欢迎进入逻辑殿堂

逻辑学欢迎进入逻辑殿堂！主讲：付敏二○一一年澳门科技大学通识教育部第三章复合命题推理复合命题概述负命题及其推理联言命题及其推理选言命题及其推理假言命题及其推理真值表的判定作用复合命题推理的综合运用第一节复合命题概述复合命题(compoundproposition)

：包含其他命题的命题肢（支、枝）命题：被复合命题包含的命题（变项）联结词（connective）：联结肢命题的逻辑常项复合命题的构成例：亚里士多德是哲学家并且亚里士多德是逻辑学家要点：1.肢命题至少一个，多则不限，但不能无穷；

2.肢命题可以是简单命题也可以是复合命题；

3.联结词是确定命题种类的标志。

并非（只有得了肺炎才会发烧）研究复合命题及其推理的逻辑——命题逻辑第一节复合命题概述复合命题的逻辑特性肢命题的真假决定复合命题的真假。p并非p1001pqp并且q1111000100001＝真（t）0＝假（f）例：并非

9是善良的。善有善报并且恶有恶报。第三章复合命题推理复合命题概述负命题及其推理联言命题及其推理选言命题及其推理假言命题及其推理真值表的判定作用复合命题推理的综合运用第二节负命题及其推理

——负命题负命题：否定某个命题的命题。（任何一个命题有与其对应的负命题）负命题的逻辑形式：并非p（notp）一元联结词：并非......；并不是.....；......是错的；等等

not；itisnotthat...；itisnotthecasethat...符号表达：﹁p

（读作：“非p”，“并非p”，“notp”）负命题的逻辑特性p﹁p1001要点：肢真负假，肢假负真

1.若p为真，则﹁p为假

2.若p为假，则﹁p为真p﹁p﹁(﹁p)101010等值（equivalent）关系：每一行都同真、同假。矛盾（contradictory）关系：每一行都不同真、不同假。双重否定律(LawofDoubleNegation)p↔﹁(﹁p)读作：“p等值于非非p”第二节负命题及其推理

——负命题负命题推理：前提或结论是负命题，依据负命题之逻辑特征所进行的必然性推理。负命题推理的有效式1.

p├

﹁﹁p例：中国人民是勤劳的，所以，并非中国人民不是勤劳的。2.

﹁﹁

p├p例：并非上帝不是全能的，所以，上帝是全能的。规则：任一命题与其双重否定命题必然互推。

pН﹁﹁p

（读作：p与﹁﹁p

必然互推）等值置换（intersubstitute）：等值的命题在推导过程中可相互替换。(“├”读作：“推出”,“必然推出”)第二节负命题及其推理

——负命题推理第三章复合命题推理复合命题概述负命题及其推理联言命题及其推理选言命题及其推理假言命题及其推理真值表的判定作用复合命题推理的综合运用第三节联言命题及其推理

——联言命题联言（conjunction）命题：陈述若干事物情况同时存在的命题联言命题的逻辑形式：

p并且q（pandq）联结词：并且......；虽然.....但是......；不但......而且；等

...and...；notonly...butalso...，...but...；et.符号表达：

p∧q

（读作：“p合取q”

）例：师者，传业、授道、解惑者也。

你可以侮辱我的人格，但不能侮辱我的智商。廉颇老矣，尚能饭否联言肢（conjuncts）：至少两个例：“不错！我就是美貌与智慧并重，英雄与侠义的化身——唐伯虎。”张思德是一个高尚的人，一个纯粹的人，一个脱离了低级趣味的人，

pqr一个有益于人民的人。

s逻辑形式：p∧

q∧

r∧

s令p表示：张思德是一个高尚的人

q表示：张思德是一个纯粹的人

r表示：张思德是一个脱离了低级趣味的人

s表示：张思德是一个有益于人民的人第三节联言命题及其推理

——联言命题联言命题的逻辑特性pqp∧q111100010000要点：一假即假，全真才真

1.p真且q真，则p∧q为真

2.p假或q假，则p∧q为假例：学生甲品学兼优＝甲品德高尚并且甲学习优秀。第三节联言命题及其推理

——联言命题1.真值表的行数取决于命题变项的数量：n个变项，则有2n行；2.

真值表的列数取决于命题的复杂程度。pqr﹁rp∧q∧﹁r﹁(p∧q∧﹁r)111001110110101001100101011001010101001001000101例：列出﹁(p∧q∧﹁r)的真值表第三节联言命题及其推理

——联言命题有效式p∧q├

pp∧q├q1.分解式：要点：合取真则肢肢真1.p∧q真，则p为真2.p∧q真，则q为真联言（命题）推理：前提或结论为联言命题,

依据联言命题特性进行的推理。p，q├

p∧q2.组合式：要点：肢全真，则合取真

p真且q真，则p∧q为真规则：1.从联言命题必然推出其任一肢命题；

2.从某些命题必然推出由它们组成的联言命题。第三节联言命题及其推理

——联言推理无效式p├

p∧qq├p∧q要点：前提中未肯定的命题不能成为结论中的联言肢。p

p∧qq

p∧q例：疑犯甲有作案动机，所以，疑犯甲有作案动机并且做了案。记作第三节联言命题及其推理

——联言推理第三章复合命题推理复合命题概述负命题及其推理联言命题及其推理选言命题及其推理假言命题及其推理真值表的判定作用复合命题推理的综合运用第四节选言命题及其推理——相容选言（disjunction）命题：陈述若干事物情况至少有一种存在的命题。相容选言命题：陈述若干事物情况可以同时存在的选言命题。例：盗窃犯或者是甲，或者是乙，或者是丙。相容选言命题不相容选言命题第四节选言命题及其推理——相容选言命题的逻辑形式：

p或q（porq）联结词：......或者......；或许.....或许......；可能......可能......；

...or...；maybe...maybe...；et.符号表达：

p∨

q

（读作“p析取q”

