2023年湖北省咸宁市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年湖北省咸宁市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________一、单选题(20题)1.设函数在x=0处连续，则等于()。A.2B.1/2C.1D.-2

2.

3.设函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f(x)=0有（）。A.一个实根B.两个实根C.三个实根D.无实根4.()A.A.(-∞，-3)和(3，＋∞)

B.(-3，3)

C.(-∞，O)和(0，＋∞)

D.(-3，0)和(0，3)

5.

6.

7.（）。A.-2B.-1C.0D.2

8.平衡物体发生自锁现象的条件为()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

9.A.A.凹B.凸C.凹凸性不可确定D.单调减少10.用待定系数法求微分方程y"-y=xex的一个特解时，特解的形式是(式中α、b是常数)。A.(αx2+bx)ex

B.(αx2+b)ex

C.αx2ex

D.(αx+b)ex

11.

12.

13.

14.

15.

16.

A.2B.1C.1/2D.017.在空间中，方程y=x2表示()A.xOy平面的曲线B.母线平行于Oy轴的抛物柱面C.母线平行于Oz轴的抛物柱面D.抛物面

18.

19.

20.

二、填空题(20题)21.

22.设y=xe，则y'=_________.

23.

24.

25.

26.

27.f(x)=sinx，则f"(x)=_________。

28.

29.方程cosxsinydx+sinxcosydy=O的通解为______.

30.过点(1，-1，0)且与直线平行的直线方程为______。

31.

32.

33.

34.

35.若当x→0时，2x2与为等价无穷小，则a=______．

36.

37.若=-2，则a=________。

38.

39.y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为______．

40.

三、计算题(20题)41.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

42.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

43.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

45.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

46.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

47.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

48.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

49.

50.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

51.

52.证明：

53.

54.

55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

56.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

57.

58.

59.求微分方程的通解．

60.

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.求微分方程y"-y'-2y=0的通解。

69.计算∫tanxdx．

70.

五、高等数学(0题)71.极限

=__________.

六、解答题(0题)72.某厂要生产容积为Vo的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?

参考答案

1.C本题考查的知识点为函数连续性的概念。由于f(x)在点x=0连续，因此，故a=1，应选C。

2.C

3.B

4.D

5.B解析：

6.C解析：

7.A

8.A

9.A本题考查的知识点为利用二阶导数符号判定曲线的凹凸性．

10.Ay"-y=0的特征方程是r2-1=0，特征根为r1=1，r2=-1

y"-y=xex中自由项f(x)=xex，α=1是特征单根，应设y*=x(ax+b)ex=(αx2+bx)ex。

所以选A。

11.B

12.C解析：

13.A

14.B

15.C

16.D本题考查的知识点为重要极限公式与无穷小量的性质．

17.C方程F(x，y)=0表示母线平行于Oz轴的柱面，称之为柱面方程，故选C。

18.A

19.A

20.A

21.3x2siny3x2siny解析：

22.(x+1)ex本题考查了函数导数的知识点。

23.

24.

25.-5-5解析：

26.

本题考查的知识点为可分离变量方程的求解．

可分离变量方程求解的一般方法为：

(1)变量分离；

(2)两端积分．

27.-sinx

28.π/2π/2解析：

29.sinx·siny=C由cosxsinydx+sinxcosydy=0，知sinydsinx+sinxdsiny=0，即d(sinx·siny)=0，两边积分得sinx·siny=C，这就是方程的通解.

30.本题考查的知识点为直线的方程和直线与直线的关系。由于两条直线平行的充分必要条件为它们的方向向量平行，因此可取所求直线的方向向量为(2，1，-1)．由直线的点向式方程可知所求直线方程为

31.y''=x(asinx+bcosx)

32.

33.(-∞2)

34.63/12

35.6；本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

当于当x→0时，2x2与为等价无穷小，因此

可知a=6．

36.

37.因为=a，所以a=-2。

38.

39.-24本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最大值．

若f(x)在(a，b)内可导，在[a，b]上连续，常可以利用导数判定f(x)在[a，b]上的最值：

(1)求出f'(x)．

(2)求出f(x)在(a，b)内的驻点x1，…，xk．

(3)比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)．其中最大(小)值为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的点x为f(x)的最大(小)值点．

y=x3-27x+2,

则y'=3x2-27=3(x-3)(x+3),

令y'=0得y的驻点x1=-3，x2=3，可知这两个驻点都不在(1，2)内．

由于f(1)=-24，f(2)=-44，可知y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为-24．

本题考生中出现的错误多为求出驻点x1=-3，x2=3之后，直接比较

f(-3)=56，f(3)=-52，f(1)=-24，f(2)=-44，

得出y=x3-27x+2在[1，2]上的最大值为f(-3)=56．其错误的原因是没有判定驻点x1=-3，x2=3是否在给定的区间(1，2)内，这是值得考生注意的问题．在模拟试题中两次出现这类问题，目的就是希望能引起考生的重视．

本题还可以采用下列解法：注意到y'=3(x-3)(x+3)，在区间[1，2]上有y'＜0，因此y为单调减少函数。可知

x=2为y的最小值点，最小值为y|x=2=-44．

x=1为y的最大值点，最大值为y|x=1=-24．

40.-4cos2x

41.由二重积分物理意义知

42.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

43.函数的定义域为

注意

44.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

45.由等价无穷小量的定义可知

46.

47.

48.

列表：

说明

49.

50.

51.

则

52.

53.由一阶线性微分方程通解公式有

54.

55.

56.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

57.

58.

5