2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2022-2023学年内蒙古自治区赤峰市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(40题)1.

2.

3.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*应取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

4.A.A.1

B.3

C.

D.0

5.

6.设函数y=(2+x)3，则y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

7.

8.

9.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

10.A.A.4πB.3πC.2πD.π

11.A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与口有关

12.A.x2+C

B.x2-x+C

C.2x2+x+C

D.2x2+C

13.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导，f'(x)>0,f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)内零点的个数为

A.3B.2C.1D.0

14.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-2

15.

16.函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导，且f'(x)＞0，f"(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a，b)内()．

A.单调增加且为凹B.单调增加且为凸C.单调减少且为凹D.单调减少且为凸

17.

18.在空间直角坐标系中方程y2=x表示的是

A.抛物线B.柱面C.椭球面D.平面19.A.

B.

C.

D.

20.设函数为()．A.A.0B.1C.2D.不存在21.

A.

B.

C.

D.

22.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy23.设函数f(x)在区间(0，1)内可导，f'(x)＞0，则在(0，1)内f(x)()．A.单调增加B.单调减少C.为常量D.既非单调，也非常量24.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

25.

26.

27.

28.

29.设函数y=f(x)二阶可导，且f(x)<0，f(x)<0，又△y=f(x＋△x)-f(x)，dy=f(x)△x，则当△x>0时，有()A.△y>dy>0

B.△<dy<0

C.dy>Ay>0

D.dy<△y<0

30.

31.方程z=x2+y2表示的曲面是（）

A.椭球面B.旋转抛物面C.球面D.圆锥面

32.

33.

34.A.A.

B.

C.

D.

35.

36.函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是()。A.(-5，5)B.(-∞，0)C.(0，+∞)D.(-∞，+∞)37.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，则在(0，1)内曲线y=f(x)的所有切线中()．A.A.至少有一条平行于x轴B.至少有一条平行于y轴C.没有一条平行于x轴D.可能有一条平行于y轴

38.若函数f(x)=5x，则f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

39.

40.

二、填空题(50题)41.

42.

43.

44.设y=2x2+ax+3在点x=1取得极小值，则a=_____。

45.已知平面π：2x+y-3z+2=0，则过原点且与π垂直的直线方程为______．

46.

47.

48.

49.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。50.设y=1nx，则y'=__________．51.

52.53.空间直角坐标系中方程x2+y2=9表示的曲线是________。

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.设f(x)=xex，则f'(x)__________。

61.

62.

63.设函数f(x)有一阶连续导数，则∫f'(x)dx=_________。

64.

65.

66.67.

68.微分方程y'-2y=3的通解为__________。

69.

70.

71.72.

73.

74.

75.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，则f(x)=________。

76.

77.

78.微分方程xy'=1的通解是_________。79.________.

80.

81.

82.

83.设z＝2x＋y2，则dz＝______。84.设是收敛的，则后的取值范围为______．

85.86.87.88.89.90.三、计算题(20题)91.求曲线在点(1，3)处的切线方程．92.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．93.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

94.

95.96.97.98.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

99.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

100.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则101.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．102.

103.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．104.求微分方程的通解．105.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

106.

107.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．108.证明：

109.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

110.

四、解答题(10题)111.设函数y=ex＋arctanx＋π2，求dy．

112.

113.(本题满分10分)

114.

115.

116.求曲线y=2-x2和直线y=2x＋2所围成图形面积．

117.

118.

119.

120.展开成x-1的幂级数，并指明收敛区间(不考虑端点)。五、高等数学(0题)121.

确定a，b使得f(x)在x=0可导。六、解答题(0题)122.

参考答案

1.C解析：

2.B解析：

3.D本题考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程特解y*的取法：

若自由项f(x)=Pn(x)eαx，当α不为特征根时，可设特解为

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)为x的待定n次多项式．

当α为单特征根时，可设特解为

y*=xQn(x)eαx，

当α为二重特征根时，可设特解为

y*=x2Qn(x)eαx．

所给方程对应齐次方程的特征方程为

r2-3r+2=0．

特征根为r1=1，r2=2．

自由项f(x)=xe2x，相当于α=2为单特征根．又因为Pn(x)为一次式，因此应选D．

4.B本题考查的知识点为重要极限公式．可知应选B．

5.D

6.B本题考查了复合函数求导的知识点。因为y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.