）析取肢（disjuncts）：至少两个例：小王或者善良，或者聪明，或者勤劳，或者诚实。

pqrs逻辑形式：p∨

q∨

r∨

s第四节选言命题及其推理

——相容选言命题的逻辑特性pqp∨

q111101011000要点：一真即真，全假才假

1.p真，则p∨q为真

2.q真，则p∨q为真

3.p假且q假，则p∨q

为假例：或者硬件有问题，或者软件有问题。第四节选言命题及其推理

——相容有效式p∨q,﹁p├

qp∨q∨r,﹁q├p∨r1.否定肯定式：相容选言（命题）推理：前提或结论有一个选言命题，依据选言命题特性进行必然性推理。规则：1.从析取命题及其某部分肢命题的负命题，必然推出另一部分肢命题。

2.从某一命题必然推出它与任一命题所组成的析命题取。p├

p∨qp∨q├p∨q∨r2.附加律：例：一国灭亡，或因内忧，或因外患。第四节选言命题及其推理

——相容无效式p∨q,p├qp∨q,p├﹁q规则：肯定一部分选言肢不能否定（或肯定）另一部分选言肢。例：小张、小王或者小李考上了科大。小张考上了科大。所以，小王和小李没考上科大。（所以，小王和小张考上了科大。......）p∨q,pqp∨q,p﹁q记作第四节选言命题及其推理——不相容不相容选言命题：陈述若干事物情况只有一种存在的选言命题。例：不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。

要么为玉碎，要么为瓦全。

或要社会主义的草，或要资本主义的苗，二者不可得兼。逻辑形式：要么p,要么q（either

p,orq）联结词：要么.....要么......；不是......就是......；或者......或者......,

二者不可得兼；等等。either...or...；et.符号表达：

pq

（读作“p严格/不相容析取q”）∨·第四节选言命题及其推理——不相容析取肢（disjuncts）：至少两个例：付老师来澳门，要么步行，要么游泳，要么飞翔，要么乘坐交通工具。该命题的逻辑形式是：pqrs∨·∨·∨·令p表示：付老师步行来澳门。

q表示：付老师游泳来澳门。

r表示：付老师通过飞翔来澳门。

s表示：付老师乘坐交通工具来澳门。第四节选言命题及其推理——不相容不相容选言命题的逻辑特性pqpq110101011000∨·要点：一真才真，其余为假

1.p真且q假，则p

q为真

2.p真且q真，则pq为假

3.p假且q假，则pq

为假∨·∨·∨·第四节选言命题及其推理

——不相容∨·∨·思考：完成下列真值表pqr﹁rp

q

﹁r111110101100011010001000第四节选言命题及其推理

——不相容有效式1.肯定否定式：不相容选言（命题）推理：前提有一个不相容选言命题，依据选言命题特性进行必然性推理。规则：1.从不相容析取命题及其某部分肢命题，必然推出另一部分肢命题的负命题。

2.从不相容析取命题及其某部分肢命题的负命题，必然推出另一部分肢命题。2.否定肯定式：pq,﹁p├

q∨·pq,p├

﹁q∨·例：不在沉默中爆发，就在沉默中消亡。第四节选言命题及其推理

——不相容pq,﹁p├

﹁

q∨·pq,p├

q∨·思考：用真值表检验下列推理是否有效(p

q)∨r,﹁r,﹁

q├

p∨·1.析取定义律：(p∨q)

↔﹁(﹁

p∧﹁

q)P22真值表

选言命题等值式——相容2.合取定义律：(p∧q)

↔﹁(﹁

p∨﹁

q)3.德摩根律：﹁(p∧q)

↔(﹁

p∨﹁

q)

﹁(p∨q)

↔(﹁

p∧﹁

q)4.交换律：(p∧q)↔(q∧

p)

(p∨q)↔(q∨

p)

5.重言律：(p∧p)↔p(p∨

p)↔ppq﹁p﹁qp∨q﹁p∨﹁qp∧q﹁p∧﹁

q﹁(p∨q)﹁(p∧q)110100011001第四节选言命题及其推理

——等值式选言命题等值式——相容6.结合律：((p∧q)∧r

)↔((p∧r)∧(q∧r

))((p∨q)∨r

)↔((p∨r)∨(q∨r

))7.分配律：(p∧(q∨r

))↔((p∧q)∨(p∧r

))(p∨(q∧r

))↔((p∨q)∧(p∨r

))pqrp∧qp∧rq∨rp∧

(q∨r)(p∧q)∨(p∧r)111110101100011010001000第四节选言命题及其推理

——等值式选言命题等值式——不相容1.严格析取定义律：(p

q)

↔((p∧﹁q)∨(﹁p∧q))∨·(p

q)

↔((p∨q)∧﹁(p∧q))∨·2.否定严格析取律：﹁(p

q)

↔((p∧q)∨(﹁p∧﹁q))∨·pq﹁p﹁qp∨qp∧q﹁(p∧q)pqp∧

﹁q﹁p∧q(p∧﹁q)∨(﹁p∧q)(p∨q)∧﹁

(p∧q)110011000000100110111011011010110111001100100000pq﹁p﹁qp∧q﹁p∧﹁q

pq﹁(pq)(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)110010011100100100011000100001101011∨·∨·∨·第四节选言命题及其推理

——等值式第四节选言命题及其推理思考：1.pqr,﹁

r├？∨·∨·2.pqr,r├？∨·∨·4.

