《随机信号分析》总复习

?随机信号分析?总复习1概率论的根本术语随机变量的定义及分布多维随机变量及分布随机变量的数字特征随机变量的函数多维正态随机变量第1章随机变量根底

1.3随机变量的分布函数与概率密度-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8

1.4多维随机变量及分布

1.4多维随机变量及分布1.5随机变量的数学特征均值〔数学期望〕随机变量X的均值离散型随机变量性质线性

X,Y不相关2023/1/128方差定义：反映了随机变量的取值与其均值的偏离程度性质

独立随机变量：1.5随机变量的数学特征1.5随机变量的数学特征假设X是随机变量，a,b是任意确定实数，令Y=aX+b，那么

2023/1/1210

1.6随机变量的函数一维随机变量函数的分布假设为单调连续上升函数，求导，得，雅可〔Jacco〕比对于任意单调函数：如果不是单调函数：其中…,1.6随机变量的函数多维随机变量的函数设有二维随机变量，其概率密度为

，二维随机变量：

当，单调时，1.6随机变量的函数

1.6随机变量的函数随机变量的定义随机变量的分布函数和概率密度：导数和积分随机变量的数字特征：均值，方差，协方差，相关系数随机变量的函数：反函数和雅可比正态随机变量：分布，数字特征第一章小结随机过程的根本概念及定义随机过程的统计描述平稳随机过程随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的功率谱密度典型的随机过程〔高斯〕第二章2.1随机过程的根本概念及定义随机过程定义设随机试验的样本空间为，对其每一个元素都以某种法那么确定一个样本函数，由全部元素所确定的一族样本函数称为随机过程，简记为。随机过程是一组样本函数的集合。2023/1/12172.1随机过程的根本概念及定义随机过程定义二设有一个过程，假设对于每一个固定的时刻，是一个随机变量，那么称为随机过程。随机过程是一组随机变量的集合。2023/1/12182.1随机过程的根本概念及定义不同情况的意义：当固定，固定时，是一个确定值。当固定，可变时，是一个随机变量。当可变，固定时，是一个确定的时间函数。当可变，可变时，是一个随机过程。2023/1/12192.2.1随机过程的概率分布随机过程的概率分布一维概率分布：假设的一阶导数存在，定义一维概率密度：随机序列：2023/1/12202.2.1随机过程的概率分布二维概率分布：及为同一随机过程上的随机变量二维概率密度：2023/1/1221随机过程的数字特征均值：方差：随机过程的均值与方差都是时间的函数均值与方差的物理意义2.2.2随机过程的数字特征表示消耗在单位电阻上的总的平均功率平均交流功率平均直流功率相关函数：反映两个不同时刻状态之间相关程度的数字特征举例：两个均值和方差大致相同的随机过程，相关性差异很大2.2.2随机过程的数字特征2.2.2随机过程的数字特征协方差函数也是相关性的描述如果，那么称和不相关。如果，那么称和相互正交。如果，那么称随机过程在和时刻是独立的。2023/1/12242023/1/12252.3.1平稳随机过程的定义

对于一维概率密度有：对于二维概率密度有：2.3.1平稳随机过程的定义

2023/1/1226

严格平稳广义平稳当随机过程是正态分布时，两者等价。一定（均值，自相关函数都存在）不一定2.3.2平稳随机过程自相关函数的特性2023/1/1227〔1〕相关函数是偶函数〔2〕在时有最大值，即〔3〕假设随机过程含有周期分量，那么自相关函数也含有周期分量，例如2.3.2平稳随机过程自相关函数的特性2023/1/1228〔4〕假设随机过程不含周期分量，那么〔5〕相关函数示意图统计平均功率直流功率交流功率

