高数上-b1讲稿3第三章积分计算及应用

P129,1-10,12-P134,4-11,13-P143-144,1-10,13,17-P123-128,例1-79,例P130-134,1-P137-43,§1

Fu是fu的一Fufu 么复合函数F(u( 子移人d内凑成dux，dF(ux))f(ux))ux 被积函数的其余部分恰好是∫f(u(x))uxdxF(u(x))C

u其原函数Fu

∫f(u(x))duxF(u(x))C

不定积分：f如果f(u)Fu，那么F(ux))就是原∫∫fxF1xfx数变换xtF1x1xft∫ftt

Ft fttt 假如∫ftt 有-- ∫fdxFt 个原函数F fxdx x 其 1 表 xt 元xt，使得被积数 fx换

ftt

b1p125例

a∫a2x I∫sin 解 xatan I cscxdx cscxcscxcotx t cscxcot dxasec2dcscxcotx lncscxdcscxcotx

asec2 ∫cscxcot

2

asec

∫cos∫a∫cscxcotx

coss

dtlncsctcott22∫sint 2sinx

sin 2sinxcos 2

lnsecttant P125例8,答案一样.a2

x

x2a2

x

alnx a2x2 C1. b1p129- 1tan2tsec2I

3a a2x2 xasint

t

解因 xax I acostdt1tant2 ∫a3cos3 C

x , xaa2a2

xasec 0tb1p129- 则x2a2atandxasecttantdtxtan

dxasecttantdtxtanxdxtanxdxtan

x2a2dx∫x∫

∫atan2x∫xx

dx

a∫

ta∫sec2tatantat atantat x2a2aarccosaxx xax

x2

aarccosa同样0tx2

xasecx则xatan

∫x2a2 x2

aarccosaC,x

x1lnt23

,txx2a2aarccosaC,x x I 2tdt 11I

1e3

3∫t2 3∫t t1lnt1C1ln1e3x1解法一I

t 1e3xe3x1e3x e

解法三令e3xtan2 3 3

23

1e

dx2tant

2ln

32

1e3xC

dx2tantsec2t3tan2

2sec23tan

I 12sec2tdt 1∫sec 3tan 3∫sin1e3xt23 csctdt2lncsctcott3

u42u2

1 1 1 3求I

∫

1

求I

ax解法一令xtandxsec2I∫sec2 ∫sectan6tsec tan6

a解令xasin tusin∫sin6 cos5∫sin6

∫u6

u212

Ia2∫cos21∫1211

1cos2t∫ ∫2 1a2t1sin2t

a2arcsint1 a2t2a2arcsinx1 a2x2 29arcsin2x12 7xx2 求I7x

7xx2 29x1

usint 1 2 I 1 2 令t

x1 a 1x2 31x2 解法二令t1x I∫a2t22dt12x

t2 u2 I

1u52u3u ∫x61 t2∫t4 dt∫t4 t2

u t21 11 1 t2 代入(1 2 t2

I

1

Ct2

1

5 3∫b1p130-∫求I 1作变换u x1了消去根式 dx x1du2u1 解法一 u x I 2u1du2u2lnu du dx,2∫ I 2udu∫

x12lnx112u2ln1u x12ln1 x1

§2分部积分解法二 u1 x uvuvdu

2

uvuvuv∫uxvxdxuxvx∫uxvx∫uxdvxuxvx∫vxdux

∫uxvx∫uxvx

∫tanxdxlncosx∫cotxdxlnsinx ∫ ∫ ∫

1arctanx aa0x∫x∫

ax;arcsinx ∫ln∫a2 ∫ln

∫sinxdx,∫ex2dx,∫sin 2 2 lnx C∫x2

cosx2dx,

cosx 1,∫∫,∫∫1k2sin2

1k2sin2

0k

(t2a2

2na2 In

2

(ta (2n1) n1,a解由分部积分法有

2na2(t2a2 t

dt1arctantI 2

2

(t

(ta

(ta

t2a2

1 1arctanta2 a 2n 2(ta (ta

2a(ta

2na2

(t2a2

(t2a2 求Iarccosx2

I1∫arccos 1Ixarccosx2 xarccosx 1x2arccosx 1x2 dxxarccosx2

11

2 1x2arccosxx2

1其中 xarccosx

将

2 1 Ixarccosx21x2arccosx2x 1x2

1 求I xarctanx 1x2

1解注意 §3有理函数的积分与有理化方d 1 x2

I

arctanxd

arctanx 1.有理式的不定积1 ∫1x21 所谓 式为了计算上式第二项xtan

1Pxa0xna1xn1⋯anxa1 dx∫costdtsint∫1x21

00a b00m (分母次数高)上述有 一个没有实根的二次多项式.这

P(xQ(xQ

有

a1,a2,⋯,n1,n2,⋯,nk又假定 有 A n 2 ,n1, 1i1 2 2 l 2x x2其 A,B,C,a,p, 为常数