意外考试疑难Mon.

Tue.

Wed.Thurs.Fri.∨·∨·∨·∨·3.

“附加律”是否成立？

p├pq

？∨·第四节选言命题及其推理答案：3.

“附加律”是否成立？

p├pq∨·1.pqr,﹁

r├pq∨·∨·∨·2.pqr,r├﹁p∧﹁q∨·∨·∨·├﹁(pq)├(p∨q)∧﹁(p∧q)├(p∨q)，或者├

﹁(p∧q)├(p∧

q)∨

(﹁p∧﹁

q)第三章复合命题推理复合命题概述负命题及其推理联言命题及其推理选言命题及其推理假言命题及其推理真值表的判定作用复合命题推理的综合运用第五节假言命题及其推理假言(conditional)命题：陈述某一事物情况的（不）存在是另一事物情况（不）存在的条件的命题。充分条件假言命题必要条件假言命题充分必要条件假言命题第五节假言命题及其推理假言命题命题的构成：例：如果给我一个支点，那么我就能撬起整个地球。

只有得到一个支点，我才能撬起整个地球。我能撬起整个地球，当且仅当，我得到一个支点。前件(antecedent)：作为条件的命题。

vs.

前提（premise）后件(consequence):

作为后承的命题。

vs.

结论（conclusion）联结词：充分，必要，充分必要第五节假言命题及其推理——充分条件逻辑形式：如果p，那么q（ifp,thenq）联结词：如果......，那么......；只要.....，就......；若......，则......;因为......，所以......；等。If(only)...,(then)...；et.符号表达：

p→

q

（读作“p蕴涵q”，“pimpliesq”）充分条件假言命题：前件为后件的充分条件的假言命题。例：“如果帅是一种罪，那我已经罪恶滔天；如果酷是一种错，那我已经一错再错。”

第五节假言命题及其推理——充分条件充分条件假言命题例：第五节假言命题及其推理——充分条件充分条件假言命题的逻辑特性pqp→q111100011001要点：前真后假则假，其余为真

1.p真且q假，则p→

q为假

2.p→q

为真，则p为假或q

为真例：“如果上天能够给我一个再来一次的机会，我会对那个女孩子说三个字：我爱你。如果非要在这份爱上加上一个期限，我希望是——一万年！”真话or谎言?第五节假言命题及其推理

——充分条件有效式1.肯定前件式：充分条件假言（命题）推理：前提有一个充分条件假言命题，依据充分条件假言命题特性进行的必然性推理。p→

q,p├

q例：如果你有所得，你就会有所失你有所得所以，你有所失第五节假言命题及其推理

——充分条件有效式规则：1.由充分条件假言命题及其前件，必然推出其后件。

2.由充分条件假言命题及其后件的负命题，必然推出其前件的负命题。2.否定后件式：p→

q,﹁q├

﹁p例：如果上帝是全善的，人间就不会有罪恶人间有罪恶所以，上帝不是全善的第五节假言命题及其推理

——充分条件无效式例：记作p→

q,﹁p├

﹁qp→q,﹁p├q1.

否定前件如果你逻辑学考了满分，你就是一个好学生你没有考满分所以，你不是一个好学生p→q,﹁p﹁qp→q,﹁pq第五节假言命题及其推理

——充分条件无效式规则：1.否定前件不能否定（或肯定）后件；

2.肯定后件不能肯定（或否定）前件。如果你不珍惜x，你就会失去x你失去了x所以，你没有珍惜x（所以，你是珍惜x的）记作p→

q,q├

pp→q,q├﹁

p2.

肯定后件p→q,qpp→q,q﹁p例：第五节假言命题及其推理

——充分条件无效式如果我有一千万，我就能买一栋房子。我有一千万吗？没有。所以我仍然没有房子。如果我有翅膀，我就能飞。我有翅膀吗？没有。所以我也没办法飞。

如果把整个太平洋的水倒出，也浇不熄我对你爱情的火。整个太平洋的水全部倒得出吗？不行。所以我并不爱你。

——痞子蔡《第一次亲密接触》轻舞飞扬写给痞子蔡第五节假言命题及其推理

——充分条件无效式如果我是诗人，我会每天写一首诗送给你我是诗人吗？不是。所以至今我仍然写不出一首好诗来如果我是白雪公主，那么我要做你的女友我是白雪公主吗？不是。所以至今我仍然不能与你分享幸福如果把整条绣江的水倒出，也浇不熄我对你爱的火焰整条绣江的水能倒出吗？不能。所以我还是爱你

