关于排列组合的解题策略

解排列组合问题的常用策略

名称内容分类原理分步原理定义相同点不同点两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法…，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m1+m2+m3+…mn种不同的方法做一件事，完成它可以有n个步骤，做第一步中有m1种不同的方法，做第二步中有m2种不同的方法……，做第n步中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn种不同的方法.排列和组合的区别和联系：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质，从n个不同元素中取出m个元素，按一定的顺序排成一列从n个不同元素中取出m个元素，把它并成一组所有排列的的个数所有组合的个数1、某校组织学生分4个组从3处风景点中选一处去春游,则不同的春游方案的种数是（）A.B.C.D.

C练习2、将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字都不相同的填法共有（）。A.6种B.9种C.11种D.23种

B解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.※解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略判断下列问题是组合问题还是排列问题?

(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?

有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法?组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?组合问题(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?组合问题(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?排列问题组合问题合理分类和准确分步

解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚.总的原则—合理分类和准确分步

解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，事情的发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。分析：先安排甲，按照要求对其进行分类，分两类：根据分步及分类计数原理，不同的站法共有例16个同学和2个老师排成一排照相，2个老师站中间，学生甲不站排头，学生乙不站排尾，共有多少种不同的排法？1）若甲在排尾上，则剩下的5人可自由安排，有种方法.若甲在第2、3、6、7位，则排尾的排法有种，1位的排法有种,第2、3、6、7位的排法有种，根据分步计数原理，不同的站法有种。再安排老师，有2种方法。把握分类原理、分步原理是基础例1如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发现电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有（）A.63种B.64种C.6种D.36种分析:由加法原理可知由乘法原理可知：2×2×2×2×2×2-1=63合理分类与分步策略例.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法?解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞,3人为全能演员。以只会唱歌的5人是否选上唱歌人员为标准进行研究:只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有____种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员________种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有____种，由分类计数原理共有______________________种。++本题还有有如下分分类标准准：*以3个全全能演员员是否选选上唱歌歌人员为为标准*以3个全全能演员员是否选选上跳舞舞人员为为标准*以只会跳跳舞的2人是否否选上跳跳舞人员员为标准准都可经得得到正确确结果解含有约约束条件件的排列列组合问问题，可可按元素素的性质进进行分类类，按事事件发生生的连续续过程分分步，做到到标准明明确。