概率论与数理统计复习

第一章随机事件与概率1、随机事件的表示，由简单事件的运算表达复杂事件；2、概率的运算性质，如加法公式，减法公式，乘法公式等；3、条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式；4、事件独立性定义

例.试用A、B、C表示下列事件：①A出现；②仅A出现；③恰有一个出现；④至少有一个出现；⑤至多有一个出现；⑥都不出现；⑦不都出现；⑧至少有两个出现；加法公式减法公式

例、P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求P(AB).

条件概率乘法公式甲口袋有a只白球、b只黑球；乙口袋有n只白球、

m只黑球.从甲口袋任取一球放入乙口袋，然后从乙口袋中任取一球，求从乙口袋中取出的是白球的概率.概率为：全概率公式的例题

某人从甲地到乙地，乘飞机、火车、汽车迟到的概率分别为0.1、0.2、0.3，他等可能地选择这三种交通工具。若已知他最后迟到了，求他分别是乘飞机、火车、汽车的概率.（1/6，2/6，3/6）已知“结果”，求“原因”

用贝叶斯公式

事件的独立性

直观说法：对于两事件，若其中任何一个事件的发生不影响另一个事件的发生，则这两事件是独立的.P(A|B)=P(A)

P(AB)/P(B)=P(A)P(AB)

=P(A)P(B)1、会由随机变量的已知分布律或密度函数求出其分布函数；2、六种重要分布的分布律和密度函数；3、有关正态分布的概率计算；4、会求随机变量函数的分布；第二章随机变量及其分布一、分布函数、分布律、密度函数、概率之间关系例已知X的分布列如下：X012P1/31/61/2求X的分布函数.解：例设

X~求F(x).解：离散型随机变量：（0-1）分布：P{X=1}=p,P{X=0}=1-p

二项分布：X~B(n，p)：泊松分布:X~P()：二、几种重要分布连续型随机变量：均匀分布：X~U(a,b),指数分布：X~Exp(λ)正态分布：X~N(,2)标准正态分布：一般正态分布的标准化定理

设X~N(,

2),则Y~N(0,1).结论:

若X~N(,

2),则

设X~N(10,4),

求P(10<X<13),P(|X10|<2).解:P(10<X<13)=(1.5)(0)=0.93320.5P(|X10|<2)=

P(8<X<12)=2(1)1=0.6826=0.4332例

连续随机变量函数的分布定理设X~fX(x)，y=g(x)是x的严格单调函数，记x=h(y)为y=g(x)的反函数,

且h(y)连续可导，则Y=g(X)的密度函数为:则例、设X~Exp(2),Y=1-e-2X,求Y的密度函数，说明

Y是什么分布？第三章随机变量的数字特征1、会计算随机变量的数学期望2、会计算随机变量函数的数学期望；3、会计算方差；由分布求特征数字（期望、方差、标准差、分位数、中位数）方差的性质(1)Var(c)=0.(2)Var(aX+b)=a2Var(X).(3)Var(X)=E(X2)[E(X)]2.随机变量的标准化

设Var(X)>0,令则有E(Y)=0,Var(Y)=1.称Y为X

的标准化.常见分布的数学期望和方差分布期望参数为p

的0-1分布pb(n,p)npP()方差p(1-p)np(1-p)分布期望区间(a,b)上的均匀分布Exp()N(,2)方差

第4章多维随机变量及其分布1、二维随机变量联合分布律和联合密度函数的基本性质；2、由联合分布律或联合密度函数计算有关二维随机变量的某个概率；3、由联合分布求边缘分布；会判断两个随机变量的独立性；4、两个随机变量和及最大值最小值的分布计算公式；5、协方差，相关系数公式；一、联合分布函数（分布律，密度函数）、概率例若(X,Y)～试求P{(X,Y)D},其中D为2x+3y≤6.二、边际分布与独立性例已知(X,Y)的联合密度为问X与Y是否独立？所以X与Y独立。注意：f(x,y)可分离变量.解:边缘密度函数分别为:1、二维正态分布的边际分布是一维正态：若(X,Y)N(

)，注意点

则X

N(

)，

Y

N(

).2、二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.3、若(X,Y)服从二元正态N(

)

则X与Y独立的充要条件是=0.

连续场合的卷积公式设连续随机变量X与Y独立，则Z=X+

Y的密度函数为三、两个随机变量和的分布的计算离散场合的卷积公式设离散随机变量X与Y独立，则Z=X+

Y的分布列为二项分布的可加性若Xb(n1,p)，Y

b(n2,p)，注意：若Xi

b(1,p)，且独立，则

Z=X1+

X2+……+Xn

b(n,p).且独立，则Z=X+

Yb(n1+n2,p).泊松分布的可加性若XP(1)，Y

P(2)，且独立，则Z=X+

YP(1+2).正态分布的可加性若XN(

)，Y

N(

)，注意：X

Y不服从N().则Z=XYN().

X

YN().独立正态变量的线性组合仍为正态变量Xi

~N(i,i2),i=1,2,...n.且Xi

间相互独立,实数a1,a2,...,an

不全为零,则四、多维随机变量的特征数

例、X与Y

独立，Var(X)=6，Var(Y)=3，则

Var(2XY)=().

例、

X~P(2)，Y~N(2,4)，X与Y独立，则E(XY)=();

E(XY)2=().

第五章大数定律和中心极限定