——网络爱情逻辑，仿痞子蔡第五节假言命题及其推理

——充分条件无效式如果我还有一天寿命，那天我要做你女友。我还有一天的命吗？没有。所以，很可惜。我今生仍然不是你的女友。

如果我有翅膀，我要从天堂飞下来看你。我有翅膀吗？没有。所以，很遗憾。我从此无法再看到你。

如果把整个浴缸的水倒出，也浇不熄我对你爱情的火焰。整个浴缸的水全部倒得出吗？可以。所以，是的，我爱你。

——网络爱情逻辑，仿痞子蔡第五节假言命题及其推理

——充分条件阿拉哥王和穆罕默德两个人自觉肚里墨水太少，经常胡说八道，一直为此被朋友讥笑，决定一起去读大学。经过一番努力，终于都考进了一家知名大学，阿拉哥王不知道选什么课好，就去问指导教授，穆罕默德在外面等他。见到了教授，阿拉哥王提出了问题，老教授对阿拉哥王上下打量了一番，说：“我建议你先选修数学，历史，和逻辑这三门课。”“数学和历史我知道,可是逻辑是讲什么的？”，阿拉哥王问。“我举个例子：请问你自己有没有割草机？”，教授很和气地讲。“有啊。”“那么，我就可以推论，既然你有割草机，你就一定有一块草坪”，教授说。“对,我家确实有一块草坪”，阿拉哥王回答道。“如果你有草坪，逻辑告诉我，你就一定有一套房子”，教授继续道。“一点不错！”阿拉哥王感到十分惊奇。第五节假言命题及其推理

——充分条件“你买了一套带草坪的房子，我认为，你一定是为了打算结婚才这么做的。”教授断定。“妙极了，我才结的婚。”“要是你结婚了，你一定有个妻子。”教授继续做逻辑推理。“是啊，我很爱我的妻子。”阿拉哥王回答。“如果你有妻子的话,根据逻辑，你一定是个异性恋”，教授得出结论。“这太妙了，我一定要学逻辑，请问什么时候可以开始上课？”阿拉哥王迫不及待地问。碰到穆罕默德，阿拉哥王第一句话就说，“我要去学逻辑！”“这逻辑是什么玩艺？”穆罕默德抓了抓头皮，问道。“是这样的，比如，嗯......请问你有没有割草机？”阿拉哥王问穆罕默德。“没有！”穆罕默德答道。话音未落，只看阿拉哥王已抱头狂奔，一边大叫：“碰到变态啦......，同性恋啊！”第五节假言命题及其推理

——充分条件教授：若你有割草机，则你是个异性恋者你有割草机，所以，你是个异性恋者阿拉哥王：若你有割草机，则你是个异性恋者你没有割草机所以，你不是个异性恋者第五节假言命题及其推理

——充分条件所谓“充分条件”，只要具备该条件，就足以产生该结果。p（天下雨）r（龙王打喷嚏）s（水管漏水）……q（地上湿）条件（前件）结果（后件）第五节假言命题及其推理

——必要条件逻辑形式：

只有p，才q（q,onlyifp）联结词：只有......，才......；除非（不）.....，不......；没有......,就没有......；等。

...,onlyif...;no...,no...;et.符号表达：

p←

q

（读作“p逆蕴涵q”

）必要条件假言命题：前件为后件的必要条件的假言命题。例：不入虎穴，焉得虎子。Nopainsnogain.

不当家不知柴米贵，不养儿不知父母心。

pqrs(p←q)∧(r←s)第五节假言命题及其推理

——必要条件必要条件假言命题的逻辑特性pqp←q111101010001要点：前假后真则假，其余为真

1.p假且q真，则p←q为假

2.p←q为真，则p为真或q

为假例：1.（某人）只有尊重别人，才会得到别人的尊重。

2.吃得苦中苦，方为人上人。

3.不到黄河不死心，不见棺材不掉泪，不到长城非好汉。第五节假言命题及其推理

——必要条件有效式1.否定前件式：必要条件假言（命题）推理：前提有一个必要条件假言命题，依据必要条件假言命题特性进行的必然性推理。p←q,﹁

p├

﹁q例：（“上邪【yé】，我欲与君相知，长命无绝衰。”）

“山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨【yù】雪，天地合，乃敢与君绝！”

山非无陵，江水未竭，冬日无雷，夏无雪，天地未合。

所以，不敢与君绝。第五节假言命题及其推理

——必要条件有效式规则：1.由充分条件假言命题及其前件，必然推出其后件。

2.由充分条件假言命题及其后件的负命题，必然推出其前件的负命题。2.肯定后件式：p←q,q├p例：中国只有在政治上独立，才可能获得经济的独立中国获得了经济的独立

所以，中国在政治上是独立的第五节假言命题及其推理

——必要条件无效式1.肯定前件：规则：1.肯定必要条件假言命题及其前件，不能必然肯定（否定）其后件。

2.否定必要条件假言命题及其后件，不能否定（肯定）其后件。2.否定后件：记作p←

q,﹁q├

﹁pp←q,﹁q├p记作p←

q,p├

qp←q,p├﹁qp←q,﹁q﹁pp←q,﹁qpp←

q,p

qp←q,p﹁

q第五节假言命题及其推理——必要条件例：爷孙二人到北京，孙子指着北京的高楼大厦。

孙子：爷爷，咱们干嘛不住到这儿来？爷爷：你好好念书。只有念书念得好，才能住这样漂亮的高楼。孙子：爷爷，你一定没好好学习。只有张三有作案时间，他才是罪犯张三有作案时间所以，张三是罪犯第五节假言命题及其推理——必要条件思考1.只有颁发牌照，机动车才准予上路这个机动车上路了所以，这个机动车已被颁发牌照是否正确？是否正确？2.“山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨【yù】雪，天地合，乃敢与君绝！”

山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨雪，天地未合。

所以，不敢与君绝。第五节假言命题及其推理——必要条件解答1.只有颁发牌照，机动车才准予上路这个机动车上路所以，这个机动车已被颁发牌照2.