分分步层次次清楚，，不重不不漏，分类类标准一一旦确定定要贯穿穿于解题题过程的的始终。有不同的的数学书书7本，，语文书书5本，，英语书书4本，，由其中中取出不不是同一一学科的的书2本本，共有有多少种种不同的的取法？？（7×5+7×4+5×4=83））（4）（（2005·福福建·理理）从6人中选选4人分分别到巴巴黎、伦伦敦、悉悉尼、莫莫斯科四四个城市市游览，，要求每每个城市市有一人人游览，，每人只只游览一一个城市市，且这这6人中中甲、乙乙两人不不去巴黎黎游览，，则不同同的选择择方案共共有（（））A．300种B．．240种种C．144种D．．96种B1.从从4名名男生生和3名女女生中中选出出4人人参加加某个个座谈谈会，，若这这4人人中必必须既既有男男生又又有女女生，，则不不同的的选法法共有有_______34练习题题2.3成人人2小小孩乘乘船游游玩,1号号船最最多乘乘3人人,2号船最最多乘乘2人人,3号船船只能能乘1人,他们们任选选2只船船或3只船船,但但小孩孩不能能单独独乘一一只船船,这5人人共有有多少少乘船船方法法.27特殊元元素和和特殊殊位置置问题题特殊元元素和和特殊殊位置置优先先策略略例1.由0,1,2,3,4,5可以以组成成多少少个没没有重重复数数字五位奇奇数.解:由由于末末位和和首位位有特特殊要要求,应该该优先先安排,以以免不不合要要求的的元素素占了了这两两个位位置先排末末位共共有___然后排排首位位共有有___最后排排其它它位置置共有有___由分步计数原理得=288位置分分析法法和元元素分分析法法是解解决排排列组组合问问题最最常用用也是是最基基本的的方法法,若若以元元素分分析为为主,需先先安排排特殊殊元素素,再再处理理其它它元素素.若若以位位置分分析为为主,需先先满足足特殊殊位置置的要要求,再处处理其其它位位置。。若有有多个个约束束条件件，往往往是是考虑虑一个个约束束条件件的同同时还还要兼兼顾其其它条条件学生要要从六六门课课中选选学两两门：：（1））有两两门课课时间间冲突突，不不能同同时学学，有有几种种选法法？（2））有两两门特特别的的课，，至少少选学学其中中的一一门，，有几几种选选法？？解法一：解法二：（1））有两两门课课时间间冲突突,不不能同同时学学，有有几种种选法法？解法一一：解法二二：（2））有两两门特特别的的课，，至少少选学学其中中的一一门，，有几几种选选法？？7种不不同的的花种种在排排成一一列的的花盆盆里,若两两种葵葵花不不种在在中间间，也也不种种在两两端的的花盆盆里，，问有有多少少不同同的种种法？？练习题题小结：：1、““在””与““不在在”可可以相相互转转化。。解决决某些些元素素在某某些位位置上上用““定位位法””，解解决某某些元元素不不在某某些位位置上上一般般用““间接接法””或转转化为为“在在”的的问题题求解解。2、排排列组组合应应用题题极易易出现现“重重”、、“漏漏”现现象，，而重重”、、“漏漏”错错误常常发生生在该该不该该分类类、有有无次次序的的问题题上。。为了了更好好地防防“重重”堵堵“漏漏”，，在做做题时时需认认真分分析自自己做做题思思路，，也可可改变变解题题角度度，利利用一一题多多解核核对答答案相邻相相间问问题相邻元元素捆捆绑策策略例.7人人站成成一排排,其中中甲乙乙相邻邻且丙丙丁相相邻,共共有有多少少种不不同的的排法法.甲乙丙丁由分步计数原理可得共有种不同的排法=480解：可可先将将甲乙乙两元元素捆捆绑成成整体体并看看成一个复合合元素，，同时丙丙丁也看看成一个个复合元素素，再与与其它元元素进行行排列，，同时对相相邻元素素内部进进行自排排。要求某几几个元素素必须排排在一起起的问题题,可以以用捆绑法来来解决问问题.即即将需要要相邻的的元素合合并为一个元元素,再再与其它它元素一一起作排排列,同同时要注意合合并元素素内部也也必须排排列.例5个男生生3个女女生排成成一排,3个女女生要排排在一起起,有多多少种不不同的排排法?结论捆绑法:要求某几几个元素素必须排排在一起起的问题题,可以以用捆绑绑法来解解决问题题.即将将需要相相邻的元元素合并并为一个个元素,再与其其它元素素一起作作排列,同时要要注意合合并元素素内部也也可以作作排列.有8本互互不相同同的书,其中数数学书3本,外外文书2本,其其他书3本.若若将这些些书排成成一列放放在书架架上,则则数学书书恰好排排在一起起,外文文书也恰恰好排在在一起的的排法共共有_____种(结果果用数值值表示示).不相邻问问题插空空策略例3.一一个晚会会的节目目有4个个舞蹈,2个相相声,3个独唱,舞舞蹈节目目不能连连续出场场,则节节目的出出场顺序有有多少种种？解:分两两步进行行第一步步排2个个相声和和3个独独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种