x2px m1,m2,⋯,ml⋯ A2 ⋯ Q(x)(xa)n1⋯(xa)nk(x2pxq

xak

(xak ⋯(x2plxql

⋯x2p1⋯

(xpxqi其 pi2i,qi(xpxqip24qi1,2,⋯,l 2 ⋯B1lxC1l⋯ Bmll 2 P(x)能写成下列诸形式之和 xp (x2pxqQ(x

其 A, 都是 P(x ⋯ Q(x xa1 xa (xa

数规律：x

当k=1时分解后 Mx;x2;1(x

(x

⋯

x

积分，只出现下面四类情况：其中A1A2⋯

∫∫

d(xa==特殊地：k,分解后 A

Alnxa （2） x2px p24q

A∫A

(xa)n1M1x

M2x

⋯Mkx

(1n)(Aa)n1xx(x2pxq) (x2pxq

x2 （3）∫ 其 Mi,(i1,2,⋯,

x 第一步分母配方 dx x2

px p

∫2q4xq4；第二 作变量变换：xp dxp ∫

C

2∫x2 xpq xp解分母配平方：

2x2pxq(x2

2q

Bln(x2 C )4)2 p24q0（2

24 qp 42 4q2

q 。 txp， xtp

(xpxq dxp dxB (x2pxq xpq 2.三角函数的有理式的不定积分sinx,cos xp2q

p2

果

元x及y Rsinx,cosx ∫Rsinx,cosx ttan ∫Rsinx,cos dx 2t, 2则 x2arctan 1t 1t dx

2t1t

cos2x 1

R

,1t22 sec2 1t2

1t sinx2sinxcosx2tanxcos2x 是关于 2通过变换ttanx2数 cosxcos2xsin2xcos2x1

的有理式的不定积分归结为关于2ttanx2 Rx,y是关于变元x y的有理式,我 不定积 x,nax a

∫ cxdR∫ cxd,adbctnaxb tn xtnb，因而

tn dxntn1 xdtnb,dxadbca actn∫Rx,naxbdx

∫Rtnb,tntn1

b1p144- 上式右端的被积函数是t有理函

I

d2x2

2x1

CI1∫4x32x2

2x212 2 x4x2 上式代入(1),即得1lnx4x221 I14lnx4x2 x4x2 arctan2x2 C

12 d2x21422x214x44x2d2x2

I x4x22∫b1p144-∫

x4x2 4x44x2

x2x22 x2x22 x22 1

x axb

∫1sin∫

ttan ∫t2 2t1t

1x22

∫1dtlnt1 x 代入两边,即 c1将c

b1p144- ∫cot4d∫cot2cot2

保留在右边

∫

2

1x

cot2csc2d cot2x22 x22 b1p144-

∫cot2dcot∫csc21cot3cot J sin3 cosxsin 1x1cos2x1 b1p144- 1ln2sin2x8IJ∫11sin2x8∫sec4d

∫sec2sec2d∫1 x

cos

xI3tan1tan33 b1p144-II cos cosxsin

cos3xsin3xcosxsinx4 14 41ln2sin2x2c41x1cos2x1sin

dx

2cos2x2sin2x

ccss

41sin2x81ln2sin2x28

1t1lnt1

t ∫1dxcos∫1b1p144- csc2xcsc2

I

1x

dx

cos2t

dt 1sin2t∫sin4 ∫1cot2xdcotx ∫1sintdtarcsinx 1x2Ccotx1cot3 C1 解法二 1x1b1p144- x1t2,dx 1 I∫11解法一 1x 1x1.1

1tI t

1t2dt4∫

2

11故 xsin

1x

1t2 1t2 1

1arctant1 1t4∫ 1t2

代入(1 2arctan 4arctant 12

1t11t2 11

1x2C

12 1

11

t1tt

11t2ttan111

dtsec2

为什么?事实上,11t2dt∫11t2dt

1 21 1cos21

1 1t 1u1sin2u

2t 1x解法四令

1,t1 ,t 1x.x1 1x2 x1t,dx 1t 1 tdtdt1 ∫解法三 1x I1 ∫x1t2,dx

t

1t2 dt I 2dt∫td2

t

tt 11t2 1x2 1x1 1t 1t 12 解法五12 解法五令 tt2

1 11

1 2 11x2C dx I∫2t22tdt arccosx 1x2t2∫2t2dt 2t1122arcsint2

I

1

∫1x2 解法六 xcos I sin ∫

dx 1 1 arcsinx 1x2C2cos

2sintcos 22I 2sin2tI 2sin2tdt 1cost

b1p144- 1x1∫13解 tx161 x1t6 dxtsint

6∫t516∫t51t3I dt t8dtII 1t81t2t4∫1t ∫1t 1tII

dt t42t

2

1t2t4t6 ∫

∫1t ut

6arctan 6t76t52t3 3lnu13u3u2 6arctant II13lnt213t23t4 6t76t53t42t33t2 6∫1t8dt6∫

6arctant3lnt21C 1t和公式

t

1t b1p144-I∫x1x1 注意

∫I ∫

dx32x1x1x1x1

x

∫2

x1 3