“山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨雪，天地合，乃敢与君绝！”

山无陵，江水为竭，冬雷震震，夏雨雪，天地未合

所以，不敢与君绝p←qr∴p√

﹁t├﹁

p∨﹁q∨﹁r∨﹁

s∨﹁

t├

﹁(p∧q∧r∧s∧t)(p∧q∧r∧s∧t)←u

﹁(p∧q∧r∧s∧t)

∴﹁u第五节假言命题及其推理——必要条件所谓“必要条件”：是每一个条件都是必不可少的，少了谁也不行，它们合起来共同产生一个结果。p（水份）q（温度）r（阳光）……s种子发芽条件（前件）结果（后件）第五节假言命题及其推理

——充分必要条件逻辑形式：

p，当且仅当，q（p,ifandonlyif,p）联结词：如果......,那么......,并且只有.....,才......；

.....,若且惟若,......

；等。...Ifandonlyif（iff）....符号表达：

p↔

q

（或p≡q；读作“p等值于q”

）充分必要条件假言命题：前件为后件的充分必要条件的假言命题。要点：前件和后件互为充分条件，且前件和后件互为必要条件。例：一个理论是真理，当且仅当，它经得起实践的检验。

——一个理论如果经得起实践的检验，那么它是真理；一个理论只有经得起实践的检验，它才是真理。第五节假言命题及其推理

——充分必要条件充分必要条件假言命题的逻辑特性pqp↔

q111100010001要点：前后等值为真，否则为假

1.p、q同真（假），则p↔q为真

2.p真(假)且q假(真)，则p↔q为假例：一个三角形是等边三角形，当且仅当，它是等角三角形。

pq第五节假言命题及其推理

——充分必要条件有效式1.肯定前件式：充分必要条件假言（命题）推理：前提有一个充分必要条件假言命题，依据充分必要条件假言命题特性进行的必然性推理。规则：1.由充分必要条件及其前件（后件），必然推出其后件（前件）；

2.由充分必要条件及其前件（后件）的负命题，必然推出其后件(前件)

的负命题。2.否定后件式：p

↔q,﹁q├﹁pp↔

q,p├

q3.否定前件式：4.肯定后件式：p

↔q,q├pp↔

q,﹁p├

﹁q第五节假言命题及其推理——小结假言命题等值式——充分条件1.蕴涵定义律：(p→q)↔

(﹁p∨q)pq﹁p﹁qp→q﹁p∨q﹁(p

→q)p∧﹁q11001001011000112.否定蕴涵律：﹁(p→q)↔

(p∧﹁q)第五节假言命题及其推理——小结假言命题等值式——必要条件1.逆蕴涵定义律：(p←q)↔

(p∨﹁q)pq﹁p﹁qp←qp∨﹁q﹁(p

←q)﹁

p∧qp→qq←p﹁p→﹁q11001001011000112.否定逆蕴涵律：﹁(p←q)↔

(﹁p∧q)3.蕴涵逆蕴涵交换律：(p→q)↔

(q←

p)(p←q)↔(﹁p→﹁q

)第五节假言命题及其推理——小结假言命题等值式——充分必要条件1.等值定义律：(p

↔q

)↔((p∧q)∨(﹁p∧﹁q))

(p

↔q)↔(

p→q

)∧(p←q)pq﹁p﹁qp↔q﹁(p

↔q)p∧﹁

q﹁p∧q((p∧﹁q)∨(﹁p∧q))1100100001001011010110010110011100002.等值交换律：

(p↔q)↔

(q↔p)3.否定等值律：﹁(p

↔q

)↔((p∧﹁

q)∨(﹁p∧q))第五节假言命题及其推理——小结命题的逻辑特性pq﹁pp∧qp∨qp→qp←qp↔q110110111100011010011011100001000111P真则假，p假则真全真则真，其余为假一真则真，全假则假一真才真，其余为假前真后假则假，其余为真前假后真则假，其余为真同真（假）则真，其余为假∨·pq第五节假言命题及其推理——小结推理有效式、无效式类型有效式无效式负命题推理双重否定联言推理分解式组合式相容选言推理否定肯定式附加律肯定否定式不相容选言推理否定肯定式肯定否定式充分条件假言推理肯定前件式否定后件式否定前件式肯定后件式必要条件假言推理否定前件式肯定后件式肯定前件式否定后件式充分必要条件假言推理肯定前件式否定后件式否定前件式肯定后件式pp

∧

q第五节假言命题及其推理——小结负命题的等值推理2.联言命题负命题推理﹁(p∧q)Н(﹁p∨﹁q)否定合取得析取，分配否定到变项

3.相容选言命题负命题推理﹁(p∨q)Н

(﹁p∧﹁q)否定析取得合取，分配否定到变项德摩根律

1.负命题的负命题推理﹁(﹁p)Н

p第五节假言命题及其推理——小结负命题的等值推理5.充分条件假言命题负命题推理4.不相容选言命题负命题推理．．﹁(p→q)Н

(p∧﹁q)6.必要条件假言命题负命题推理

7.充分必要条件假言命题负命题推理﹁(p←q)Н

(﹁p∧q)

﹁(p↔q)Н(p∧﹁q)∨(﹁p∧q)

﹁(pq)Н

(p∧

q)∨(﹁p

∧﹁q)