不同的方法

由分步计数原理,节目的不同顺序共有

种相相独独独元素相离离问题可可先把没没有位置置要求的的元素进进行排队队再把不不相邻元元素插入入中间和和两端不相邻问问题———插空法法对于某几几个元素素不相邻邻得排列列问题，，可先将将其它元素排好好，然后后再将不不相邻的的元素在在已排好好的元素素之间及两两端的空空隙之间间插入即即可。例57人站站成一排排照相，，要求甲甲，乙，，丙三人人不相邻邻，分别别有多少少种站法法？分析：可先让其余4人站好，共有种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、丙插入，则有种方法，这样共有种不同的排法。某班新年年联欢会会原定的的5个节节目已排排成节目目单，开开演前又又增加了了两个新新节目.如果将将这两个个新节目目插入原原节目单单中，且且两个新新节目不不相邻，，那么不不同插法法的种数数为（））30练习题（1）三三个男生生，四个个女生排排成一排排，男生生、女生生各站一一起，有有几种不不同方法法？（2）三个男生生，四个个女生排排成一排排，男生之间间、女生生之间不不相邻，，有几种种不同排排法？捆绑法：：插空法：：（3）(2005··辽宁)用１、、２、３３、４、、５、６６、７、、８组成没有有重复数数字的八八位数，，要求１１与２相相邻，３３与４相相邻，５５与６相相邻，而而７与８８不相邻邻，这样样的八位位数共有有___________个个．（用用数字作作答）练习(3)(2005··辽宁)用１、、２、３３、４、、５、６６、７、、８组成没有有重复数数字的八八位数，，要求１１与２相相邻，３与４相相邻，５５与６相相邻，而而７与８８不相邻邻，这样的八八位数共共有___________个．（（用数字字作答））将１与２，３与４，５与６捆绑在一起排成一列有种，再将７、８插入4个空位中的两个有种，故有种．