2.4.1联合分布函数和联合概率密度2023/1/1229设随机过程X(t)的N维分布函数为Y(t)的M维分布函数为定义X(t)和Y(t)的N+M维联合概率分布函数为2.4.1联合分布函数和联合概率密度2023/1/1230定义X(t)和Y(t)的N+M维联合概率密度为如果那么称X(t)和Y(t)是相互独立的2.4.1联合分布函数和联合概率密度2023/1/1231如果X(t)和Y(t)的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称X(t)和Y(t)是严格联合平稳的，也称平稳相依。它们的任意N+M维联合概率密度与时间起点无关2.4.2互相关函数及其性质2023/1/1232互相关函数互协方差函数X(t)和Y(t)相互正交X(t)和Y(t)不相关2.4.2互相关函数及其性质2023/1/1233如果那么称X(t)和Y(t)是广义联合平稳的。2.4.2互相关函数及其性质2023/1/1234（1）联合平稳随机过程互相关函数性质（2）2.4.2互相关函数及其性质2023/1/1235（3）若X(t)和Y(t)是联合平稳的，则Z(t)=X(t)+Y(t)也是平稳的，且联合平稳随机过程互相关函数性质如果X(t)和Y(t)不相关，则如果X(t)和Y(t)相互正交，则2023/1/12362.5.1连续时间随机过程的功率谱信号s(t)的能量谱密度〔简称能谱密度〕：表示单位频带内信号的能量能谱密度存在的条件Parseval定理能量型信号能量有限的信号2.5.1连续时间随机过程的功率谱2023/1/1237定义随机过程的功率谱密度为：功率谱密度是从频域描述随机过程很重要的数字特征，随机过程的功率谱密度表示单位频带内信号的频谱分量消耗在单位电阻上的平均功率的统计平均值。能谱密度：信号的能量按频率分布的情况功率谱密度：信号的平均功率按频率分布的情况2.5.1连续时间随机过程的功率谱2023/1/1238功率谱密度与相关函数关系维纳-辛钦定理条件:功率谱密度、自相关函数有意义适用于任意随机过程〔定义本身不要求必须是平稳过程〕2.5.1连续时间随机过程的功率谱2023/1/1239性质：对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；2.5.1连续时间随机过程的功率谱2023/1/1240性质：相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。总的平均功率2023/1/12412.5.3互功率谱2023/1/1242两个随机过程X(t)，Y(t)的互功率谱其中：若X(t)及Y(t)联合平稳，绝对可积，有互功率谱从频域上描述了两个随机过程的互相关特性。2.5.3互功率谱2023/1/1243性质：（1）互功率谱并非是非负的实偶函数与是的奇函数；是的偶函数；与（2）（3）2.6.1白噪声2023/1/1244平稳白噪声：随机过程X(t)均值为0，自相关函数为平稳白噪声功率谱密度：白噪声的功率谱密度和自相关函数

2.6.2正态随机过程2023/1/1245性质：1.对于正态随机过程而言，广义平稳与严格平稳等价；2.对于正态随机过程而言，不相关与独立等价；3.一般平稳正态噪声与信号之和为非平稳的正态过程。4.若平稳正态过程具有均匀的功率谱密度，则称此过程为平稳正态白噪声。满足

随机过程的根本概念及定义随机过程的统计描述：概率分布、数字特征平稳随机过程平稳的概念及判断平稳随机过程自相关函数的性质随机过程的联合分布和互相关函数随机过程的功率谱密度定义，维纳-辛钦定理功率谱的性质、计算白噪声、正态随机过程第二章小结2023/1/12472023/1/1248习题解答2023/1/12492023/1/12502023/1/1251不是平稳随机过程2023/1/1252许瓦兹不等式2023/1/12532023/1/1254〔1〕2023/1/12552023/1/12562023/1/1257第三章随机过程的线性变换3.1变换的根本概念和根本定理3.2随机过程通过线性系统分析3.3限带过程3.5最正确线性滤波器3.6线性系统输出端随机过程的概率分布583.1变换的根本概念和根本定理线性变换 设有任意两个随机变量A1和A2及任意两个随机过程X1(t)和X2(t)，如果满足那么称L是线性变换。

593.1变换的根本概念和根本定理线性变换的两个根本定理定理1设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换，那么即随机过程经过线性变换后，其输出的数学期望等于输入的数学期望通过线性变换后的结果。603.1变换的根本概念和根本定理定理2设Y(t)=L[X(t)]，其中L是线性变换，那么其中表示对t1做L变换，表示对t2做L变换。613.1变换的根本概念和根本定理随机过程及其导数相关函数示意图623.2随机过程通过线性系统分析冲激响应法输出均值假设X(t)平稳63X(t)Y(t)h(t)3.2随机过程通过线性系统分析随机过程通过线性系统输入输出相关函数的关系64),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th3.2随机过程通过线性系统分析平稳随机过程通过线性系统输入输出相关函数之间的关系653.2随机过程通过线性系统分析频谱法：利用系统的传递函数来分析输出的统计特性

663.3限带过程低通随机过程：随机过程的功率谱GX(ω)在|ω|<ωc

内不为零，而在其外为零低通随机过程的自相关函数为67图3-1低通随机过程的功率谱3.3限带过程假设低通随机过程在频带内功率谱密度为常数，即那么称X(t)为理想低通随机过程或理想低通白噪声其自相关函数为总的平均功率为683.3限带过程带通随机过程：随机过程X(t)的功率谱GX(ω)集中在ω0为中心的频带内理想带通随机过程：在频带内，功率谱密度为常数69〔b〕理想带通随机过程〔a〕一般带通随机过程3.3限带过程噪声等效通能带〔噪声等效矩形带宽〕：把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效成在一定频带内均匀的的物理谱密度，这个频带称为等效通能带，记为Δfe70图3-4噪声等效通能带〔噪声等效矩形带宽〕示意图是在白噪声环境下以输出信噪比最大作为准那么的最正确线性滤波器。匹配滤波器的冲激响应是输入信号的共轭镜像。对于实信号3.5.2匹配滤波器(3.5.13)(3.5.14)(3.5.15)当c=1时，与关于呈偶对称关系。性质和特点-1:输出的最大信噪比与输入信号的波形无关由于白噪声的功率谱为一个常数，由(3.5.9)式可得其中E代表信号的能量，由(3.5.16)式可以看出，最大信噪比只与信号的能量和噪声的强度有关，与信号的波形无关。(3.5.16)3.5.2匹配滤波器3.5.2匹配滤波器性质和特点-2：应该选在信号结束之后。由(3.5.15)式可以看出，如果要求系统是物理可实现的，那么必须选择在信号结束之后才能满足。对于物理可实现系统，因为只有选在信号结束之后，才能把信号的能量全部利用上，信噪比才能到达最大。733.5.2匹配滤波器性质和特点-3：匹配滤波器对信号幅度和时延具有适应性如果发射信号为