∨·第五节假言命题及其推理——其他推理假言异位推理：前提和结论都是（同类）假言命题，依据假言命题逻辑特性进行的必然性推理。逻辑形式：p→

q├

﹁

q→﹁

p﹁p→

﹁q├

q→p例：一国若能有效率地运作经济，就能创造财富而变得富有所以，若一国没能创造财富而变得富有，它就没能有效地运作经济要点：1.保持原来的命题类型（联结词）不变；

2.原来作为前、后件的命题交换位置，并变为其负命题。第五节假言命题及其推理——其他推理假言异位推理：思考：必要条件假言命题是否可假言异位？

充分必要条件假言命题是否可假言异位？

p←q├q→p

是否是假言异位？第五节假言命题及其推理——其他推理假言连锁（sorites

纯假言）推理：前提是若干（充分条件）假言命题，结论是一个（充分条件）假言命题，依据假言命题逻辑特性进行的必然性推理。例：“名不正则言不顺，言不顺则事不成，事不成则礼乐不兴，

pqqrrs礼乐不兴则刑罚不中，刑罚不中则民无所措手足，故君子名之必

stte可言也，言之必可行也，君子于其言，无所苟而已矣。”

——孔子《论语·正名篇》结论：名不正，则民无所措手足。逻辑形式：p→

q,q→r

├

p→rp→

q,q→r

├

﹁r→﹁p第五节假言命题及其推理——其他推理假言连锁（

纯假言）推理例：“不过这样，我是一个感情很复杂的人，一个感情很复杂的人如果只爱你一个人的话，就会变得感情有缺陷，一个感情有缺陷的人，你就算永远地拥有他，也是没用的。”结论：我（这个感情很复杂的人）如果只爱你一个人的话，就算你永远地拥有我，也是没有用的。

例：有人就有恩怨，有恩怨就有江湖。人就是江湖，你怎么退出？

——《笑傲江湖之东方不败》结论：如果有人，那么就有江湖。第五节假言命题及其推理——其他推理二难（dilemma）推理：前提有两个充分条件假言命题、一个相容选言命题，依据充分条件和选言命题的逻辑特性进行的必然性推理。1.简单构成式：p→

q,r

→q,p∨

r├

q例：上帝是万能的吗？p→

q,﹁p→q,p∨﹁p├

q若上帝能创造一块他自己搬不动的石头，则他不是万能的。若上帝不能创造一块他自己搬不动的石头，则他不是万能的。上帝或者能创造，或者不能创造这样一块石头。所以，上帝不是万能的。第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理例：一人在寻找真理，别人问他：“你真的不知道真理是什么吗？”那个人说：“当然！”别人又问：“你既然不知道真理是什么，当你找到真理的时候，你又如何辨别出来呢？”“如果你辨别得出真理与否，那说明你已知道了真理是什么，又何来寻找呢？”如果你无法辨别出真理，那么你就不必寻找真理

如果你能辨别出真理，那么你也不必寻找真理

或者你能辨别出真理，或者你不能辨别出真理所以，你不必寻找真理

第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理2.复杂构成式：p→

q,r

→s,p∨

r├

q∨sp→

q,﹁p

→s,p∨﹁p├q∨s例：欲寄征衣君不还，不寄征衣君又寒。寄与不寄间，

妾身千万难。

——（元散曲）姚燧《凭阑人·寄征衣》第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理3.简单破坏式：p→

q,p

→r,﹁q∨﹁r├

﹁p例：如果张三是杀人犯，那么他就有作案时间如果张三是杀人犯，那么他就有作案动机张三或者没有作案时间，或者没有作案动机

所以，张三不是杀人犯第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理4.复杂破坏式：p→

q,r→s,﹁q∨﹁s├

﹁p∨﹁r例：如果你水平高，就不会没发现这个问题如果你责任心强，就不会发现了问题而不愿提出你或者没发现这个问题，或者发现了而不愿提出

所以，你或者水平不高，或者责任心不强第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理例：如果上帝是全能的，他就能够阻止人间的罪恶如果上帝是全善的，他就愿意阻止人间的罪恶上帝或不能阻止人间的罪恶，或不愿阻止人间的罪恶

所以，上帝或者不是全能的，或者不是全善的第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理5.破斥错误的二难推理（1）检查推理形式是否正确。（2）检查前提是否正确。（3）检查是否构成“二难”。（4）构造相反的二难推理。第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理例：学生宿舍区饮食管理委员会认为，快餐店的零售价格足够高了，因此，他们通知持有零售快餐许可证的快餐店，要保持目前的价格不变，否则将被吊销营业执照。

于是，这个通知给快餐店设置了一个两难选择，要么保持价格不变，要么吊销营业执照。如果不涨价，不能获得更多的利润如果涨价，被吊销营业执照或者涨价，或者不涨价所以，或者不能获得更多的利润，或者被吊销执照第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理思考：半费之讼假若我打赢这官司，根据判决，你要付另一半学费

假若我输了这官司，根据合同，你要付另一半学费

或者我赢了这官司，或者我输了这官司

所以，你要付另一半学费据说古希腊智者普罗泰哥拉曾招收一位名叫欧提勒视的的学生跟他学诉讼。两人签有合同：欧提勒士毕业时付给普罗泰哥拉一半学费，另一半学费等欧提勒士第一次出庭打赢官司时付清。但是，欧提勒士毕业后一直不出庭打官司，普罗泰哥拉等的不耐烦，诉诸法庭，向欧提勒士提出：这个推理是否正确？如果不正确，如何驳斥第五节假言命题及其推理——其他推理二难推理假若你打赢这官司，根据合同，我不用付另一半学费