引申:用用１、２２、３、、４、５５、６、、组成没没有重复复数字的六位数数，要求求１与２２相邻，，３与４４相邻，，５与６６相邻，现现将7、、8插插进去，，仍要求求１与２２相邻，，３与４４相邻，５５与６相相邻，那那么插法法共有___________种．．（用数字字作答））某人射击击8枪，，命中4枪，4枪命中中恰好有有3枪连连在一起起的情形形的不同同种数为为（））练习题20“相邻””用“捆捆绑”，，“不邻邻”就““插空””例七人人排成一一排，甲甲、乙两两人必须须相邻，，且甲、、乙都不不与丙相相邻，则则不同的的排法有有（））种960种种（（B）840种种（（C）720种种（（D）600种种解：另解：例学校组织织老师学学生一起起看电影影，同一一排电影影票12张。8个学生生，4个个老师，，要求老老师在学学生中间间，且老老师互不不相邻，，共有多多少种不不同的坐坐法？解先排学生生共有种种排法法,然后后把老师师插入学学生之间间的空档档，共有有7个空空档可插插,选其其中的4个空档档,共有有种种选选法.根根据乘法法原理,共有的的不同坐坐法为种种.结论插入法:对于某两两个元素素或者几几个元素素要求不不相邻的的问题,可以用用插入法法.即先先排好没没有限制制条件的的元素,然后将将有限制制条件的的元素按按要求插插入排好好元素的的空档之之中即可可.分析此题涉涉及到到的是是不相相邻问问题,并且且是对对老师师有特特殊的的要求求,因因此老老师是是特殊殊元素素,在在解决决时就就要特特殊对对待.所涉涉及问问题是是排列列问题题.小结：：以元素素相邻邻为附附加条条件的的应把把相邻邻元素素视为为一个个整体体，即即采用用“捆捆绑法法”；；以某某些元元素不不能相相邻为为附加加条件件的,可采采用““插空空法””。““插空空”有有同时时“插插空””和有有逐一一“插插空””,并并要注注意条条件的的限定定.定序问问题定序问问题倍倍缩空空位插插入策策略例7人人排队队,其其中甲甲乙丙丙3人人顺序序一定定共有有多少不同同的排排法解:(倍缩法法)对于于某几几个元元素顺顺序一一定的的排列列问题,可先先把这这几个个元素素与其其他元元素一一起进行排排列,然后后用总总排列列数除除以这几个个元素之间间的全全排列列数,则共有有不同同排法法种数数是：（空位法法）设想想有7把椅椅子让让除甲甲乙丙丙以外外的四人人就坐坐共有有种方法法，其其余的的三个个位置甲甲乙丙丙共有有种坐法法，则则共有有种方法。。1思考:可以以先让让甲乙乙丙就就坐吗吗?（插入法法)先排排甲乙乙丙三三个人人,共共有1种排排法,再把其余余4四四人依次插入共共有方法4*5*6*7定序问问题可可以用用倍缩缩法，，还可可转化化为占占位插插空模模型处处理练习题题10人人身高高各不不相等等,排排成前前后排排，每每排5人,要求从左左至右右身高高逐渐渐增加加，共共有多多少排排法？？例期中中安安排排考考试试科科目目9门门,语语文文要要在在数数学学之之前前考考,有有多多少少种种不不同同的的安安排排顺顺序序?解不加加任任何何限限制制条条件件,整整个个排排法法有有种种,““语语文文安安排排在在数数学学之之前前考考””,与与““数数学学安安排排在在语语文文之之前前考考””的的排排法法是是相相等等的的,所所以以语语文文安安排排在在数数学学之之前前考考的的排排法法共共有有种种.结论对等法:在有些题题目中,它的限限制条件件的肯定定与否定定是对等等的,各各占全体体的二分分之一.在求解解中只要要求出全全体,就就可以得得到所求求.分房问题题又名：住住店法，，重排问问题求幂幂策略住店法解决“允允许重复复排列问问题”要要注意区区分两类类元素：：一类元素素可以重重复，另另一类不不能重复复，把不不能重复复的元素素看作““客”，，能重复复的元素素看作““店”，，再利用用乘法原原理直接接求解。。例10七七名学生生争夺五五项冠军军，每项项冠军只只能由一一人获得得，获得得冠军的的可能的的种数有有（））A.B.CD.分析：因因同一学学生可以以同时夺夺得n项项冠军，，故学生生可重复复排列，，将七名名学生看看作7家家“店””，五项项冠军看看作5名名“客””，每个个“客””有7种种住宿法法，由乘乘法原理理得种种。注：对此此类问题题，常有有疑惑，，为什么么不是呢呢？用分步计计数原理理看，5是步骤骤数，自自然是指指数。A重排问题求幂幂策略例.把6名实实习生分配到到7个车间实实习,共有多少种不同的的分法解:完成此事事共分六步:把第一名实实习生分配到车间有种分法.7把第二名实习生分配

