天津第三十二中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

天津第三十二中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=(A)58

(B)88

(C)143

(D)176参考答案：B2.设，是非零向量，且．则“”是“”的（

）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C充分性：当时，，∴，必要性：当时，，∵，∴．故选．3.已知i为虚数单位，则复数ii对应的点位于A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A，其对应的点为，位于第一象限4.已知向量≠，||＝1，记f(x)=|－x|，对任意x∈R，恒有f(x)≥f(1)，则(

)(A)⊥

(B)⊥(－)

(C)⊥(－)

(D)(＋)⊥(－)参考答案：答案：B5.执行右面的程序框图，当输入n=4时，输出S的值为

(A)6

(B)13

(C)25

(D)46参考答案：C略6.已知方程kx+3﹣2k=有两个不同的解，则实数k的取值范围是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】如图，当直线在AC位置时，斜率k==，当直线和半圆相切时，由半径2=解得k值，即得实数k的取值范围．【解答】解：由题意得，半圆y=和直线y=kx﹣2k+3有两个交点，又直线y=kx﹣2k+3过定点C（2，3），如图：当直线在AC位置时，斜率k==．当直线和半圆相切时，由半径2=，解得k=，故实数k的取值范围是（，]，故选：C．【点评】本题考查方程有两个实数解的条件，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，求出直线在AC位置时的斜率k值及切线CD的斜率，是解题的关键．7.（5分）函数y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】：函数的图象．【专题】：数形结合．【分析】：根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．解：∵是偶函数，排除A，当x=2时，，排除C，当时，，排除B、C，故选D．【点评】：本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的奇偶性及特殊点来判断．8.定义式子运算为将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值为（

）

A．

B． C．

D．参考答案：C,将其图像向左平移n各单位得到函数，因为其为偶函数，所以，又因为，所以的最小值为。9.若A=，B=，则=（

）A．(-1，+∞)

B．(-∞，3)

C．(-1，3)

D．(1，3)参考答案：C10.函数的图象如右图所示，则导函数的图象的大致形状是（

）[参考答案：D试题分析：由原函数可知，它先减后增，再保持不变；因而其导函数是先负，后正在为零.由图可知选D.考点：1.原函数与导函数的关系.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图将等腰直角三角形ABC，沿其中位线DE将其折成的二面，则直线与平面所成的角的正切值是____.

参考答案：答案:

12.如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF1|=x，|AF2|=y，利用椭圆的定义，四边形AF1BF2为矩形，可求出x，y的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率．解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2=（2c）2=12，②由①②得，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==．故答案为：．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．13.已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列的前项和，则数列的一个通项公式

，数列的前项和为

.

参考答案：，

考点：1.程序框图；2.裂项抵消法．【方法点睛】本题考查学生对程序框图的识图、用图能力和利用裂项抵消法求数列的前项和，属于中档题；裂项抵消法是一种非常常见的求和方法，其解决的主要题型有：（1）；（2）；（3）.14.已知函数f（x）=1+x﹣+，g（x）=1﹣x+﹣，设函数F（x）=f（x﹣4）?g（x+3），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为

．参考答案：6【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；52：函数零点的判定定理．【分析】求出函数f（x）的导数，求出f（x）的单调区间，从而求出其零点的范围，求出f（x﹣4）的零点所在的范围；通过讨论x的范围，求出g（x）在R的导数，得到g（x）的单调区间，从而求出g（x+3）所在的零点的范围，F（x）的零点均在区间[a，b]，进而求出a，b的值，求出答案即可．【解答】解：∵函数f（x）=1+x﹣+，f′（x）=1﹣x+x2＞0，∴f（x）在R单调递增，而f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点，∴函数f（x﹣4）在[3，4]上有一个零点，函数g（x）=1﹣x+﹣，g′（x）=﹣1+x﹣x2＜0，∴f（x）在R单调递减，而g（1）=1﹣1+＞0，g（2）=1﹣2+2＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）内有零点，∴函数g（x+3）在[﹣2，﹣1]上有一个零点，函数F（x）=f（x﹣4）?g（x+3），且函数F（x）的零点在区间[﹣2，4]内，则b﹣a的最小值为：6．故答案为：6．【点评】本题考查函数的单调性的应用，函数的零点的求法，考查转化思想以及计算能力．15.函数f(x)满足,,当时,,过点且斜率为k的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点,则k的取值范围为

．参考答案：因为,,所以,即，即是的周期函数,由时,,知时,,,则当时,,又是周期为的周期函数,画出的图象如下图所示，由图象得,当时,同,联立得，由得或(舍),此时,故不可能有三个交点,当时,与连线的斜率为,此时直线与有两个交点,又,若同相切,两式联立得，由,得或(舍),此时.所以当时有三个交点,综上:.16.某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是____件．参考答案：80017.若函数在处有极大值，则常数的值为_________；参考答案：6三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足．（1）求的值；

（2）求不等式的解集．参考答案：（1）解:由题意得f（8）＝f（4×2）＝f（4）＋f（2）＝f（2×2）＋f（2）＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝3f（2）又∵f（2）＝1

∴f（8）＝3………6分（2）解:不等式化为f（x）>f（x－2）+3∵f（8）＝3

∴f（x）>f（x－2）＋f（8）＝f（8x－16）……………8分∵f（x）是（0，+∞）上的增函数∴解得2<x<……………12分19.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足S3=3a3+2a2，a4=8．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列bn=log2an，求{|bn|}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）设正项等比数列{an}的公比为q，则q＞0，根据已知条件和等比数列的通项公式求得q的值，则an=a4qn﹣4；（Ⅱ）由bn=|log2an|，an=2n﹣7，知bn=|log22n﹣7|=|n﹣7|，由此能求出数列{bn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设正项等比数列{an}的公比为q，则q＞0．由已知S3=3a3+2a2有2a3+a2﹣a1=0，即，∴2q2+q﹣1=0故或q=﹣1（舍）∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=7﹣n故当n≤7时，bn≥0∴当n≤7时，当n＞7时，Tn=b1+b2+…+b7﹣（b8+b9+…+bn）=2（b1+b2+…+b7）﹣（b1+b2+…+bn）=﹣+42，∴Tn=．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．20.(12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x=12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明:

为定值，并求此定值。

参考答案：解析：（I）设椭圆方程为．因焦点为，故半焦距．又右准线的方程为，从而由已知：，因此，．故所求椭圆方程为．（II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，．又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有

．解得

．因此，而，故为定值．21.在中，内角所对的边分别为.已知，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.参考答案：解：（1）由题意得，，即，，由得，，又，得，即，所以；（2）由，，得，由，得，从而，故，所以的面积为．略22.（本题14分）已知函数

（1）若x=2为的极值点，求实数a的值；

（2）若在上为增函数，求实数a的取值范围；

（3）当时，方程有实根，求实数b的最大值。参考答案：(1)解：........1分

因为x=2为f(x)的极值点，所以.................................2分

即，解得：a=0............................................3分

又当a=0时，，从而x=2为f(x)的极值点成立．............4分

(2)解：∵f(x)在区间[3，+∞)上为增函数，

∴在区间[3，+∞)上恒成立．..........5分

①当a=0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f(x)在[3，+∞)上为增函数，故a=0符合题意．.........................................................6分

②当a≠0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax+1>0对x≥3恒成立，故只能a>0，

所以在区间[3，+∞)上恒成立．.................7分

令，其对称轴为........................8分

∵a>0，∴，从而g(x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g(3)≥0即可，

由，解得：......................9分

∵a>0，∴．

综上所述，a的取值范围为[0，]............................