假若你输了这官司，根据判决，我不用付另一半学费

或者你赢了这官司，或者你输了这官司

所以，我不用付另一半学费1.构造反二难推理2.指出其推理本身的错误：标准不统一不同的标准确定不同的语境。第五节假言命题及其推理——其他推理多难推理富翁：我家财万贯，你怎么不奉承我？穷人：家财是你的，又不分给我，干嘛奉承你。富翁：如果我把家产分给你两成，你该奉承我了吧？穷人：两成？分配不公，我不奉承你。富翁：如果我把家产分一半给你，你该奉承我了吧？穷人：那样，我们就平起平坐了，我干嘛还要奉承你呢！富翁：如果我把家产全部送给你，这样你该奉承我了吧？穷人：到那时，我富你穷，该你来奉承我了。例：某人很穷，但从不奉承人。富翁不信。第五节假言命题及其推理——其他推理归谬推理（reductiontoabsurdity）：前提是两个充分条件假言命题，其前件相同，后件互为矛盾命题。一般形式：p→

q,p

→﹁q├

﹁p特殊形式：p→

(q∧﹁q)├

﹁p例：如果重的物体下落更快，组合起来的物体比其较重部分下落得快如果重的物体下落更快，组合起来的物体比其较重部分下落得慢所以，并非重的物体下落更快第五节假言命题及其推理——其他推理假言联言推理：前提由若干假言命题和一个联言命题构成，结论是一个联言命题。1.肯定形式：p→

q,r→s,p∧r├

q∧s两次分解式:p∧r├pp∧r├r两次肯定前件式:p→q,p├qr→s,r├s一次组合式:q,s├q∧s第五节假言命题及其推理——其他推理假言联言推理：2.否定形式：p→

q,r→s,﹁q∧﹁

s├

﹁p∧﹁r两次分解式:﹁q∧﹁s├﹁q两次否定后件式:p→q,﹁q├﹁p一次组合式:﹁p,﹁r├﹁q∧﹁r﹁q∧﹁s├﹁sr→s,﹁s├﹁r第五节假言命题及其推理——其他推理假言联言推理例：

若你立场坚定，你就会对错误的东西表示反对，若你立场坚定，你就会对正确的东西表示赞成，你既不对错误的东西表示反对，也不对正确的东西表示赞成；

所以，你立场不坚定。第五节假言命题及其推理——其他推理假言选言推理：前提由若干假言命题和一个选言命题构成。1.二难推理2.非二难的假言选言推理例：若你娶到一个好老婆，你会获得人生的幸福；若你娶到一个坏老婆，你会成为一位哲学家；你或者娶到一个好老婆，或者娶到一个坏老婆，所以，你或者获得人生的幸福，或者成为一位哲学家。

——苏格拉底第五节假言命题及其推理——其他推理反三段论：如果两个前提能够推出一个结论，那么，如果结论不成立，且其中的一个前提成立，则另一个前提不成立。逻辑形式：(p∧q)

→

r,﹁r,├

﹁(p∧q)

├

﹁p∨﹁q

例：如果（所有的鸟都会飞，并且鸵鸟是鸟），则鸵鸟会飞。鸵鸟不会飞，并且鸵鸟是鸟，

所以，并非所有的鸟都会飞。(p∧q)

→

r,p,﹁r├

﹁

q第五节假言命题及其推理——联结词的结合力结合力的强弱是相对的﹁最强，∧较强，∨和较弱，→和←更弱，↔最弱∨·例：(p←q)↔

(p∨﹁q)去括号得：p←q

↔

p∨﹁q﹁(p←q)↔

(﹁p∧q)去括号得：﹁(p←q)↔﹁p∧q﹁(p

q)

↔((p∧q)∨(﹁p∧﹁q))去括号得：∨·﹁(p

q)

↔p∧q∨﹁p∧﹁q∨·第五节假言命题及其推理——真值形式永真式（重言式tautology）在真值表中取值恒真的真值形式：无论其变项取什么值，该真值式都为真。永假式（矛盾式）在真值表中取值恒假的真值形式：无论其变项取什么值，该真值式都为假。逻辑真理（logicaltruth）逻辑虚假（logicalfalsehood）适真式（协调式；可满足式satiable/satisfiableformula）在真值表中取值有真有假的真值形式。区别：真命题与永真式

假命题与永假式第五节假言命题及其推理——真值形式pq﹁pp→qp∨﹁pp∧﹁p110110100010011110001110任何一个真值形式，要么是永真式，要么是永假式，要么是适真式例：判定下列命题是否为真。

如果成功只青睐有准备之人，那么若某甲获得了成功，则他一定是有准备之人。第五节假言命题及其推理——真值形式pqq←pp→q(q

←p)→

(p

→q)11111100010111100111令：p表示“某甲获得了成功”

q表示“某甲是有准备之人”该命题的形式可表达为(q←p)→(p→q)，其真值情况如下表：可见，该命题的形式永真，因而它为真。例：判定下列命题是否为真。

如果成功只青睐有准备之人，那么若某假获得了成功，则他一定是有准备之人。第五节假言命题及其推理——蕴涵怪论实质蕴涵（material/substantiveimplication）：不考虑前、后件的内容联系，只考虑前、后件与蕴涵命题的真假关系，并满足如下真值表：pqp→q111100011001第五节假言命题及其推理——蕴涵怪论（实质）蕴涵怪论1.

真命题被任一命题蕴涵如果1＋1＝3，那么2＋2＝4。如果地球是圆的，那么2＋2＝4。2.