到车间也有7种分法，依此类推,由由分步计数原理共有种种不同的的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种nm1.某班新新年联欢会原原定的5个节节目已排成节节目单，开演演前又增加了了两个新节目目.如果将这这两个节目插插入原节目单单中，那么不不同插法的种种数为（））422.某8层层大楼一楼电电梯上来8名名乘客人,他他们到各自的一层层下电梯,下下电梯的方法法（））练习题环排问题和多多排问题环排问题线排排策略例5人围桌桌而坐,共有有多少种坐法法?解：围桌而坐与坐坐成一排的不不同点在于，，坐成圆形没有首尾尾之分，所以以固定一人A并从此位置把圆形形展成直线其其余4人共有有____种排法即ABCEDDAABCE（5-1)！！一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有练习题6颗颜色不同同的钻石，可可穿成几种钻钻石圈？120多排问题直排排策略例8人人排成前后后两排,每每排4人,其中甲乙乙在前排,丁在在后排,共共有多少排排法解:8人排排前后两排排,相当于于8人坐8把椅子,可以把椅子排成成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排一般地,元元素分成多多排的排列列问题,可可归结为一一排考虑,再分段研研究.有两排座位位，前排11个座位位，后排12个座位位，现安排排2人就座座规定前排排中间的3个座位不不能坐，并并且这2人人不左右相相邻，那么么不同排法法的种数是是______346练习题小集团问题题小集团问题题先整体局局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有有重复数字字的五位数数其中恰有两两个偶数夹夹1,５在在两个奇数数之间,这样的的五位数有有多少个？？解：把１,５,２,４当作一一个小集团团与３排队队共有____种排法法，再排小小集团内部部共有_______种排排法，由分分步计数原原理共有_______种种排排法法.31524小集团小集集团团排排列列问问题题中中，，先先整整体体后后局局部部，，再再结结合合其其它它策策略略进进行行处处理理。。１.计计划划展展出出10幅幅不不同同的的画画,其其中中1幅幅水水彩彩画画,４４幅油油画画,５５幅幅国国画画,排排成成一一行行陈陈列列,要要求求同同一一品种种的的必必须须连连在在一一起起，，并并且且水水彩彩画画不不在在两两端，那么共有有陈列方式的的种数为_______2.5男生生和５女生站站成一排照像像,男生相邻邻,女生也相邻的排排法有_______种种元素相同问题题隔板策略应用背景：相相同元素的名名额分配问题题不定方程的正正整数解问题题隔板法的使用用特征：相同的元素分分成若干部分分，每部分至至少一个元素相同问题题隔板策略例.有10个运动动员名额，在在分给7个班班，每班至少一个,有多少种分分配方案？解：因为10个名额没有有差别，把它它们排成一排。相邻名名额之间形成成９个空隙。。在９个个空档档中选选６个个位置置插个个隔板板，可把名名额分分成７７份，，对应应地分分给７７个班级，，每一一种插插板方方法对对应一一种分分法共有___________种分分法。。一班二班三班四班五班六班七班将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为例高二年年级8个班班,组组织一一个12个个人的的年级级学生生分会会,每每班要要求至至少1人,名额额分配配方案案有多多少种种?解此题可可以转转化为为:将将12个相相同的的白球球分成成8份份,有有多少少种不不同的的分法法问题题,因因此须须把这这12个白白球排排成一一排,在11个个空档档中放放上7个相相同的的隔板板,每每个空空档最最多放放一个个,即即可将将白球球分成成8份份,显显然有有种种不不同的的放法法,所所以名名额分分配方方案有有种种.结论转化法法:对于某某些较较复杂杂的、、或较较抽象象的排排列组组合问问题，，可以以利用用转化化思想想,将将其化化归为为简单单的、、具体体的问问题来来求解解.练习习（1））将10个个学生生干部部的培培训指指标分分配给给7个个不同同的班班级，，每班班至少少分到到一个个名额额，不不同的的分配配方案案共有有（（））种种。（2）不定方程的正整数解共有（）组练习题题10个个相同同的球球装5个盒盒中,每盒盒至少少一有多少少装法法？2.x+y+z+w=100求求这个个方程程组的的自然然数解解的组数数小结：：把n个个相同同元素素分成成m份份每份份,至至少1个元元素,问有有多少少种不不同分分法的的问题题可以以采用用“隔隔板法法”得得出共共有种种.间接法法解题题正难则则反总总体淘淘汰策策略例11.从从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这这十个个数字字中取取出三三个数，，使其其和为为不小小于10的的偶数数,不不同的的取法有有多少少种？？解：这这问题题中如如果直直接求求不小小于10的的偶数数很困难,可用用总体体淘汰汰法。。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有_________再淘汰汰和小小于10的的偶数数共___________符合条条件的的取法法共有有___________9013015017023025027041045043+-9+有些排排列组组合问问题,正面面直接接考虑虑比较较复杂杂,而而它的的反面面往往往比较较简捷捷,可可以先先求出出它的的反面面,再再从整整体中中淘汰汰.例：用用0，，1，，2，，3，，4这这五个个数，，组成成没有有重复复数字的的三位位数，，其中中1不不在个个位的的数共共有_______种。。间接法法(总体体淘汰汰法,正难难则反反）对于含含有否否定词词语的的问题题，还还可以以从总总体中中把不不符合合要求求的减减去，，此时时应注注意既不能能多减减又不不能少少减。。

