围是（）A． B． C． D．【来源】天津市第一中学2021届高三下学期第四次月考数学试题【答案】B【解析】由题意可知：，成立，即，又对，，所以，又可看作与在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，由，，可取，所以的直线方程为，设与平行且与相切于，所以，所以，所以切线为，当与平行且与两条直线的距离相等时，即恰好在的中间，此时与在纵坐标的竖直距离中取得最大值中的最小值，此时，则，又因为，所以，所以，此时或或，所以的范围是，故选：B.2．设是定义在R上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，若对任意的，均有即为，由于,当时，为单调递增函数，又∵函数为偶函数，∴等价于，即（∵）,由区间的定义可知,若，于是,即，由于的最大值为，故显然不可能恒成立；,即,∴,即,故的最大值为,故选：B.3．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣1，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）【答案】B【解析】因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以将换为，可得，所以函数在上是增函数，所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等价于，即对任意的t∈[﹣1，1]恒成立，令，则，即，解得或，故选：B4．已知实数，不等式对任意恒成立，则的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得，即，∴，即，两边除以得：，所以，因为，故，故为增函数.又，因此在上递减，上递增，又，，且，故.则.故选：B.5．已知函数，当时设的最大值为，则当取到最小值时（）A．0 B．1 C．2 D．【来源】浙江省宁波市华茂外国语学校2020届高三下学期3月高考模拟数学试题【答案】A【解析】，当时设的最大值，在端点处或最低点处取得，最小值为2，最小值为，最小值为4.5，最小值综上可得，取到最小值时0.故选：A6．已知函数，其中，记为的最小值，则当时，的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】①当时，在上单调递增，所以，因此满足题意；②当时，在上单调递增，在上单调递减因此⑴当时，在上单调递增，所以，或或⑵当时，在上单调递增，在上单调递减，所以；综上，的取值范围为，故选：D7．函数．若存在，使得，则的取值范围是（）．A． B． C． D．【答