7.D

8.A解析：

9.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

10.A

11.A

12.B本题考查的知识点为不定积分运算．

因此选B．

13.C本题考查了零点存在定理的知识点。由零点存在定理可知,f(x)在(a,b)上必有零点，且函数是单调函数，故其在(a,b)上只有一个零点。

14.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

15.A

16.B解析：本题考查的知识点为利用一阶导数符号判定函数的单调性和利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

由于在(a，b)内f'(x)＞0，可知f(x)在(a，b)内单调增加，又由于f"(x)＜0，可知曲线y=f(x)在(a，b)内为凹，可知应选B．

17.A解析：

18.B解析：空间中曲线方程应为方程组，故A不正确；三元一次方程表示空间平面，故D不正确；空间中，缺少一维坐标的方程均表示柱面，可知应选B。

19.D本题考查的知识点为牛顿一莱布尼茨公式和定积分的换元法。因此选D。

20.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

21.B本题考查的知识点为交换二次积分次序。由所给二次积分可知积分区域D可以表示为1≤y≤2，y≤x≤2，交换积分次序后，D可以表示为1≤x≤2，1≤y≤x，故应选B。

22.B

23.A由于f(x)在(0，1)内有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)内单调增加，故应选A．

24.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量，n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直．若时，两平面平行；

当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1=(1，-2，3)，n2=(2，1，0)，n1·n2=0，可知n1⊥n2，因此π1⊥π2，应选A。

25.B

26.C

27.C

28.C

29.B

30.A解析：

31.B旋转抛物面的方程为z=x2+y2.

32.A

33.C

34.C

35.B

36.C本题考查的知识点为判定函数的单调性。

y=ln(1+x2)的定义域为(-∞，+∞)。

当x＞0时，y'＞0，y为单调增加函数，

当x＜0时，y'＜0，y为单调减少函数。

可知函数y=ln(1+x2)的单调增加区间是(0，+∞)，故应选C。

37.A本题考查的知识点有两个：罗尔中值定理；导数的几何意义．

由题设条件可知f(x)在[0，1]上满足罗尔中值定理，因此至少存在一点ξ∈(0，1)，使f'(ξ)=0．这表明曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线必定平行于x轴，可知A正确，C不正确．

如果曲线y=f(x)在点(ξ，f(ξ))处的切线平行于y轴，其中ξ∈(0，1)，这条切线的斜率为∞，这表明f'(ξ)=∞为无穷大，此时说明f(x)在点x=ξ不可导．因此可知B，D都不正确．

本题对照几何图形易于找出解答，只需依题设条件，画出一条曲线，则可以知道应该选A．

有些考生选B，D，这是由于不明确导数的几何意义而导致的错误．

38.C本题考查了导数的基本公式的知识点。f'(x)=(5x)'=5xln5.

39.D

40.C解析：

41.-2y-2y解析：

42.

43.y=lnx+Cy=lnx+C解析：

44.

45.

解析：本题考查的知识点为直线方程和直线与平面的关系．

由于平面π与直线l垂直，则直线的方向向量s必定平行于平面的法向量n，因此可以取s=n=(2，1，-3)．又知直线过原点-由直线的标准式方程可知为所求直线方程．46.1

47.

48.

49.

50.

51.

52.53.以Oz为轴的圆柱面方程。F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，方程x2+y2=32=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。

54.1+2ln2

55.-ln｜3-x｜+C

56.1/4

57.（-21）（-2，1）

58.59.e-1/2

60.(1+x)ex

61.(-∞2)(-∞,2)解析：

62.[-11)

63.f(x)+C64.1本题考查的知识点为定积分的换元积分法．

65.

解析：66.2．

本题考查的知识点为二阶导数的运算．

67.k=1/2

68.y=Ce2x-3/2

69.12x

70.

71.72.本题考查的知识点为定积分的基本公式。

73.7

74.

75.6e3x

76.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．

注意此处幂级数为缺项情形．

77.y=f(0)78.y=lnx+C

79.

80.-2

81.

82.坐标原点坐标原点83.2dx+2ydy84.k＞1本题考查的知识点为广义积分的收敛性．

由于存在，可知k＞1．

85.-1

86.87.2x＋3y．

本题考查的知识点为偏导数的运算．

88.89.1．

本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．

90.91.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

92.

93.

94.由一阶线性微分方程通解公式有

95.

96