分析：五个数组成三位数的全排列有个，0排在首位的有个，1排在末尾的有，减掉这两种不合条件的排法数，再加回百位为0同时个位为1的排列数（为什么？）故共有种。例我们班班里有有43位同同学,从中中任抽抽5人人,正正、副副班长长、团团支部部书记记至少少有一一人在在内的的抽法法有多多少种种?解43人人中任任抽5人的的方法法有种种,正正副班班长,团支支部书书记都都不在在内的的抽法法有种种,所所以正正副班班长,团支支部书书记至至少有有1人人在内内的抽抽法有有种种.结论去杂法:有些问题题,正面面直接考考虑比较较复杂,而它的的反面往往往比较较简捷,可以先先求出它它的反面面,再从从整体中中排除.平均分组组问题除除法策略略“分书问问题”平均分组组问题除除法策略略例12.6本不不同的书书平均分分成3堆堆,每堆堆2本共共有多少分法法？解:分分三步取取书得种种方法法,但这这里出现现重复计数数的现象象,不妨妨记6本本书为ABCDEF若第一步步取AB,第二二步取CD,第第三步取取EF该分法记记为(AB,CD,EF),则中中还还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共共有种种取取法,而这些分法法仅是(AB,CD,EF)一种分分法,故故共有种种分法法。平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。变式：6本不同同的书，，按照以以下要求求处理，，各有多多少种方方法？（4）平平均分给给3个人人，（1）一一堆一本本，一堆堆2本，，一堆3本（2）甲甲得1本本，乙得得2本，，丙得3本（3）一一人一本本，一人人2本，，一人3本（6）每每人至少少一本（5）平均均分成3堆堆1将13个球队队分成3组组,一组5个队,其其它两组4个队,有有多少分法法？2.10名名学生分成成3组,其其中一组4人,另另两组3人人但正副班长长不能分在在同一组,有多少种种不同的分组方法法（1540）3.某校高高二年级共共有六个班班级，现从从外地转入入4名名学生，要要安排到该该年级的两两个班级且且每班安排排2名，则则不同的安安排方案种种数为______小结：排列与组合合的区别在在于元素是是否有序;m等分分的组合问问题是非等等分情况的的;而元素素相同时又又要另行考考虑.构造模型策策略例.马路路上有编号号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉掉其中的3盏,但不不能关掉相邻的2盏或3盏盏,也不能能关掉两端端的2盏,求满足足条件的关关灯方法有有多少种？？解：把此问问题当作一一个排队模模型在6盏盏亮灯的5个个空隙中插插入3个不不亮的灯有________种一些不易理理解的排列列组合题如如果能转化化为非常熟悉的的模型，如如占位填空空模型，排排队模型，装盒盒模型等，，可使问题题直观解决决练习题某排共有10个座位位，若4人人就坐，每每人左右两边都有空空位，那么么不同的坐坐法有多少少种？120先选后排问问题八.排列组组合混合问问题先选后后排策略例.有5个个不同的小小球,装入入4个不同同的盒内,每盒至少装装一个球,共有多少少不同的装装法.解:第一步步从5个球球中选出2个组成复复合元共有__种方方法.再把把5个元素素(包含一一个复合元素)装入入4个不同同的盒内有有_____种方法法.根据分步计计数原理装装球的方法法共有_____解决排列组组合混合问问题,先选选后排是最最基本的指导思想想.此法与相邻元素捆捆绑策略相相似吗?练习题一个班有6名战士,其中正副副班长各1人现从中选4人人完成四种不不同的任务,每人完成一种任务务,且正副班班长有且只有有1人参加,则不同同的选法有________种1923名医生和和6名名护士被分配配到3所所学校为学生生体检,每校校分配1名名医生和2名护士士,不同的分分配方法共有有多少种?先选后排问题题的处理方法法解法一：先组组队后分校（（先分堆后分分配）解法二：依次次确定到第一一、第二、第第三所学校去去的医生和护护士.为支援西部开开发,有3名名教师去银川川市三所学校校任教,每校校分配1人,不同的分配配方法共有_______种(用数数字作答).练习改为4名教师师？改为5名教师师？小结：本题涉及一类类重要问题：：问题中既有有元素的限制制，又有排列列的问题，一一般是先元素素（即组合））后排列。实验法（穷举举法），（枚枚举法）应应用举例实验法（穷举举法）题中附加条件件增多，直接接解决困难时时，用实验逐逐步寻求规律律有时也是行行之有效的方方法。例将将数字1，2，3，4填填入标号为1，2，3，，4的四个方方格内，每个个方格填1个个，则每个方方格的标号与与所填的数字字均不相同的的填法种数有有（））实际操作穷举举策略例.设有编号号1,2,3,4,5的的五个球和编编号1,23,4,5的的五个盒子,现将5个球球投入这五个盒子内,要要求每个盒子子放一个球，，并且恰好有两个球球的编号与盒盒子的编号相相同,.有多少投法？？解：从5个球中取取出2个与盒盒子对号有_____种种还剩下3球3盒序号不能能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法3号盒4号盒5号盒345实际操作穷举举策略例.设有编号号1,2,3,4,5的的五个球和编编号1,23,4,5的的五个盒子,现将5个球球投入这五个盒子内,要要求每个盒子子放一个球，，并且恰好有两个球球的编号与盒盒子的编号相相同,.有多少投法？？