（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第七章数列7.2等差数列

第二节等差数列【教材·知识梳理】1.等差数列与等差中项(1)定义：①文字语言：从______起，每一项与它的前一项的___都等于___一个常数；②符号语言：———————(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则__叫做a，b的等差中项.第2项差同a

n+1-an=dA2.等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an=_________.(2)前n项和公式：Sn=_______________________.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：an=am+_______(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则__________.a1+(n-1)d(n-m)dak+al=am+an【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. (

)(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+.(

)(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (

)(4)若{an}是等差数列,公差为d,则数列{a3n}也是等差数列. (

)(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. (

)提示:(1)×.若这些常数都相等,则这个数列是等差数列;若这些常数不全相等,这个数列就不是等差数列.(2)√.如果数列{an}为等差数列,根据定义an+2-an+1=an+1-an,即2an+1=an+an+2;反之,若对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an=an-an-1=…=a2-a1,根据定义知数列{an}为等差数列.(3)√.当d>0时为递增数列;d=0时为常数列;d<0时为递减数列.(4)√.因为{an}是等差数列,公差为d,所以a3(n+1)-a3n=3d(与n值无关的常数),所以数列{a3n}也是等差数列.(5)×.等差数列的前n项和公式Sn=na1+显然只有公差d≠0时才是关于n的常数项为0的二次函数,否则不是(甚至当a1=d=0时也不是n的一次函数).【易错点索引】序号易错警示典题索引1不能正确进行公式转化考点一、T3,52不能正确得出判断考点二、T23性质运用不熟练考点三、角度1,2【教材·基础自测】1.(必修5P41练习AT1改编)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2=2,S4=14,则S6等于 (

)A.32 B.39 C.42 D.45【解析】选B.设公差为d,由题意得解得所以S6=6a1+d=39.2.(必修5P43习题2-2AT12改编)某剧场有20排座位,后一排比前一排多2个座位,最后一排有60个座位,则剧场总共的座位数为________.

【解析】设第n排的座位数为an(n∈N*),数列{an}为等差数列,其公差d=2,则an=a1+(n-1)d=a1+2(n-1).由已知a20=60,得60=a1+2×(20-1),解得a1=22,则剧场总共的座位数为=820.答案:8203.(必修5P36例2(1)改编)已知等差数列-8,-3,2,7,…,则该数列的第100项为________.

【解析】依题意得,该数列的首项为-8,公差为5,设该等差数列为{an},则a100=-8+99×5=487.答案:4874.(必修5P41练习AT3改编)已知等差数列5,4,3,…,则前n项和Sn=_____.

【解析】设该等差数列为{an},由题知公差d=-,所以Sn=na1+d=(75n-5n2).答案:(75n-5n2)【思想方法】函数思想在等差数列前n项和最值求解中的应用

【典例】(2019·北京高考)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{an}的通项公式.(2)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值.【解析】(1)设{an}的公差为d,则a2+10=a1+d+10=d,a3+8=a1+2d+8=2d-2,a4+6=a1+3d+6=3d-4,又因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以d(3d-4)=(2d-2)2,即d=2,所以an=a1+(n-1)d=2n-12,n∈N*.(2)Sn==n(n-11),二次函数y=x(x-11)的对称轴为x=5.5,所以当n=5或6时,Sn有最小值-30.

【思想方法指导】因为数列是特殊的函数关系,因此常利用函数的思想解决数列中最值问题.在求解等差数列前n项和的最值问题时,应注意以下三点:(1)等差数列的前n项和与函数的关系;(2)Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,为抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点;(3)注意n为正整数以及抛物线的开口方向.【迁移应用】已知数列{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5.(1)求{an}的通项公式an.(2)求{an}前n项和Sn的最大值.【解析】(1)根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d变形有an=am+(n-m)d，则公差d=所以d=所以通项公式an=a2+(n-2)d=1+(n-