《变化率与导数》素材3

《变化率与导数》教学素材（3）【教学要求】1．理解并掌握平均变化率的概念．2．会求函数在指定区间上的平均变化率．3．能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题．【学法指导】从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率，也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义.填一填：知识要点、记下疑难点1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝_eq\f(Δy,Δx)___叫做函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．2．函数y＝f(x)的平均变化率的几何意义：eq\f(Δy,Δx)＝_____eq\f(fx2－fx1,x2－x1)_____表示函数y＝f(x)图象上过两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割线的斜率.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究这个问题．探究点一函数的平均变化率问题1如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值eq\f(yC－yB,xC－xB)近似量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[xB，xC]上的平均变化率．问题2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y＝f(x)表示，那么问题中的变化率可用式子eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解从出生到第3个月，婴儿体重平均变化率为eq\f－,3－0)＝1(千克/月)．从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为eq\f(11－,12－6)＝eq\f,6)＝(千克/月)．问题3平均变化率有什么几何意义？答设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，函数y＝f(x)的平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq\f(fx1＋Δx－fx1,Δx)为割线AB的斜率．x1，x2是定义域内不同的两点，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应Δx＝x2－x1的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．跟踪训练1如图是函数y＝f(x)的图象，则：(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析(1)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为eq\f(f1－f－1,1－－1)＝eq\f(2－1,2)＝eq\f(1,2).2)由函数f(x)的图象知，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,2)，－1≤x≤1,x＋1，1<x≤3)).所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为eq\f(f2－f0,2－0)＝eq\f(3－\f(3,2),2)＝eq\f(3,4).答案(1)eq\f(1,2)(2)eq\f(3,4)探究点二求函数的平均变化率例2已知函数f(x)＝x2，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,]；(4)[1,]．解(1)函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为eq\f(f3－f1,3－1)＝eq\f(32－12,2)＝4；(2)函数f(x)在[1,2]上的平均变化率为eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(22－12,1)＝3；3)函数f(x)在[1,]上的平均变化率为eq\f(f－f1,－1)＝eq\f－12,＝；(4)函数f(x)在[1,]上的平均变化率为eq\f(f－f1,－1)＝eq\f－12,＝.小结函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2分别求函数f(x)＝1－3x在自变量x从0变到1和从m变到n(m≠n)时的平均变化率．解自变量x从0变到1时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(1－3×1－1－0,1－0)＝－3，自变量x从m变到n时，函数f(x)的平均变化率为eq\f(1－3n－1－3m,n－m)＝－3.问题一次函数y＝kx＋b(k≠0)在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k，即一次函数的平均变化率是定值．探究点三平均变化率的应用例3甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解由图象可知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)>s2(0)，则eq\f(s1t0－s10,t0)<eq\f(s2t0－s20,t0)，所以在从0到t0这段时间内乙的平均速度大．小结平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．跟踪训练3甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解甲赚钱的平均速度为eq\f(10,5×12)＝eq\f(10,60)＝eq\f(1,6)(万元/月)，乙赚钱的平均速度为eq\f(2,5)(万元/月)．所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为__－9________．解析函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为eq\f(f2－f1,2－1)＝eq\f(5－3×22－5－3,1)＝－9.2．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,]这段时间内的平均速度为__2______．3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是___乙_____．解析在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)<W2(t0－Δt)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W1t0－W1t0－Δt,Δt)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(W2t0－W2t0－Δt,Δt)))，所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．课堂小结：