，那么接收信号为，的频谱为对的匹配滤波器的传递函数为743.6.1正态随机过程通过线性系统当X(t)是正态随机过程时，XN是N维正态随机矢量，其通过线性系统后仍然服从正态分布。随机过程的正态化指的是非正态随机过程通过线性系统后，变换为正态过程。就随机变量而言，根据中心极限定理，大量独立同分布的随机变量之和，其分布是趋于正态的。可以证明，白噪声通过有限带宽的线性系统，输出服从正态分布。宽带噪声通过窄带系统，输出也近似服从正态分布。第三章小结线性变换概述随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法限带过程、白噪声通过线性系统最正确线性滤波器、匹配滤波器随机过程线性变换后的概率分布76

2023/1/12773.3一个平稳随机过程输入到低通滤波器〔如图〕，X(t)的自相关函数为，求输出的自相关函数X(t)Y(t)RC

2023/1/12783.7线性时不变系统传递函数为，输入平稳随机过程X(t)的自相关函数为，求输入输出之间的互相关函数解：

2023/1/12793.30线性滤波器输入为X(t)=s(t)+n(t)，其中信号为指数形式脉冲，，n(t)为平稳白噪声，且与s(t)统计独立。求匹配滤波器传输函数频域时域

2023/1/12803.31单个射频脉冲信号的匹配滤波：信号s(t)是矩形包络射频脉冲，脉冲宽度为，角频率为，表示式为其中求匹配滤波器传递函数，输出信号波形，输出信噪比解：第四章随机过程的非线性变换直接分析法2023/1/12811.

概率密度单调

不单调

其中：

Y=g(x)X(t)Y(t)非线性变换的直接分析法2.

均值和自相关函数X(t)的一维概率密度X(t)的二维概率密度假设输入二阶严平稳那么输出广义平稳的。Y=g(x)X(t)Y(t)非线性变换的直接分析法

842023/1/1285第5章窄带随机过程

Narrow-bandRandomProcess希尔伯特变换信号的复信号表示窄带随机过程的统计特性窄带正态随机过程包络和相位的分布2023/1/1286希尔伯特变换(HilbertTransform)正变换定义：反变换：1.定义2023/1/1287希尔伯特变换器实际上是一个90的相移器〔理想宽带相移网络〕频率特性为：幅频特性为：这是一个全通滤波器相频特性2023/1/12882023/1/1288Hilbert变换的根本性质性质重变换：等能量：正交性：奇偶性：相关函数不变，功率谱不变，平均功率不变2023/1/12892023/1/1289Hilbert变换常用变换2023/1/1290解析信号(1)实信号x(t)的解析信号定义为例1判断是否是解析信号从时域验证其虚部为实部的希尔伯特变换，所以是解析信号从频域验证的傅里叶变换是其实部傅里叶变换正频率局部的两倍，所以是解析信号2023/1/1291解析信号(2)假设复信号的傅里叶变换在f<0恒为0，那么此复信号为解析信号例2：实函数x(t),求其解析函数时域：频域：2023/1/1292解析信号(3)

2023/1/1293解析信号(4)2023/1/1294解析信号(5)4)解析信号

的能量为其实信号x(t)能量的2倍

2023/1/129500复包络2023/1/12962.随机信号的复信号表示2023/1/12972023/1/1298频带信号与带通系统—等效低通频带信号通过带通系统结论：在处理频带信号鼓励带通系统时，可以由等价的低通分析代替，即由鼓励单位冲激响应为的低通系统，求得其输出响应，再乘以求其实部，即为带通系统的响应。5.3窄带随机过程的统计特性窄带随机过程的准正弦表示窄带随机过程的低通表示窄带随机过程的统计特性解析信号的相关函数和功率谱密度复包络的相关函数和功率谱密度同向分量和正交分量的统计特性2023/1/12992023/1/12100窄带随机过程的准正弦表示

同向分量

正交分量

2023/1/12101窄带随机过程的低通表示

复包络

复载波窄带随机过程的统计特性解析信号的统计特性2023/1/121022023/1/12103窄带随机过程的统计特性基带随机过程2023/1/121042023/1/12105同一时刻不相关奇函数高斯独立06-9-272023/1/121065.3.2结论1对于均值为零的窄带平稳高斯过程其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的。2023/1/12107求功率谱密度或者。因此2023/1/121082023/1/12109结论2结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络和相位是统计独立的。2023/1/121105.4.2正弦波加窄带高斯过程-包络的概率密度a=0，f(At)~瑞利分布a>>，f(At)~近似高斯分布广义瑞利分布(莱斯分布)零阶修正贝塞尔函数（Bessel）2023/1/121