假命题蕴涵任一命题如果1＋1＝3，那么中国是个大国。如果地球是方的，那么希特勒统治了全球。如果1＋1＝3，那么人类不曾产生。矛盾蕴涵一切：(p∧﹁p)→

q矛盾推出一切：

p∧﹁p

├q爆炸（explosive）既然连矛盾（假命题）都能接受，还有什么是不能接受的呢？第五节假言命题及其推理——蕴涵怪论（实质）蕴涵怪论2.

假命题蕴涵任一命题：如果1＋1＝3，那么

4－2＝

1

。证明：①1＋1＝3

假设②

1＋1＝2

算术定理③1＋1＝1＋1算术定理④2＝3

由①②③，置换⑤

4－2＝4－2

算术定理⑥

4－2＝4－3

由④⑤，置换⑦4－3＝1算术定理

⑧

4－2＝1由⑥⑦，置换第五节假言命题及其推理——蕴涵怪论（实质）蕴涵怪论2.

假命题蕴涵任一命题：如果2＋2＝5，那么罗素是教皇。罗素做出了如下的证明：假定：2+2=5；等式的两边各减去2，得出2=3；易位得3=2；两边各减去1，得出2=1

教皇与罗素本来是两个人，但既然2=1，教皇与罗素就是同1个人，所以,罗素是教皇。

第三章复合命题推理复合命题概述负命题及其推理联言命题及其推理选言命题及其推理假言命题及其推理真值表的判定作用复合命题推理的综合运用第六节真值表的判定作用判定真值形式的真值情况判定真值形式间的关系矛盾、等值、可同假但不可同真（反对）、可同真但不可同假(下反对)、可同真也可同假、蕴涵......pq﹁p﹁q﹁p∨﹁qp←

﹁

qp∧qp→﹁q11000110100111010110110100111001P45：第六节真值表的判定作用真值表解题例1：A：如果甲是主犯，那么乙是从犯。

B：如果乙是从犯，那么甲是主犯。

C：甲不是主犯。兹问：1）若A、B、C中只有一真，哪一个为真？甲是否是主犯？乙是否是从犯？

2）若A、B、C全真，甲是否是主犯？乙是否是从犯？

3）若A、B、C中只有一假，哪一个为假？甲是否是主犯？乙是否是从犯？p46第六节真值表的判定作用真值表解题解：令p表示“甲是主犯。”，q表示“乙是从犯”。上述命题形式依次为：p→q、

q→

p

、﹁p，其真值情况如下表：pq﹁pp→qq→p11011100010111000111在表中，只有第二行符合1）的题意，期中p为真，q为假，即甲是主犯，乙不是从犯。1）若A、B、C中只有一真，哪一个为真？甲是否是主犯？乙是否是从犯？第六节真值表的判定作用真值表解题解：令p表示“甲是主犯。”，q表示“乙是从犯”。上述命题形式依次为：p→q、

q→

p

、﹁p，其真值情况如下表：pq﹁pp→qq→p11011100010111000111在表中，只有第四行符合2）的题意，其中p和q都为假，即甲不是主犯，乙不是从犯。2）若A、B、C全真，甲是否是主犯？乙是否是从犯？第六节真值表的判定作用真值表解题解：令p表示“甲是主犯。”，q表示“乙是从犯”。上述命题形式依次为：p→q、

q→

p

、﹁p，其真值情况如下表：pq﹁pp→qq→p11011100010111000111表中第一行和第三行都符合3）的题意。其中，q都为真，即乙是从犯；p为一真一假，即不能确定甲是否主犯。3）若A、B、C中只有一假，哪一个为假？甲是否是主犯？乙是否是从犯？第六节真值表的判定作用例2：p47pqrs﹁p﹁q﹁q→﹁p(p∧q)→sr∨s(q∧s)

→r1111001111111000101111010011101100001001101101011110100101111001010111100001010101111011110110101011010110111001001010010011111111001011111100011111110000111101第六节真值表的判定作用判定推理的有效性有效的推理：如果推理形式有效，那么，若前提真，则结论必真为真的蕴涵式：如果蕴涵式为真，那么，若前件真，则后件必真共性：前真后必然真步骤：p48例：判定以下推理是否有效

并非若A不出差，B就出差。所以，A、B都不出差。（令A、B分别表示“A出差”、“B出差”。）

第六节真值表的判定作用判定推理的有效性根据：演绎定理：如果∑,p├q

那么∑

├p→q逆演绎定理：如果∑,├p→q

那么∑,p├q第六节真值表的判定作用归谬赋值法（简化的真值表方法）适用范围：仅适用于对某蕴涵式是否重言式所进行的的判定。由于其他的公式可以转换成蕴涵式，所以，这是一种有一定普遍性的方法。原理：1.一个公式(命题形式)或真或假；2.否定一个矛盾式，就得到一个重言式；3.否定一个重言式，就得到一个矛盾式；4.假设一个公式为假，如果至少一个变项的赋值出现矛盾（既赋真，又赋假），则表明原来的假设是错误的，否定假，就得到真，即原公式是重言式。第六节真值表的判定作用归谬赋值法（简化的真值表方法）步骤：1.将被判定的推理形式转换成蕴涵式；

2.假设该蕴涵式为假；

3.依次按照基本真值形式的定义，给每一变项赋值；

4.看得到赋值后的任一变项是否必然矛盾；

5.若至少有一变项的赋值必然矛盾，则原公式是重言式，它表达的推理是有效的；否则不是重言式，相应的推理是无效的。((p

→

q)∧

﹁q)→﹁p第一步：将推理形式转换为蕴涵式例1：判定

(p

→q)，﹁q├

﹁

p是否有效。第六节真值表的判定作用((p→q)∧

﹁