解：从5个球中取取出2个与盒盒子对号有_____种种还剩下3球3盒序号不能能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2种练习：（（不对号入座座问题）（1）（2004湖北））将标号为1，2，3，，……，10的10个球放入入标号为1，，2，3，………，10的的10个盒子子中，每个盒内放一一个球，恰好好有3个球的的标号与其所所在盒子的标号不一致致的放入方法法有___________种（2）编号为为1、2、3、4、5的的五个球放入入编号为1、、2、3、4、5的五个个盒子里，至至多有2个对对号入座的情情形有___________种109直接法：间接法：注意区别“恰恰好”与“至至少”从6双不同颜颜色的手套中中任取4只，，其中恰好有有一双同色的的手套的不同同取法共有（（）(A)480种（B）240种种（C）180种（（D）120种小结：“恰好好有一个”是是“只有一个个”的意思。。“至少有一一个”则是““有一个或一一个以上”，，可用分类讨讨论法求解，，它也是“没没有一个”的的反面，故可可用“排除法法”。解：练习从6双不同颜颜色的手套中中任取4只，，其中至少有有一双同色手手套的不同取取法共有____种解：对于条件比较较复杂的排列列组合问题，，不易用公式进行运算算，往往利用用穷举法或画画出树状图会收到意想想不到的结果果练习题1.给图中区区域涂色,要要求相邻区域不同色,现现有4种可选选颜色,则不同的着色方方法有____种2134572其它特殊方法法分解与合成策策略例.30030能被多多少个不同的的偶数整除分析：先把30030分分解成质因数数的乘积形式式30030=2×3×5×7××11×13依题意可知偶因数数必先取2,再从其余5个因数中任取若若干个组成乘乘积，所有的偶因数为：：例17.正方方体的8个顶顶点可连成多多少对异面直线线解：：我我们们先先从从8个个顶顶点点中中任任取取4个个顶顶点点构构成成四四体共共有有体体共共__________每个四面体有___对异面直线,正方体中的8个顶点可连成____________对异面直线33××58=174分解解与与合合成成策策略略是是排排列列组组合合问问题题的的一一种种最最基本本的的解解题题策策略略,把把一一个个复复杂杂问问题题分分解解成成几几个小小问问题题逐逐一一解解决决,然然后后依依据据问问题题分分解解后后的的结构构,用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理将将问问题合合成成,从从而而得得到到问问题题的的答答案案,每每个个比比较较复复杂的的问问题题都都要要用用到到这这种种解解题题策策略略化归归策策略略例.25人人排排成成5××5方方队队,现现从从中中选选3人人,要要求3人人不不在在同同一一行行也也不不在在同同一一列列,不不同同的的选法法有有多多少少种种？？解：：将这这个个问问题题退退化化成成9人人排排成成3××3方方队队,现现从从中中选选3人人,要要求求3人人不不在在同同一一行行也也不不在在同同一一列列,有有多多少少选选法法.这这样样每每行行必必有有1人人从从其其中中的的一一行行中中选选取取1人人后后,把把这这人人所所在在的的行行列列都都划划掉掉，，从5××5方方队队中中选选取取3行行3列列有有_____选选法法所以以从从5××5方方队队选选不不在在同同一一行行也也不不在在同同一列列的的3人人有有__________________选选法法。。处理理复复杂杂的的排排列列组组合合问问题题时时可可以以把把一一个个问问题题退退化化成成一一个个简简要要的的问问题题，，通通过过解解决决这这个个简简要要的的问问题题的的解解决决找找到到解解题题方方法法，，从从而而进进下下一一步步解解决决原原来来的的问问题题如此此继继续续下下去去.从从3××3方方队队中中选选3人人的的方方法法有___________种种。。再再从从5××5方方队队选选出出3××3方队队便便可可解解决决问问题题对应应法法例11、、在在100名名选选手手之之间间进进行行单单循循环环淘淘汰汰赛赛（（即即一一场场比比赛赛失失败败要要退退出出比比赛赛）），，最最后后产产生生一一名名冠冠军军，，问问要要举举行行几几场场？？分析析：：要要产产生生一一名名冠冠军军，，需需要要淘淘汰汰掉掉冠冠军军以以外外的的所所有有选选手手，，即即要要淘淘汰汰99名名选选手手，，淘淘汰汰一一名名选选手手需需要要进进行行一一场场比比赛赛，，所所以以淘淘汰汰99名名选选手手就就需需要要99场场比比赛赛。。某城城市市的的街街区区由由12个个全全等等的的矩矩形形区区组组成成其中中实实线线表表示示马马路路，，从从A走走到到B的的最最短短路路径有有多多少少种种？？练习习题题BA例袋中中有有5分分硬硬币币23个个,1角角硬硬币币10个个,如如果果从从袋袋中中取取出出2元元钱钱,有有多多少少种种取取法法?解把所有的的硬币全全部取出出来,将将得到0.05×23+0.10××10=2.15元,所以比比2元多多0.15元,所以剩剩下0.15元元即剩下下3个5分或1个5分分与1个个1角,所以共共有种种取法.结论剩余法:在组合问问题中,有多少少取法,就有多多少种剩剩法,他他们是一一一对应应的,因因此,当当求取法法困难时时,可转转化为求求剩法.9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。1月-231月-23Saturday,January7,202310、雨中黄叶叶树，灯下下白头人。。。21:27:3021:27:3021:271/7/20239:27:30PM11、以我独沈沈久，愧君君相见频。。。1月-2321:27:3021:27Jan-2307-Jan-2312、故故人人江江海海别别，，几几度度隔隔山山川川。。。。21:27:3021:27:3021:27Saturday,January7,202313、乍见翻疑梦梦，相悲各问问年。。1月-231月-2321:27:30